Лекция 2.Производная сложной обратной функции

Лекция 2. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

1.Свойства производных, связанные с арифметическими операциями.

2.Производная обратной и сложной функции.

3.Производные и дифференциалы основных элементарных функций.

4.Таблица производных и дифференциалов.

1.Свойства производных, связанные с арифметическими операциями.

Теорема 1. Производная постоянной функции равна нулю:

(c)' = 0 .

► Постоянную можно рассматривать как функцию, принимающую одинаковые значения при всех значениях аргумента x : y =c x R .

Дадим аргументу x приращение ∆x , тогда y + ∆y = c , откуда

∆y =c −c = 0 .

Следовательно, по определению имеем

Итак, y′=0 и dy = 0 . ◄

Пусть функции u =u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке x0 и некоторой ее окрестности. Тогда справедливы следующие

правила дифференцирования.

Теорема 2 (правило дифференцирования алгебраической суммы функций). Производная алгебраической суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна алгебраической сумме (разности) производных слагаемых:

(u ±v)' =u' ±v' .

► Рассмотрим функцию y =u(x)+v(x). Дадим фиксирован-

– приращение ∆y = ∆u + ∆v . По определению производной имеем:

Следовательно,

y =u +v y′=u′+v′.

Аналогично доказывается (u −v)' =u' −v' ◄

Следствия. 1. dy = du + dv .

2. Если функции u1 (x), u2 (x), ... , un (x) дифференцируемы, то их сумма также дифференцируема:

∑kn=1 uk (x) ' = ∑kn=1 uk′(x), d ∑kn=1 uk (x) ' = ∑kn=1 duk (x).

Теорема 3 (правило дифференцирования произведения функций). Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на

первый:

(u v)'=u′v +v′u

► Рассмотрим функцию y =u(x)v(x). Когда аргументу x придают приращение ∆x , то функции u , v и y получают соответственно приращения ∆u , ∆v и ∆y , причем

∆y =(u +∆u)(v + ∆v)−uv =v∆u +u∆v +∆u∆v .

Составим отношение

∆∆yx = v ∆∆ux +u ∆∆vx + ∆∆ux ∆v .

В последнем равенстве приращения ∆u , ∆v и ∆y зависят от ∆x , а u и v не зависят от ∆x ( u , v – значения функции, соот-

19

ветствующие начальному значению аргумента x ). Используя теоремы о пределах функций, находим

в силу непрерывности функции v = v(x) имеем

lim ∆v = 0 .

∆x→0

Итак, окончательно:

y′=u′v +uv' .◄

Следствия. 1. dy =vdu +udv .

2. Если ui (x), i =1, n , – дифференцируемые в некоторой ок-

n

рестности точки x функции и y =∏ui (x), то

3. Если u =u(x) дифференцируемая в точке x функция, то

c R

(cu)' =c u' .

4.Пусть функции u1 (x), u2 (x), ... , un (x) имеют производные

вточке x . Тогда линейная комбинация этих функций равна та-

кой же линейной комбинации соответствующих производных: y′=c1u1′(x)+c2u′2 (x)+... +cnun′(x).

Теорема 4 (правило дифференцирования частного функ-

ций). Производная частного двух дифференцируемых функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель представляет собой разность между

20

произведением знаменателя данной дроби на производную ее числителя и произведением числителя на производную знаменателя:

аргументу x приращение ∆x , находим приращение функции y :

Следствие. dy = vdu −udv . v2

2. Производная обратной и сложной функции.

Теорема 5. Пусть функция y = f (x) монотонна на отрезке [a;b] и имеет во всех точках интервала (a;b) ненулевую производную y′= f ′(x). Тогда обратная функция x =ϕ(y) дифференцируема во всех точках интервала (f (a); f (b)) и для любого

21

Тогда существует обратная функция x = f −1 (y)=ϕ(y), которая является непрерывной и монотонной на (α; β).

Дадим фиксированному значению аргумента y обратной функции x =ϕ(y) приращение ∆y . Этому приращению соответ-

ствует приращение обратной функции, причем в силу ее монотонности ∆x ≠ 0 . Найдем производную обратной функции. По определению

Теорема 6. Если функция u =u(x) имеет производную в точке x , а функция y = f (u) имеет производную в точке u =u(x), то сложная функция y = f (u(x)) имеет в точке x производную

и справедлива формула

y′= fu′(u) u′(x).

► Придадим фиксированному значению аргумента x приращение ∆x . Этому приращению соответствует приращение ∆u функции u(x). Приращению ∆u , в свою очередь, соответствует

сти соответствующих функций стремятся к нулю. По определению производной

Тогда

y′= fu′(u) u′(x) ◄.

Функция u называется промежуточным аргументом, а x – основным аргументом.

Замечание. Полученное правило распространяется на сложную функцию, зависящую от нескольких аргументов. Предположим, что функции y = f (u), u =u(v), v =v(t ), t =t(x) диффе-

ренцируемы. Рассмотрим сложную функцию F переменной x через посредство промежуточных функций f , u , v , t :

F (x)= f (u(v(t(x)))).

Придадим фиксированному значению x приращение ∆x . Тогда t получит приращение ∆t , v – приращение ∆v , u – приращение ∆u .

Запишем ∆∆yx в виде:

∆∆yx = ∆∆uy ∆∆uv ∆∆vt ∆∆xt .

Так как u , v , t дифференцируемы, поэтому и непрерывны, то в силу непрерывности при ∆x →0 приращения ∆u →0 , ∆v →0 и ∆t →0 . Переходя к пределам, имеем

F ′(x)= yu′ uv′ vt′ t′x .

Дифференциал сложной функции. Инвариантность фор-

мы дифференциала. Дифференциал в точке x есть произведение производной от функции f в точке x и дифференциала не-

Формулы (1) и (2) для дифференциала совпадают по форме записи, однако они имеют различный смысл: в первой из них

23

dx = ∆x , а во второй du =u′(x)dx .

Свойство инвариантности формы дифференциала: диф-

ференциал функции всегда равен произведению производной и дифференциала аргумента и не зависит от того, является ли величина, по которой взята производная, независимой переменной или же только промежуточным аргументом.

производная функции в точке численно равна отношению дифференциалов функции dy и переменной dx независимо от того,

является ли функция y = f (x) функцией независимой переменной x либо сложной функцией.

3. Производные и дифференциалы основных элементарных функций.

1. Производная и дифференциал логарифмической функ-

y = ln u(x) имеет производную y′= uu′((xx)) и дифференциал

dy = duu((xx)).

2. Производная и дифференциал степенной функции. Пусть y =(u(x))α , α R . Рассмотрим вначале случай, когда u(x)>0 .

Если u(x)>0 , то ln y =α ln u(x). Продифференцируем получен-

ное равенство почленно по правилу дифференцирования сложной функции, считая y функцией от x :

Пусть теперь u(x)< 0 . Представим функцию y =(u(x))α в виде (−1)α (v(x))α , где v(x)>0 . Тогда

y′=(−1)α α(v(x))α−1 v′(x)=α(u(x))α−1u′(x).

Тогда дифференциал равен dy =αu(x)α−1 du(x).

3. Производная и дифференциал показательной функции.

Пусть y = au(x ) , где 0 <a ≠1; u(x) – непрерывная функция. Тогда lny =u(x)lna. Дифференцируем левую и правую части полу-

ченного равенства по правилу дифференцирования сложной функции, считая y функцией от x :

yy′ = ln a u′(x).

dy =eu(x )du(x).

4. Производные и дифференциалы тригонометрических функций. Пусть y =sin x . Дадим фиксированному значению x

25

приращение ∆x . Тогда

6. Производные и дифференциалы гиперболических функ-

Тогда дифференциал равен dy =ch xdx .

Аналогично, находим производные и дифференциалы остальных гиперболических функций:

y = ch x y′=sh x dy =sh xdx , y = th x y′= ch12 x dy = ch12 x dx ,

y = cth x y′= −sh12 x dy = −sh12 x dx.

4.Таблица производных и дифференциалов.

Основные правила дифференцирования функций:

1.(cu)= cu′.

2.(u +v)'=u′+v′.

3.(uv)'=u′v +v′u .

4.u ' = u′v −v′u .v v2

28