RZVM

Министерство образования и науки РФ

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Национальный исследовательский университет

Е. В. Кошелев

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Учебное пособие

Нижний Новгород Издательство Нижегородского госуниверситета

2012

УДК 517.1 ББК

К 76

К76 Кошелев Е. В. Решение задач по высшей математике: Учебное пособие. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2012. 190 с.

ISBN

Разобраны методы решения типовых математических задач, освоение которых необходимо для дальнейшего изучения различных дисциплин гуманитарных специальностей. Кроме того в пособии студенту предоставляется возможность самому попробовать свои силы в решении задач. Для этого в каждой теме представлены задачи для практических занятий и домашнее задание. С целью проверки правильности их решения в конце каждой темы приведены ответы.

Учебное пособие предназначено для студентов, проходящих обучение по направлению подготовки “Государственное и муниципальное управление”. Также оно может быть использовано для специальностей “Экономика и управление на предприятии”, “Инноватика”, “Финансы, денежное обращение и кредит”, а также студентами, аспирантами, преподавателями и широким кругом читателей.

°c Кошелев Е. В., 2012 °c Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, 2012

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. Правило Крамера для систем второго и третьего порядков . . . 12 3. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4. Метод Гаусса решения линейных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5. Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6. Аналитическая геометрия на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7. Аналитическая геометрия в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 8. Пределы. Стандартные неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 9. Первый и второй замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 10. Дифференцирование суммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 11. Дифференцирование произведения и частного функций . . . . . . 70 12. Дифференцирование сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 13. Повторное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 14. Дифференциалы функции одной переменной. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 15. Исследование функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Контрольные задания на дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . .. 94

16. Простейшие приемы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 17. Метод подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 18. Интегрирование по частям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 19. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 20. Приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 21. Частные производные первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 22. Частные производные второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 23. Дифференциал функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . 138 24. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 25. Дифференциальные уравнения с разделяющимися

переменными. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 26. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка . . . . . . 152 27. Линейные однородные дифференциальные уравнения

2-го порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . 157 28. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

2-го порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . 160 29. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 30. Функциональные и степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Введение

Высшая математика достаточно обширная область научного знания, позволяющая изучать устройство мира, а потому применяемая в различных сферах жизнедеятельности человека. В последнее время математика охватила кроме естественнонаучного направления исследования различные сферы приложения гуманитарного знания.

Материал, представленный в настоящем учебном пособии, призван помочь студенту овладеть азами высшей математики. Автор книги не ставил себе целью охватить всевозможные сферы изучения этой науки, но при этом, ориентируясь на студентов гуманитарных направлений обучения, постарался достаточно подробно разобрать те вопросы, которые необходимы им для дальнейшего изучения всевозможных дисциплин специальности.

Поскольку учебное пособие предназначено прежде всего для студентов, обучающихся по специальности “Государственное и муниципальное управление”, в нем разобраны типовые задачи, которые необходимо освоить таким студентам. Научиться их решать важно для того, чтобы впоследствии освоить такие дисциплины, как “Теория вероятностей”, “Экономико-математические методы”, “Системный анализ”, “Разработка управленческих решений”, “Статистика”, “Экономическая теория”, “Организация производства”, “Экономическая оценка инвестиций”, “Антикризисное управление” и пр.

Так, например, матрицы и определители необходимы для освоения материала по различным экономическим предметам, в которых применяются таблицы для экономического или любого другого анализа. Аппарат векторной алгебры и аналитической геометрии нужен для того, чтобы уметь выводить необходимые закономерности между величинами, исследуемыми с помощью графиков. Пределы, к примеру, используются в инвестиционном анализе при анализе денежных потоков, а также в других областях экономического знания. Дифференцирование функций одного и двух переменных, а также интегрирование используются во всех областях экономики и управления при определении оптимальных значений экономических величин (дохода, прибыли, издержек) или при разработке оптимальных управленческих решений. Дифференциальные уравнения используются в изыскательском прогнозировании в процессе раз-

4

работки управленческих решений, в экономической теории, прежде всего при изучении процессов экономического роста, в антикризисном управлении при исследовании экономических циклов и т. д. Теория рядов применяется при суммировании большого числа экономических показателей для того, чтобы разработать оптимальные методы управления и контроля этих показателей.

Кроме изучения методов решения типовых задач в книге студенту предоставляется возможность попробовать самому свои силы в их решении. Для этого в каждой теме представлены задачи для практических занятий и домашнее задание. Правильность их решения студент может проверить по приведенным в конце каждой темы ответам.

Учебное пособие предназначено для студентов, проходящих обучение по направлению подготовки “Государственное и муниципальное управление”. Оно призвано ознакомить будущего государственного служащего с некоторыми количественными методами анализа и управления, которые позволят ему принимать грамотные обоснованные решения в процессе его работы. Также оно может быть использовано для специальностей “Экономика и управление на предприятии”, “Инноватика”, “Финансы, денежное обращение и кредит”, а также студентами, аспирантами, преподавателями и широким кругом читателей.

5

1. Комплексные числа

Представление комплексного числа z в виде

z = x + iy (или z = x + yi);

где x и y действительные числа, а i = p¡1 мнимая единица, называется алгебраической формой комплексного числа. Арифметические действия над комплексными числами производятся как с обычными алгебраическими выражениями в предположении, что i2 = ¡1.

П р и м е р 1. Найти сумму z1 + z2, произведение z1z2 и частное

z1 комплексных чисел z1 = 2 ¡ 3i и z2 = 4 + 5i. z2 Р е ш е н и е

1)z1 + z2 = (2 ¡ 3i) + (4 + 5i) = 2 + 4 + (¡3 + 5)i = 6 + 2i,

2)z1z2 = (2 ¡ 3i)(4 + 5i) = 8 ¡ 12i + 10i ¡ 15i2 = 23 ¡ 2i,

3)z1 = 2 ¡ 3i = (2 ¡ 3i)(4 ¡ 5i) = 8 ¡ 12i ¡ 10i + 15i2 = z2 4 + 5i (4 + 5i)(4 ¡ 5i) 42 ¡ 25i2

Заметим, что при делении числитель и знаменатель дроби умножается на число, сопряженное знаменателю.

Геометрически комплексное число z = x+iy принято изображать точкой на плоскости с координатами (x; y) или радиусом-вектором этой точки (рис. 1). Такой вектор можно характеризовать углом '

y

(x,y)

r = |z|

ϕ

x

Рис. 1. Геометрическая интерпретация комплексного числа

6

между осью x и направлением этого вектора и длиной этого вектора, равной jzj = px2 + y2.

Из рисунка 1 видно, что x = jzj cos ', y = jzj sin '. Но тогда z = x + iy = jzj(cos ' + i sin ').

Представление комплексного числа z в виде

z = jzj(cos ' + i sin ') = r(cos ' + i sin ')

называется т р и г о н о м е т р и ч е с к о й формой комплексного числа. При этом угол ' называется аргументом комплексного числа.

Используя формулу Эйлера

ei' = cos ' + i sin ';

тригонометрическую форму комплексного числа можно привести к

виду

z = jzj(cos ' + i sin ') = jzj ei':

или, учитывая, что cos ' и sin ' периодические функции с периодом

2k¼, k 2 Z, к

z = jzj(cos(' + 2k¼) + i sin(' + 2k¼)) = jzj ei('+2k¼):

Представление комплексного числа z в виде

z = jzj ei'

называется п о к а з а т е л ь н о й формой комплексного числа. Представление комплексного числа z в виде

z = jzj ei('+2k¼)

будем называть показательной формой комплексного числа с периодом.

Пр и м е р 2. Представить в тригонометрической, показательной

ипоказательной с периодом форме числа z1 = ¡1 + i и z2 = p3 + i.

Р е ш е н и е. Изобразим вначале эти числа на комплексной плоскости (рис. 2). После чего уже легко записать требуемые представления.

7

П р и м е р 3. Вычислить с помощью показательной формы ком-

Р е ш е н и е. Применяя результаты предыдущего примера, а

Используя показательную форму комплексного числа все значения корней n-й степени из комплексного числа z можно вычислить по формуле

8

p

П р и м е р 4. Вычислить все значения корня 6 1.

Р е ш е н и е. Представим число 1 в показательной форме с

периодом

1 = e2k¼i:

Применяя формулу вычисления корня, получаем

p i2k¼

¯k = 6 1 = e 6 ; k = 0; 1; 2; 3; 4; 5:

Откуда, используя формулу Эйлера, последовательно находим

Действительное число x называется реальной (действительной) частью комплексного числа z = x + iy и обозначается

x = Re z:

Действительное число y называется мнимой частью комплексного числа z = x + iy и обозначается

y= Im z:

Пр и м е р 5. Найти реальную и мнимую части комплексного числа z = (x + iy)2 e¡5i'.

9

Р е ш е н и е

(x + iy)2 e¡5i' = (x2 ¡ y2 + 2xyi)(cos 5' ¡ i sin 5') =

= (x2 ¡ y2) cos 5' + 2xy sin 5' + (2xy cos 5' ¡ (x2 ¡ y2) sin 5')i; Re (x + iy)2 e¡5i' = (x2 ¡ y2) cos 5' + 2xy sin 5';

Im (x + iy)2 e¡5i' = 2xy cos 5' ¡ (x2 ¡ y2) sin 5':

Задачи для практических занятий

Выполнить действия:

Представить в тригонометрической форме, показательной форме и показательной с периодом форме:

Вычислить, используя показательную форму комплексного числа: