§ 13. Конические поверхности

Определение 2.3.Конической поверхностьюназывается множе-

ство прямых (образующих), проходящих через некоторую точку (вершину) и пересекающих некоторую линию (направляющую)(рис.21).

45

Коническая ПВП— коническая поверхность с направляющей,

являющейся КВП.

Рис. 21. Рис. 22.

Выведем уравнение конической поверхности в случае, когда вершина совпадает с началом прямоугольной системы координат OXY, а направляющей служит эллипс:

Возьмем на поверхности конуса произвольную точку М₁(х₁,у₁,z₁)

(рис. 22}. Тогда параметрическое уравнение прямой OM₁имеют вид:

х=х₁t, y=y₁t, z=z₁t.

Прямая ОМ₁пересекает направляющую в точке M(x,у,с), следова-

тельно, с=z₁t, т.е.t=с/z₁. Значит, х=х₁t=(х₁с)/z₁, у=(су₁)/z₁.

Точка M принадлежит эллипсу, поэтому

=1

46

Умножим обе части последнего выражения на z₁²/c², получаем

(*)

Так как соотношению (*) удовлетворяет любая точка поверхнос-

ти, то

(2.3)

— уравнение конической поверхности

Рис. 23. Рис. 24.

В частности, если а=b, то получаем уравнение прямого круго-

вого конуса

х²+у²—k²z²=0, (**)

где k²=а²/с².

Плоскость, параллельная плоскости ХОУ, пересекает конус (**)

по окружности. Например, плоскость z=1 пересекает конус (**) по окружности х²+y²=k². Если немного наклонить эту плоскость, то в сечении получается эллипс (рис. 23).

47

Плоскости, параллельные плоскостям OYZ и OXZ, пересекают

конус по гиперболам (рис.24). Например, в сечении конуса (**)

плоскостью х=b, получаем кривую

b²+y²-k²z²=0, т.е.

Если секущая плоскость параллельна образующей конуса, то в

сечении получается парабола (рис. 24). Поэтому эллипс, гипербола и парабола называются коническими сечениями.

§ 14. Поверхности вращения

Определение 2.4.Поверхность называетсяповерхностью враще-

ния,если она вместе с каждой своей точкой содержит и всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой, называемойосью вращении.

Пусть на плоскости YOZ задана кривая линия lуравнением вида

F(y,z)=0 (*)

(рис. 25). Найдем уравнение по-

верхности вращения, образован-

ной вращением кривой l вокруг

оси OZ. Возьмем произволь-

ную точку М₁(x₁,у₁,z₁) на полу-

ченной поверхности и проведем

через нее плоскость, перпенди

кулярную оси OZ. Обозначим точ

ки Р(0,0,z₁) и М(0,у,z). Ради-

ус, полученной в сечении окруж-

ности равен: R=М₁Р=РМ, т.е.

Откуда

48

(**)

Так как точка М принадлежит кривой l, то, подставляя значение у из (**) в уравнение (*), получаем. Этому уравнению удовлетворяют все точки поверхности, значит,

(2.4)

— искомое уравнение поверхности вращения.

Заметим, что знак в (2.4) выбирается таким образом, чтобы в

соответствующих точках, он совпадал со знаком ординаты у кривой l.

Аналогичным образом можно получить, что уравнение

задает поверхность вращения, образованную вращением кривой

F(x,z)=0 вокруг оси OZ.