Уо «Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины»

Физический факультет

Кафедра общей физики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

И ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ

Лаборатория «Механика»,

«Молекулярная физика и теплота»

ауд. 6 – 11

.

Лабораторная работа № 6

Изучение колебательного движения математического и

физического маятника

Цель работы:

1) изучение законов колебательного движения на примере математического и физического маятников; 2) определение ускорение свободного падения с помощью математического маятника; 3) проверка формулы периода колебаний физического маятника;

Приборы и принадлежности: математический маятник, физический маятник, линейка, штангенциркуль, секундомер.

Теоретические сведения

Колебаниями называются движения (изменения состояния системы), обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебания, повторяются через равные промежутки времени.

Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические колебания – такой процесс, в котором изменения наблюдаемой величины происходит по закону синуса или косинуса.

.

Величина , равная максимальному отклонению тела от положения равновесия, называетсяамплитудой колебания. Величина, стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания.

Величина - начальная фаза или фаза в момент времени.

Колебания называются свободными, если система не подвержена действию переменных во времени внешних сил.

Тела, колеблющиеся под действием сил тяготения, называются маятниками.

Математическим маятником называется материальная точка, прикрепленная к концу нерастяжимой и невесомой нити, верхний конец которой закреплен неподвижно, которая совершает колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Из элементарного курса физики известно, что если угловая амплитуда колебаний мала, период колебаний математического маятника длины равен:

(6.1)

где g- ускорение силы тяжести места наблюдения.

Зависимость периода колебаний математического маятника от его длины применяют в геологии для обнаружения залежей железной руды. За математический маятник на практике можно принять маленький тяжелый шарик, подвешенный на длинной нерастяжимой нити. При этом вес нити должен быть достаточно мал по сравнению с весом шарика, а размеры шарика - малы по сравнению с длиной нити. Период не зависит от массы тела. Математический маятник совершает гармонические колебания, если угол отклонения не превышает 8-10°. В этих пределах период колебаний не зависит от амплитуды.

Уравнение гармонических колебаний связывает зависимость углового смещения математического маятника от положения равновесия и времени движения:

φ = A sin(ωt + φ₀) (6.2)

где φ - угловое смещение точки от положения равновесия;

А - амплитуда колебаний, т.е. максимальное отклонение маятника от положения равновесия;

ω - циклическая частота, которая связана с периодом колебаний T и линейной частотой

,

аргумент (ωt+φ₀) , определяющий величину и направление смещения в любой момент времени, называется фазой колебаний.

φ₀- начальная фаза ( в частности она может равняться нулю) характеризует смещение от положения равновесия в начальный момент времени.

Рисунок 6.1 - Математический маятник

Физическим маятником называется твердое тело произвольной формы, имеющее возможность качаться под действием собственной силы тяжести р = mg относительно неподвижной горизонтальной оси 0, не проходящей через центр тяжести этого тела и называемой осью качания, т.е. это, маятник с распределенной массой.

Период колебаний физического маятника при малых углах отклонения (8˚) определяется по формуле:

(6.3)

где I - момент инерции маятника относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса,

m - масса физического маятника,

d - длина физического маятника (расстояние от оси вращения до его центра масс).

Приведенной длиной физического маятника называется такая длина

математического маятника, при которой периоды обоих маятников одинаковы:

. (6.4)

Упражнение 1 Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

На маятник действуют две силы – сила тяжести маятника и сила натяжения нити. Так как линия действия силы натяжения проходит через ось вращения, то момент этой силы равен нулю.

Момент силы тяжести согласно определению будет равен:

, ( 6.5)

где - угол отклонения маятника,

- длина подвеса.

Основное уравнение динамики вращательного движения , после подстановки выражения для момента силы(6.5) и углового ускорения(6.4) для математического маятника примет вид:

.

Из этого равенства можно получить формулу для периода математического маятника, которая в общем виде совпадает с формулой периода физического маятника (6.3).

Так как математический маятник представляет собой материальную точку, у которой равен длине нити, то его момент инерции

Величина d для математического маятника также равна длине нити l . Тогда формула периода математического маятника примет вид:

,

где g – ускорение свободного падения в месте наблюдения.

Для определения ускорения свободного падения на данной географической широте используют зависимость периода колебаний математического маятника от его длины. Длиной математического маятника является расстояние от точки подвеса до центра тяжести шарика. Периоды колебаний математического маятника, соответствующие длинамизапишутся:

и .

Решая систему этих выражений относительно , получим:

(6.6)

Измерение разности длин (L₁ – L₂) вместо измерений самих длин L₁ и L₂ позволяет уменьшить погрешность измерений.

Описание установки

Рисунок 6.2 - Установка для определения ускорения свободного падения

Установка для определения ускорения свободного падения (рис. 6.2) представляет собой небольшой шарик, подвешенный на бифилярном подвесе (две нити, позволяющие шарику совершать колебания в одной плоскости); вертикально расположенную сантиметровую шкалу, вдоль которой может перемещаться рамка с миллиметровыми делениями. Винт (4) позволяет изменять длину нити. Для отсчета длины нити подвижная рамка подводится до соприкосновения с шариком. По шкале (1) производится отсчет.