Глава 3. Элементы аналитической геометрии

Аналитическая геометрия есть раздел математики, изучающий геометрические образы (точки, прямые, кривые линии, поверхности и т.п.) средствами алгебры. «Аппаратом», позволяющим переводить геометрические понятия на язык алгебры, служит метод координат (разработанный еще в 17 в. французским математиком Р.Декартом).

В нашем курсе аналитической геометрии к изучению геометрических форм будем привлекать также методы векторной алгебры.

§3.1. Аналитическая геометрия на плоскости

3.1.1. Метод координат

Суть метода координат в том, что положение любой точки можно охарактеризовать одним (или несколькими) числом (ами) – координатами этой точки, а положение геометрического образа (линии, поверхности и пр.) одним или несколькими уравнениями.

Таким образом, рассмотрение геометрического образа – точки, линии, поверхности – оказывается возможным заменить «рассмотрением» чисел, уравнений.

Напомним, что важнейшим понятием аналитической геометрии является (см.§2.2,п.6⁰) понятие числовой оси (обозначим ее символом) и координатыxточки (точки) на оси. Введением понятия координаты на числовой оси устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек числовой оси и множеством всех действительных чисел:соответствует действительное число – координата этой точки; наоборот,соответствует на числовой оси одна (и только одна) точка.

Введение координат точки на прямой позволяет уже решать некоторые задачи.

Пусть даны координаты точек и.

1) найти расстояние d между этими точками.

Как нетрудно проверить расстояние между точками может быть вычислено по формуле

;

2) найти координату точки , делящей отрезокABв отношении.

Можно показать, что в этом случае

.

Взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и пространства и действительными числами устанавливается введением (на плоскости или в пространстве) прямоугольной декартовой системы координат (см.§2.2,п.6⁰).

Введение прямоугольной системы координат на плоскости (в пространстве) позволяет положение любой точки плоскости характеризовать упорядоченной парой (тройкой) действительных чисел.

Наоборот, всякой упорядоченной паре (тройке) действительных чисел можно поставить в соответствие определенную точку плоскости (пространства).

Таким образом, с выбором системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости (пространства) и множеством упорядоченных пар (троек) действительных чисел.

Из этого следует, что задать точку на плоскости (в пространстве) означает задать ее координаты; найти точку на плоскости (в пространстве) означает найти ее координаты.

К простейшим задачам на плоскости (в пространстве) относятся задачи отыскания расстояния между двумя точками (см.§2.2,п.8⁰, формула (2.31)) и деление отрезка в данном отношении (формулы (2.32’) и (2.32”)).

Приведем другие примеры на метод координат.

Пример 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, заданного вершинамии(рис.3.1 хх ).

Решение. ПустьAD– медиана,M– точка пересечения медиан. ТочкаMделит отрезокADв отношении. По формулам (2.32’) запишем: .ТочкаD – середина отрезкаCBи, следовательно, .Таким образом, окончательно,

.

Пример 2. В точке иприложены параллельные и противоположно направленные силы, модули которых равны соответственно 30 и 40 кг (рис.3.2 х ). Найти координаты точки приложения равнодействующей этих сил.

Решение. Обозначимточку приложения равнодействующей этих сил.

Как это следует из статики, она находится на продолжении отрезка AB, то есть делит отрезокAB внешним образом. С учетом замечания (см.§2.2,п.8⁰) найдем, что. Таким образом, координаты

=25,=27 и.

Пример 3.Найти площадь треугольникаABC, заданного своими вершинамии(рис.3.3 хх ).

Решение. Опустим из точекиперпендикуляры на ось. ПлощадьтреугольникаABCможно найти, вычитая из площади фигурыплощадь трапеции.

Имеем:

.

Отсюда по раскрытии скобок и приведении подобных членов, получим:

.

Замечание. Если площадь, то это означает, что точкиилежат на одной прямой. Например, подставляя координаты точекив выражение дляS, получим, что– точкиилежат на одной прямой.

Формулу для площади можно переписать в виде (знак модуля опущен):

.