6-10 матан

6) Үш еселі интегралда айнымалыларды алмастыру

1. Үш еселі интегралда цилидрлік координаттарға көшу (формуласын жазу).

2. Үш еселі интегралда сфералық координаттарға көшу (қорытуымен).

Декарттық координаттар жүйесінде нүктесі беріліп, оның Оху жазықтығындағы проекциясы М₁ нүктесі болсын. М нүктесі оның аппликатасы z және М₁ өзінің полярлық кординаттары мен арқылы анықталса, онда шамалары М нүктесінің цилиндрлік координаттары болады. М нүктесінің декарттық және цилиндрлік координаттарының арасындағы байланыс мына формулалармен анықталады (10-сурет):

10-сурет

координаттарын координаталарымен ауыстыру якобианы:

болады. Сондықтан үш еселі интегралда айнымалыларды ауыстыру мына формула арқылы орындалады:

.

Үш еселі интегралда сфералық координаттарға көшу

(қорытуымен)

Оxyz кеңістігінде М нүктесінің орнын:

а) О нүктесінен М нүктесіне дейінгі қашықтық ;

б) ОМ кесіндісі мен Оz өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш ;

в) ОМ кесіндінің Оху жазықтығындағы проекциясы ОМ₁ мен Ох өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш арқылы анықтасақ, онда осы шамалары М нүктесінің сфералық координаттары болады. М нүктесінің декарттық және сфералық координаттар арасындағы байланыс мына формулар арқылы анықталады (суретке қара):

Декарттық координаттарды сфералық координаттарға ауыстыру якобианы былайша анықталады:

.

7) Екі еселі интегралдың кейбір қолданыстары

1. Екі еселі интеграл көмегімен жазық фигура ауданын есептеу.

2. Екі еселі интеграл көмегімен дене көлемін есептеу.

1) Дененің көлемі: Егер D аймағында болса, онда цилиндрлік дененің (цилиндроидтың) көлемі

формуласы бойынша есептеледі. Егер D аймағында болса, онда

Мысал 5 І-ширекте орналасқан және, , беттерімен шенелген дененің көлемін есептеу керек.

Шешуі .

.

Мысал 6 беттерімен шенелген дененің көлемін есептеу керек.

Шешуі Берілген дененің бөлігін қарастырмаыз.

.

; ал, .

2) Жазық фигураның ауданы: D аймағымен шенелген жазық фигураның ауданы . Егер D облысы теңсіздіктері арқылы берілген болса, онда осы аймақтың ауданы

формуласы бойынша есептеледі. Егер D аймағын полярлық координаттар жүйесінде алсақ, яғни, болса, онда

.

Мысал 7 D: сызықтармен шенелген жазық фигураның ауданын есептеу керек.

Шешуі Сызықтардың қиылысу нүктелерін табамыз.

.

Сондықтан .

Мысал 8 сызығымен шенелген фигураның ауданын есептеу керек болсын.

Шешуі Берілген теңдеуді полярлық координаттар жүйесіне түрлендірсек, ;

болады, сондықтан

3) Беттің ауданы: а) Егер бет тегіс бірмәнді теңдеуімен өрнектелсе, онда оның ауданы

.

D₁ – беттің Оху жазықтығындағы проекциясы.

б) болса, онда , D₂ – беттің Оуz жазықтығындағы проекциясы.

в) болса, онда , D₃ - беттің Охz жазықтығындағы проекциясы.

Мысал 9 цилиндрінің ішіндегі конус бөлігі бетінің ауданын есепте.

Шешуі Конустың теңдеуінен , Интегралдау аймағы шеңберімен шенелген дөңгелек (, шеңбердің теңдеуі) немесе , онда

Мысал 10 және жазықтарымен қиылған цилиндр бетінің ауданын есепте.

Шешуі D: . , осыдан,

8) Екі еселі интегралдың кейбір қолданыстары.

1. Екі еселі интеграл көмегімен жазық фигураның ауданының инерция моменттерін есептеу.

2. Екі еселі интеграл көмегімен жазық фигураның ауданының ауырлық центрін есептеу.

9) Үш еселі интегралдың кейбір қолданыстары.

1. Үш еселі интеграл көмегімен дене көлемін есептеу.

2. Үш еселі интеграл көмегімен дене массасын есептеу.

10) Бірінші текті қисық сызықты интеграл.

1. Бірінші текті қисық сызықты интеграл ұғымына келтіретін есеп – цилиндрлік беттің ауданы туралы есеп.

2. Бірінші текті қисық сызықты интеграл анықтамасы

3. Қасиеттері (тізіп жазу).