Элементы квантовой теории твердых тел
Виды твердых тел и квазичастиц
По своим электронным свойствам твердые тела подразделяются на
металлы, полупроводники и диэлектрики, что схематично можно представить на упрощенной зонной схеме:
Энергия электрона
Mg
Металлы |
Na |
Полупроводники Диэлектрики |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EF
Eg
E g 3 эВ
Вследствие взаимодействий с большим числом атомов в твердом теле существуют не изолированные свободные электроны, а
квазичастицы: электроны проводимости (qe=- е = -1.6·10-19 Кл) и
незаполненные места в валентной зоне - дырки (qh= е = 1.6·10-19 Кл).
Эффективные массы электронов и дырок: |
m* (0.1 2)m |
|
o |
Колебаниям атомов в твердом теле соответствует квазичастицы – фононы14.
Зависимость энергии электрона от квазиимпульса вблизи краев зон в полупроводниковом кристалле
(законы дисперсии для прямозонного полупроводника)
Е
0 –
px –
|
|
|
|
px2 |
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
C ( px ) g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2m* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
C ( p) g |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2m* |
|
2m* |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
2k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Eg |
|
|
|
|
|
|
2m* |
|
2m* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
px2 |
Квазиимпульс : |
|
|
p k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
V ( px ) |
Квазиволновой вектор: |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2mh* |
|
|
h |
|
|
|
|
h |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
p e |
|
|
2 |
|
e |
|
e |
||||||||||||||||||
проекция квазиимпульса |
e |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(r ) eikr u(r ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e DB |
|
|
|||||||||||||||||
Электроны в кристалле – квазичастицы-волны, которые иногда
называются блоховскими волнами, по имени ученого Ф. Блоха. |
15 |
||
|
|||
|
|
|
|
Основные типы идеальных твердотельныхтельных наноструктур
2D |
1D |
0D |
|
Квантовая |
Квантовая |
Квантовая |
|
яма |
нить |
точка |
λDB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
d ~ λ DB = h / p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p – квазиимпульс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
электрона или |
|
|
|
d |
|
|
|
d |
|
дырки в кристалле |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для электрона в полупроводнике с mе* =(0.1-1) mо : |
|
3 нм < λDB < 30 нм |
||||||||
|
|
|
||||||||
В наноструктурах с минимальными размерами 1 -100 нм электроны, |
|
|
||||||||
дырки и другие квазичастицы будут испытывать ограничения при |
16 |
|
||||||||
движении, что приводит к квантовому размерному эффекту. |
|
|
||||||||
Квантовый размерный эффект для электроновтронов вв потенциальной яме с бесконечно высокимии стенкамистенками
E |
(электрон в квантовой яме)) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
При отражении от стенок ямы возникают стоячие волны: |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E3 |
|
|
|
|
|
1 n e |
|
d |
|
|
|
n 1,2 ,3,... |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квазиимпульс ре в направлении |
|
z квантуется |
|
|
|
||||||||||||||||
E2 |
|
(так называемое вторичное квантование) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p ez |
|
h |
|
|
|
|
h |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 d |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Квантово-размерная добавка к энергии частицы: |
||||||||||||||||||||
0 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d |
|
en |
pez2 |
|
h 2 |
|
n 2 |
|
2 2 |
n 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
* |
|
|
2me* d 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2me |
|
|
|
8me* d 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Уровни размерного квантования n 1,2 ,3,... с энергиями : E1 |
, E2, E2,.. |
17 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Квантовый размерный эффект в квантовойовой ямеяме (прямозонный полупроводник))
Полная энергия электрона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ee p Ee k |
|
|
|
||||||||
Ee p Ec px ,py e |
|
px2 px2 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
||||||
|
|
2me* |
|
2me* d 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полная энергия дырки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eh p EV px ,py h |
|
px2 px2 |
|
|
|
|
2 2 |
|
|
n 1 |
||
|
|
|
|
|
n2 |
|
||||||
|
2mh* |
|
|
2mh* d 2 |
n 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Квантово-размерное увеличение ширины запрещенной зоны ( n=1) :
EC
e1
g0
h1
EV
px , py
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
g g0 g g0 |
|
|
|
Приведенная масса: |
m* |
m* |
m* |
||||
2d m |
|||||||||||
|
|
|
r |
|
e |
|
h |
||||
|
|
2 |
* |
|
|
|
|
||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||
Квантово-размерная добавка к ширине запрещенной зоны возрастает
обратно пропорционально квадрату ширины квантовой ямы d .
18