- •Глава 2. Предел числовой последовательности
- •2.1. Определение окрестности точки, числовой
- •2.1.1. Числовая последовательность
- •2.1.2. Предел числовой последовательности
- •2.1.3 Окрестность точки, геометрический смысл предела последовательности
- •2.2. Теорема о единственности предела. Свойства пределов
- •2.2.1. Теорема о единственности предела
- •2.2.2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •2.2.3. Теоремы о предельном переходе в равенствах и неравенствах. Арифметические свойства пределов
- •2.2.4. Неопределенные выражения
- •2.3. Монотонные последовательности. Существование предела. Число
- •2.3.1. Монотонные последовательности
- •2.3.2. Теорема о пределе монотонной последовательности
- •2.3.3. Число e. Натуральные логарифмы
- •2.4. Теорема Больцано - Вейерштрасса. Критерий Коши существования предела числовой последовательности
- •2.4.1. Частичные последовательности и частичные пределы. Теорема Больцано – Вейерштрасса
- •2.4.2. Фундаментальные последовательности и критерий Коши
- •4.1.3. Конечные пределы функции при и бесконечные
- •4.2. Односторонние пределы
- •4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •4.4. Основные теоремы о пределах функций
- •4.11.2. Основные теоремы об эквивалентных функциях
- •4.11.3. Основные эквивалентности
- •4.11.4. Предел показательно-степенной функции и неопределенности,
Глава 2. Предел числовой последовательности
2.1. Определение окрестности точки, числовой
последовательности и ее предела
2.1.1. Числовая последовательность
Что называется числовой последовательностью? Как обозначается и каким образом задается числовая последовательность. Приведите примеры числовых последовательностей.
Какая последовательность называется постоянной последовательностью, конечной последовательностью? Приведите примеры таких последовательностей.
Приведите примеры геометрической и арифметической прогрессий.
Найдите пятый член последовательностей:
а) , если,
б) , если,
в) , если,,
г) ,
д) − последовательность всех делителей числа 20, расположенных в порядке возрастания,
е) ,
ж) − последовательность,n член которой − n цифра числа ,
з) ,
и) − геометрическая прогрессия, у которой первый член, а знаменатель прогрессии,
к) − арифметическая прогрессия, у которой первый член, а разность прогрессии.
Дайте определения ограниченной сверху (снизу), ограниченной, неограниченной последовательности. Каков геометрический смысл понятия “ограниченная последовательность”? Приведите соответствующие примеры.
Являются ли последовательности ограниченными сверху (снизу), ограниченными, неограниченными:
а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) .
2.1.2. Предел числовой последовательности
Запишите определение предела последовательности с помощью логических знаков.
Дайте определения сходящейся и расходящейся последовательности. Приведите примеры таких последовательностей.
Пусть последовательность и числоудовлетворяют условию:
такое, что . Всякая ли сходящаяся кпоследовательность удовлетворяет этому условию?
Пусть .
а) Могут ли все члены последовательности быть положительными (отрицательными), если ?
б) Может ли последовательность иметь бесконечно много отрицательных (равных нулю) членов, если ?
в) Докажите, что ,.
Пусть последовательность сходится. Является ли сходящейся последовательность, которая получается из исходной, если:
а) из нее удалить конечное число членов, а оставшиеся заново перенумеровать в порядке их следования,
б) к ней добавить конечное число членов, перенумеровав члены последовательности в порядке их следования,
в) в ней изменить произвольным образом конечное число членов?
Сформулировать на языке “”определение того, что
а) ,
б) не существует .
Докажите по определению, что предел равен.
Докажите, что если , то.
Привести пример последовательности , удовлетворяющей условиюи такой, что
а) она не имеет предел,
б) она имеет предел. Может ли этот предел быть положительным?
2.1.3 Окрестность точки, геометрический смысл предела последовательности
Дайте определение окрестности точки .
Приведите геометрическую иллюстрацию предела последовательности.
Пусть в некоторой окрестности точки лежит бесконечно много членов последовательности. Следует ли из этого условия, что:
а) ,
б) никакая точка вне этой окрестности не является пределом последовательности ,
в) ограничена?
Пусть в любой окрестности точки лежит бесконечно много членов последовательности. Следует ли отсюда, что?