MMATAN01

Министерство образования и науки РФ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

В.Н. Кошелев, Б.В. Лисин

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Учебное пособие

Рекомендовано ученым советом радиофизического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по специальностям 010801 “Радиофизика и электроника”,

090106 “Информационная безопасность телекоммуникационных систем”

Нижний Новгород Издательство Нижегородского госуниверситета

2010

УДК 517.1 ББК В22.161.1 К 76

Рецензенты:

В.Н. Белых — доктор физ.-мат. наук, профессор В.И. Сумин — доктор физ.-мат. наук, профессор

К 76 Кошелев В.Н., Лисин Б.В. Понятие функции. Основные пространства. Учебное пособие. — Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2010. — 124 с.

ISBN 978-5-91326-148-9

Учебное пособие подготовлено на базе лекций, читаемых на протяжении последних лет студентам дневного отделения радиофизического факультета Нижегородского госуниверситета. Оно включает в себя классические понятия математического анализа: основы теории множеств, отображения множеств, элементарные функции, действия с графиками. Достаточное внимание уделяется действительным и комплексным числам. Кроме того, в пособии представлены понятия основных пространств, без которых невозможно построение теории многих разделов математического анализа. Для самостоятельного изучения вводятся необходимые понятия высшей алгебры.

Для студентов физических факультетов университетов.

Ответственный за выпуск:

председатель методической комиссии радиофизического факультета, доктор физ.-мат. наук, профессор В.Н. Мануилов

c Кошелев В.Н., Лисин Б.В. , 2010c Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского, 2010

Оглавление

ГЛАВА 1. Понятие функции. Основные пространства . . . . . 5 1.1. Множества. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Отображения. Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Множество действительных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1.Структура множества действительных чисел . . . . 15

1.4.2.Абсолютная величина действительного числа . . . . 13

1.4.3.Основные понятия в множестве действительных

чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.4. Верхние и нижние границы числового множества 23 1.4.5. Действительнозначные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.1.Комплексные числа в алгебраической форме . . . . 27

1.5.2.Комплексные числа в тригонометрической форме 30

1.5.3. Показательная форма комплексного числа . . . . . . 32 1.5.4. Извлечение корня из комплексного числа . . . . . . . . 33

1.6. Евклидово конечномерное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.7. Линейное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.8. Евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.9. Нормированное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.10. Метрическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.11. Основные понятия в метрическом пространстве . . . . . . . . 47 1.12. Счетные и несчетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.13. Некоторые общие понятия алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

ГЛАВА 2. Практика по теме “Понятие функции.

Основные пространства” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Занятие 1. Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Занятие 2. Обратные тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . 75 Занятие 3. Преобразование графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Занятие 4. Действия с графиками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Занятие 5. Графики сложной, обратной и заданной параметрически функций. Полярные координаты . . 103

Занятие 6. Гиперболические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Занятие 7. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Глава 1

Понятие функции. Основные пространства

Понятие функции играет фундаментальную роль при построении всего курса математического анализа. Начиная с изучения простейших свойств элементарных функций постепенно переходят к таким важным операциям анализа, как дифференцирование и интегрирование, через которые мы приходим к определению специальных функций.

Понятие функции тесно связано с отображением множеств. Поэтому мы прежде всего перейдем к изучению множеств, после чего рассмотрим множества, наделенные определенной структурой, — основные пространства, чему и посвящена настоящая глава.

1.1. Множества. Операции над множествами

Понятие множества (как и элемента множества) интуитивно и не поддается определению. Множества обозначают большими буквами A, B, C, Ω, . . . , а элементы множества — маленькими буквами a, b, c, ω,. . . .

Запись a A означает, что элемент a принадлежит множеству A. Запись a ¯ A или a / A означает, что элемент a не принадлежит множеству A.

Символом будем обозначать пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.

Определение 1.1. Пусть A и B — два множества. Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что A есть п о д м н о ж е с т в о множества B, и пишут A B или B A ( — символ включения для множеств).

A B — читается “множество A включено в множество B”.

B A — читается “множество B включает в себя множество A”.B — справедливо для любого множества B.

В частности, справедливо соотношение A A.

Определение 1.2. Множество A называется с о б с т в е н-

ны м п о д м н о ж е с т в о м множества B, если

1)A B и

2)существует элемент b B такой, что b / A.

В частности, — собственное подмножество любого непустого множества.

b

B A

Рис. 1.1. A — собственное подмножество множества B

6

Определение 1.3. Говорят, что множества A и B равны, A = B, если одновременно выполняются два включения A B и B A.

Определение 1.4. О б ъ е д и н е н и е м множеств A1, A2, . . ., An называется множество C, состоящее из всех элементов, при-

надлежащих хотя бы одному из множеств A1, A2, . . . , An.

Объединение множеств обозначается так

yy;; yy;;

Рис. 1.2. Множество C — объединение множеств A1, A2 и A3

Определение 1.5. П е р е с е ч е н и е м множеств A1, A2, . . ., An называется множество C, состоящее из элементов, принадле-

жащих одновременно всем множествам A1, A2, . . . , An.

Пересечение множеств обозначается следующим образом:

ется множество C, состоящее из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B.

7

Рис. 1.3. Множество C — пересечение множеств A1, A2 и A3

y;

Рис. 1.4. Множество C — разность множеств A и B

Разность множеств A и B обозначается так: C = A \ B.

Определение 1.7. Пусть A B. Д о п о л н е н и е м множества A до множества B называется разность B \ A.

Обозначения

CB A = CA = Ac.

y; yy;;

Рис. 1.5. Множество Ac — дополнение множества A до множества B

8

Используя последнее понятие, определение собственного подмножества можно дать так: множество A, A B, называется собственным подмножеством множества B, если дополнение

CB A = .

Определение 1.8. Рассмотрим множество наборов

(a1, a2, . . . , am)

“длины m” из элементов a1, a2, . . ., am, принадлежащих одному или нескольким множествам. Два набора (a1, a2, . . . , am) и (b1, b2, . . . , bm) “длины m” называются равными (эквивалентными), если a1 совпадает с b1, a2 совпадает с b2 и т.д., am совпадает с bm. Множество эквивалентных наборов “длины m” назовем у п о р я- д о ч е н н ы м н а б о р о м “длины m”.

Определение 1.9. П р я м ы м п р о и з в е д е н и е м

m

Ak = A1 × A2 × A3 × · · · × Am

k=1

множеств A1, A2, . . ., Am называется множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы “длины m”

(a1, a2, . . . , am), где a1 A1, a2 A2, am Am. Если A1 = A2 =

· · · = Am = A, то произведение m множеств A × A × A × · · · × A

называется m-й степенью множества A и обозначается Am.

П р и м е р ы

1) Если A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}, то

A× B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}.

2)R2 = R × R — множество упорядоченных пар действительных чисел (x, y), где x R и y R, т.е. числовая плоскость.

3)R3 = R × R × R — множество точек (x, y, z) в 3-мерном пространстве.

4)Если S — некоторая окружность, то S × R — цилиндр.

5)S × S — тор.

9

1.2. Отображения. Понятие функции

Определение 1.10. Пусть A и B — два множества любой природы. Если каждому элементу a A ставится в соответствие один элемент b B по некоторому закону f , который мы обозначим через f (a) = b, то говорят, что задана ф у н к ц и я f из множества A в множество B (или о т о б р а ж е н и е множества A в множество B).

Обозначение

f : A → B.

Запись

f : (E A) → B

означает, что подмножество E множества A отображается в множество B.

Множество A называют областью определения функции f . Элементы f (a) называют значениями функции. Множество всех значений функции f называют областью значений функции или областью изменения функции.

Определение 1.11. Пусть A и B — два множества и задано отображение f : A → B. Если E A, то f (E) определяется как множество всех элементов f (a) для a E

f (E) = {f (a) : a E}.

Множество f (E) называют о б р а з о м множества E при отображении f .

В этих обозначениях f (A) — это множество значений функции f : A → B,

f (A) = {f (a) : a A}.

П р и м е р ы

√

1) Функцию y = 1 − x2 мы можем задать, используя наши обозначения, следующим образом

1 − x2 : A → R,

10