64

Министерство образования республики беларусь

Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра вычислительной математике и программирования

ОТЧЕТ

по дисциплине «Вычислительные методы алгебры»

Исполнитель

студент группы ПМ-22 Лапицкий А.А.

Руководитель

профессор кафедры ВМиП Можаровский В.В.

Гомель 2014

СОДЕРЖАНИЕ

Лабораторная работа №1 3

Постановка задачи 3

Теоретические сведения 3

Код программы 5

Результат работы программы 11

Лабораторная работа №2 12

Лабораторная работа №3 16

Лабораторная работа №4 21

Лабораторная работа №5 26

Лабораторная работа №6 31

Лабораторная работа №7 35

Лабораторная работа №8 40

Лабораторная работа №9 47

Лабораторная работа №10 55

Лабораторная работа №1

Постановка задачи

1.Решить систему линейных алгебраических уравнений:

а) методом Гаусса по схеме единственного деления;

б) методом Гаусса с выбором главного элемента.

2. Вычислить определитель и найти обратную матрицу методом Гаусса

Теоретические сведения

Метод Гаусса и его модификации основаны на приведении с помощью элементарных преобразований исходной системы к системе верхней треугольной или диагональной матрицы.

В схеме единственного деления на каждом шаге строка делится на элемент, стоящий на главной диагонали (ведущий элемент), и исключаются элементы под главной диагональю. Предположим, что ,ишагов метода уже сделаны. Тогда на-ом шаге расчетные формулы имеют вид

,, (4.3)

, (4.4)

, (4.5)

,,. (4.6)

После -го шага матрица системы принимает вид

. (4.7)

Процесс приведения матрицы исходной системы к системе с верхней диагональной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса, а процесс получения значений неизвестных – обратным ходом. Неизвестные из преобразованной системы находятся по формулам

,,. (4.8)

Подсчитаем число арифметических операций, необходимых для решения системы (4.1) по схеме единственного деления. Так как выполнение операций умножения и деления на ЭВМ требует гораздо больше времени, чем выполнение сложений и вычитаний, то подсчитаем только число умножений и делений.

1. Вычисление коэффициентов ,,по формулам (4.3) требует

делений.

2. Вычисление всех коэффициентов по формулам (4.5) требует

умножений.

Таким образом, вычисление элементов верхней треугольной матрицы требует

операций умножения и деления.

3. Вычисление правых частей по формулам (4.4) требует делений, а нахождениепо формулам (6)

умножений.

Следовательно, для вычисления правых частей необходимо

операций умножения и деления.

В итоге для осуществления прямого хода метода Гаусса необходимо выполнить

действий.

4. Для осуществления обратного хода метода Гаусса по формулам (4.8) необходимо выполнить

умножений.

Окончательно получаем, что для реализации схемы единственного деления метода Гаусса необходимо выполнить

операций умножения и деления.

После преобразования исходной системы по схеме единственного деления получаем систему вида , где матрицаэто матрица (4.7). Подставляя в (4.1) выражение дляв видеприходим к уравнениюили, что то же самое, к уравнению. Сопоставляя последнею систему с системой (4.1) приходим к выводу, что при применении метода Гаусса матрицасистемы есть произведение нижней треугольной матрицына верхнюю треугольную матрицус единичной главной диагональю, т.е..