- •Основное содержание лекционного курса
- •Линейные операции над векторами.
- •Проекции.
- •Скалярное произведение векторов.
- •Векторное произведение двух векторов.
- •Свойства векторного произведения.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Линейная зависимость векторов.
- •Координаты на прямой.
- •Координаты на плоскости.
- •Координаты в пространстве.
- •Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •Определители второго и третьего порядков
- •Векторное произведение векторов в координатной форме.
- •Смешанное произведение векторов в координатной форме.
- •Полярные координаты.
- •Прямоугольные координаты на плоскости.
- •Глава 2. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости
- •Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
- •Параметрическое и каноническое уравнения прямой Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- •Пучок прямых
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕЕНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Ф.СКОРИНЫ
Кафедра алгебры и геометрии
А.Д.Ходалевич
Основное содержание лекционного курса
«Геометрия и алгебра»
для специальности «Прикладная математика».
Часть I. Аналитическая геометрия.
ГОМЕЛЬ 2004
Аналитическая геометрия - это раздел математики, в котором геометрические объекты изучаются с помощью алгебраических методов, в основе которых лежит понятие координат.
ГЛАВА 1. ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ
§ 1. Понятие вектора
Пусть А – произвольное непустое множество. Декартовым квадратом А называется множество
A2 =
Бинарным отношением на А называется любое подмножество множестваA2.
Отношением эквивалентности на А называется такое бинарное отношение на А, которое удовлетворяет следующим условиям:
1) (рефлексивность);
2) если (,b)то (b,)(симметричность);
3) если (,b) то (,c)(транзитивность).
Теорема. Любое отношение эквивалентности на множестве А определяет разбиение этого множества на попарно непересекающиеся классы (классы эквивалентности). Обратно, любое разбиение множества А на попарно непересекающиеся классы определяет отношение эквивалентности на А.
Направленный отрезок – отрезок, у которого указано, какая точка является началом, а какая концом. Обозначается .
Пусть заданы направленные отрезки и, лежащие на двух различных параллельных прямых, и плоскость, проходящая через точки В иD. Тогда плоскостьразбивает все пространство на два полупространства. Если при этом точкиB и D лежат в одном полупространстве, то говорят, что направленные отрезки иодинаково направлены (обозначается ). В противном случае, они называютсяпротивоположно направленными (обозначается ).
Если направленные отрезки илежат на одной прямой, то они одинаково (противоположно) направленны, если существует такой третий направленный отрезок, который одинаково направлен с каждым из направленных отрезкови(противоположно направлен в точности с одним из направленных отрезковили).
Абсолютной величиной или модулем (длиной) направленного отрезка называется длина этого направленного отрезка и обозначается ||.
Два направленных отрезка иназываютсяравными, если и, при этом пишут=,
Теорема. Отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности.
Тогда вектором называется абстрактный объект, совпадающий с некоторым классом эквивалентности.
Таким образом, каждый из равных друг другу направленных отрезков считается представлением (изображением) данного вектора, а неравные направленные отрезки считаются представлением разных векторов. Поэтому в дальнейшем вектор изображается точно так, как и соответствующий ему направленный отрезок.
Векторы иназываютсяколлинеарными, если образующие их направленные отрезки параллельны одной и той же прямой (обозначается ||).
Три и более векторов называются компланарными, если образующие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости.
Нулевым вектором называется вектор, начало которого совпадает с его концом (обозначается ). Направление нулевого вектора не определено.
Линейные операции над векторами.
Определение. Суммой + векторов и называется вектор, проведенный из начала к концу , если конец и начало совпадают. Приведенное определение сложения векторов называется правилом треугольника. Векторы и можно складывать, пользуясь правилом параллелограмма.
Если имеется n векторов , то их сумма определяется как вектор.
Определение. Разностью векторов и называется такой вектор =-, что выполняется равенство +=.
Легко показать, что для любого вектора , существует такой единственный вектор , называемый противоположным вектору
что +=. Вектор, противоположный вектору , будем обозначать –.
Определение. Произведением вектора на число λ (λ0) называется вектор =λ, удовлетворяющий следующим условиям:
1) векторы и одинаково направлены, если λ>0, и противоположно направлены, если λ<0;
2) ||=|λ|||.
По определению, произведение произвольного вектора на число 0 есть нулевой вектор, т.е. 0=.
Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами:
1) сложение векторов коммутативно:
+=+, ,;
2) сложение векторов ассоциативно:
(+)+=+(+), ,,;
3) +=, ;
4) +(-)=0, ;
5) умножение вектора на число ассоциативно:
α (β ) = (α β), α, β R;
6) 1=, ;
7) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к
сложению чисел:
(α+β)=α+β, , α, β R;
8) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов:
α(+)=α+α, ,, α R;
Множество всех векторов пространства (плоскости), удовлетворяющих свойствам 1) – 8), называется линейным, или векторным пространством, и обозначается ().
Теорема (необходимое и достатаочное условие коллинеарности двух векторов). Для того чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало λ, удовлетворяющее условию:
= λ.