ЧМ - ПР№3

Практическая работа №3

Методы численного интегрирования

Цель работы: Научиться решать задачи вычисления определенных интегралов методами прямоугольников, средней точки, Монте-Карло.

Теоретические сведения

Рассмотрим одномерный определенный интеграл вида

(3.1)

Для некоторых подынтегральных функций интеграл в (1) можно вычислить аналитически, найти в справочниках или оценить с помощью асимптотических рядов. Однако, большинство общеизвестных функций проинтегрировать таким способом не удается и интегралы от них нужно вычислять численно.

Классические методы численного интегрирования основаны на гео­метрической интерпретации интеграла (3.1) как площади под графиком функции в пределах от х = а до х = b (рис. 3.1).

Ось х делится на n равных отрезков длиной ,

где (3.2)

Рис. 3.1. Интеграл F равен площади под кривой .

Для приведенного выше случая , а .

Метод прямоугольников. Простейшей оценкой площади под кривой служит сумма площадей прямоугольников, как показано на рис. 3.2. В обычном методе прямо­угольников значение вычисляется в начале каждого отрезка и оценка F интеграла дается выражением

(3.3)

Рис. 3.2. Метод прямоугольников для функции на отрезке . Погрешность приближения показана закрашенными фигу­рами.

Метод средней точки. Одна из распространенных модификаций метода прямоугольников заключается в вычислении в средней точке каждого отрезка.

Метод Монте-Карло. Существует две разновидности этого метода. Рассмотрим первую. Представим себе прямоуголь­ник высотой Н и длиной b - а такой, что функция лежит внутри него (рис. 6.3). Генерируем n пар случайных чисел и удов­летворяющих условиям и . Доля точек , которые удовлетворяют условию , представляет собой оценку отношения интеграла от функции к площади прямоугольника. Отсю­да оценка в методе «проб и ошибок» определяется выражением

(3.4)

где - число «всплесков» или точек, лежащих под кривой, - общее количество точек, а А - площадь прямоугольника.

Рис. 3.3. Функция находится в прямоугольной области высотой Н и длиной b-a.

Другая разновидность метода Монте-Карло основывается на теореме анализа, гласящей, что интеграл (3.1) определяется средним значе­нием подынтегральной функции на отрезке а . Для вычис­ления этого среднего возьмем (не с постоянным шагом, а случайным образом и произведем выборку значений . Оценка F одномерного интеграла (3.1) методом «выборочного среднего» выражается формулой

(3.5)

где - случайные числа, равномерно распределенные на отрезке , n - количество испытаний.

Обратите внимание на то, что формулы (3.3) и (3.5) различаются только тем, что в первой фор­муле n точек выбираются с постоянным шагом, а во второй - случайным образом. Легко определить, что для интегралов невысокой размерности формула (3.3) оказывается точнее, но для многомерных интегралов все же предпочтительнее формула (3.5).

Порядок выполнения работы

1. Получите значение определенного интеграла, средствами Mathcad.

2. Получите значение определенного интеграла методами левых, правых, средних прямоугольников.

3. Получите значение определенного интеграла методом Монте-Карло.

4. Сравните полученные результаты.

Варианты заданий

№ варианта	Функция F(x)	Диапазон изменения x
		1.7…2.3
		1…30
		4.5…10
		5.5…6.1
		0.1…2
		6…9
		7…9
		-6…-5
		2…3
		-1…-0.1

Пример выполнения работы

1. Зададим функцию:

2. Определим начало и конец отрезка, а также количество разбиений:

3. Вычислим значение интеграла, с которым и будем сравнивать решения, полученные другими методами:

4. Создадим функцию для вычисления определенного интеграла по методу левых прямоугольников:

5. Создадим функцию для вычисления определенного интеграла по методу правых прямоугольников

6. Создадим функцию для вычисления определенного интеграла по методу средних прямоугольников

7. Построим решение интеграла на плоскости методами левых прямоугольников и средней точки:

Здесь красным цветом показана реализация метода прямоугольников, зеленым – метода средней точки, синяя лини – график функции.

8. Метод Монте-Карло 1

Составим реализующую данный метод программу

9. Метод Монте-Карло 2 (Метод выборочного среднего)

Составим реализующую данный метод программу

10. Сравним значения, полученные с помощью различных методов

Контрольные вопросы

1. Какие методы численного интегрирования вам известны?

2. Какие классические методы численного интегрирования вы использовали на лабораторной работе?

3. В чем заключается сущность метода Монте-Карло?

4. Какой из рассмотренных Вами методов показал наибольшую точность. Почему?