Эллипс

Эллипс. Вывод канонического уравнения. Свойства.

Опр: Эллипсом наз сножесто точек плоскости, сумма расстояний от которых до 2 заданных точек есть величина постоянная.Заданые точки – наз фокусами эллипса.(F1,F2)

; , т.е. а и с- параметры, а>c ; ;; ; ; т.к. a>c , то ; ; - канонич ур-ние эллипса в канонич системе координат. a и b- параметры, а- большая полуось b- малая полуось. Свойства: 1) пересечение с осями координат: с Ох: с Оу ; вершины эллипса. 2) Симметричность: эллипсу => эллипс симметричен относительно Оу. эллипсу => симметричен относит Ох эллипсу => О-ценр симметрии эллипса. 3) Эллипс расположен в ограниченной части плоскости; 4) Эллипс можно получить из окружности с помощью сжатия или растяжения ; ; ;

5) Параметрические ур-ния эллипса: ;

6) Эксцентриситет ; отрезок; окружность(с=0).

2.Гипербола. Вывод канонического уравнения. Свойства. Асимптоты

Гиперболой наз множеатво точек плоскости модуль разницы расстояний от которых до двух заданных точек есть величина постоянная. Две заданные точки наз фокусами.

фокусы. , a<c. Если - модуль опускается со знаком минус. Если , со знаком плюс. ; ; ; ; ; ; т.к. a<c , то ; ; - каноническое ур-ние в канонической системе координат. а(Ох)- действит полуось, b(Оу)- мнимая. Свойства: 1) пересечение с осями: с Ох: - вершина. с Оу не пересек. 2) Симметрия: а) гиперб=> симметричен отност Оу. б) гиперб => симмет относит Ох в) гипеб => центрально симметр относит начала координат 3) не является ограниченной. 4) Асимптоты- прямые к которым кривые неограниченно приближ удаляясь в бесконечность. наклонная асимптота. Если асимптота если в; Рассмотрим случай: ; ; . Асимптоты в +бесконечн , Асимптоты в -бесконечн

5)Из окружности ;

6) ;

7) Эксцентриситет директрисы

3. Парабола. Вывод канонического уравнения. Свойства.

Параболой наз множество точек плоскости расстояние от которых до зад точки (фокуса) и до заданной прямой (директрисы) равно.

|MK|=|MF| р- фокальный параметр. фокус. директриса. |MK|=|MF| ;; - канонич ур-ние. Свойства: 1) пересечение с осями: О(0,0)-вершина. 2) Симметричность: симметричн относ Ох. 3)параметри ур-ние: 4) директриса.

4.Родство эллипса, гиперболы и параболы.

Кривая второго порядка- это множество точек плоскости для которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) и до заданной прямой (директрисы) есть величина постоянная равная .

а)

б)

в)

Опр: Кривая второго порядка наз центральной, если она имеет один центр симметрии и не центральной или гиперболич, если имеет бесконечное множество центров симметрии, или не имеет. Общее ур-ние кривой:

6. Общ ур линий второго порядка (центральные линии).

Приведение к конанич виду в два этапа: на первом - поворос с.к. таким образом что бы ур-ие не содержало xy (т.е. b^|=0). На втором – параллельный перенос с.к.

1этап) Если ур-ие не содержит xy то первый этам можно пропустить. Если b не равн нулю: ((далее тупо подставить в ур крив)) …

Пусть ; 1 случай) если а=с ; 2 случ) если ; После первого этапа ур кривой бедет иметь вид:

Второй этап: ((центр кривые)) ; ; ; ; , где Если ;

1) если - эллипс

2) если - мнимый эллипс

3) если разных знаков - гипербола

4) если одного знака – пара мнимых пересек прямых ()

5) если разных знаков – пересек прямые ()

7. Общ ур линий второго порядка (НЕцентральные линии).

Приведение к конанич виду в два этапа: на первом - поворос с.к. таким образом что бы ур-ие не содержало xy (т.е. b^|=0). На втором – параллельный перенос с.к.

1этап) Если ур-ие не содержит xy то первый этап можно пропустить. Если b не равн нулю: ((далее тупо подставить в ур крив)) …

Пусть ; 1 случай) если а=с ; 2 случ) если ; После первого этапа ур кривой бедет иметь вид:

Второй этап: ((нецентр кривые)) ; либо либо ; пусть ; ;

1) если : ; ; - порабола

если : ; (пар перенос) , где

2) если - пара парал прямых

3) если - пара мнимых парал прямых

4) если - пара совп прямых

Теорема: Пусть в прямоуг д.с.к. задано ур крив втор порядка. Существует такая прямоуг д.с.к. в которой ур-ие принимает один из девяти кон видов.((перечислены выше))

8. Классификация кривых 2-го порядка.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов  отличен от нуля.

1. Классификация кривых второго порядка:

   1. 1)Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если  Могут возникать следующие варианты:

• Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если 

  • эллипс — при условии D > 0 и ΔI < 0;

    • частный случай эллипса — окружность — при условии

    •  I² = 4D или a₁₁ = a₂₂,a₁₂ = 0;

  • мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии ΔI > 0;

  • гипербола — при условии D < 0;

• Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если ΔI = 0

  • парабола — при условии D = 0.

2. 2)Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

• вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;

• пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;

• вырожденная парабола — при условии D = 0:

  • пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;

  • одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;

  • пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.

Полярная система координат: уравнение эллипса, параболы и гиперболы в полярных координатах: Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах  будет иметь вид

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. При отрицательном знаке перед e второй фокус эллипса будет находиться в точке  а при положительном — в точке  где фокальное расстояние 

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то

Полярное уравнение, общее по форме для эллипса, одной ветви гиперболы и параболы, имеет вид

, (1)

где ,  - полярные координаты произвольной точки линии, р - фокальный параметр (половина фокальной хорды линии, перпендикулярной к ее оси),  - эксцентриситет (в случае параболы ). Полярная система координат при этом выбрана так, что полюс находится в фокусе, а полярная ось направлена по оси линии в сторону, противоположную ближайшей к этому фокусу директрисы.

Оптические свойства эллипса, параболы, гиперболы.

Оптическое свойство эллипса: фокальные радиусы произвольной точки M0 эллипса

составляют равные углы с касательной к эллипсу в точке M0.

Оптическое свойство гиперболы: фокальные радиусы произвольной точки M0 гиперболы составляют равные углы с касательной к эллипсу в точке M0.

Оптическое свойство параболы: касательная к параболе в каждой точке M0 со-

ставляет равные углы с фокальным радиусом точки M0 и с осью параболы.

Теорема об аффинной классификации линий 2-го порядка:

Общее уравнение (1) линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК определяет одну из следующих девяти линий

Эллипс

Мнимый эллипс

Две мнимые пересекающиеся прямые

Гипербола

Две пересекающиеся прямые

Парабола

Две параллельные прямые

Две мнимые параллельные прямые

Две совпадающиеся прямые

По предыдущей теореме, ур (1) может быть преобразовано

Рассмотрим какой вид могут принять простейшие уравнения в зависимости от знаков коэффициентов

1)a’11 и a’22 одного знака, D противоположный знак Деля (I) на –D и обозначая

Получим каноническое уравнение эллипса 2) a’11 , a’22 и D одного знака, Получим мнимый эллипс 3) a’11 , a’22 одного знака, D=0 Получим пара мнимых прямых 4) a’11 и a’22 разных знаков, D¹0 Получим

каноническое уравнение гиперболы

5) a’11 и a’22 разных знаков, D=0 Получим

две пересекающие прямые

Замена

p>0 , иначе изменим положительное направление оси Oy на противоположное

Преобразование многочлена 2-й степени при замене АСК:

Квадратичная часть линейная часть

Обозначим тогда

Где где

Приведение к каноническому виду квадратичной части уравнения второго порядка:

Теорема 1: Система уравнений (A-lE)f=0 имеет ненулевое решение тогда и только тогда когда l является корнем уравнения det(A-lE)=0

• ÞÕ det(A-lE)¹0 по ф.Крамера можно найти ! решение, а т.к. нулевое решение всегда является решением однородной системы, значит оно !. Противоречие

• det(A-lE)=0 Þ строки A-lE линейно зависимы

Имеем одно уравнение ­

Ортогональные инварианты многочлена второй степени. Ортогональным инвариантом называется функция от коэффициентов многочлена , которая не меняется при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой. Ортогональными инвариантами являются следующие три функции:

1) 2) 3)

Исследование формы эллипса,гиперболы,параболы:1)эллипс. эллипс, определяемый уравнением симметричен как относительно оси Ох, так а относительно оси Оу. Оси симметрии эллипса называют обычно просто его осями, а точку пересечения осей — центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. осями эллипса принято называть также отрезки АА' =2а и ВВ' = 2Ь. фокусы его находятся на оси Ох, то , следовательно, а> Ь. отрезок ОА = а называют большой полуосью эллипса, отрезок ОВ= Ъ — малой полуосью. 2)гипербола:Так как уравнение содержит члены только с четными степенями каждой из текущих координат х, у, то определяемая им гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей

График функции асимптотически приближается к прямой при х → + ∞ ; или прямая есть асимптота графика функции. часть гиперболы, расположенная в первой координатной четверти, на всем, протяжении лежит «ниже» своей

асимптоты. Часть рассматриваемой гиперболы, лежащая в первой координатной четверти, исходит из точки А (а; 0) и идет бесконечно «направо» и «вверх», асимптотически приближаясь к прямой притом «снизу» и монотонно.3)парабола: Существенны еще два свойства параболы: 1) направление ее в точке О (0 ; 0) перпендикулярно к оси Ох, 2) часть параболы, лежащая в верхней полуплоскости, своей выпуклостью

обращена «вверх». Ось симметрии параболы обычно называется просто ее осью (в данном случае она совмещена с осью Ох). Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется ее вершиной. Число р, т. е. параметр параболы, выражает расстояние от фокуса до директрисы.

Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида: Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две различные прямые, целиком расположенные на этой поверхности. Однополостный гиперболоид представляет собой ; перенесем в правую часть y^2/b^2, получим уравнение (*); уравнение(*) представляется в виде уравнений первого и второго семейств

Таким образом мы нашли 2 различных семейства прямых ,принадлежащих однополостному гиперболоиду. Прямые 1 и 2 семейства различны, убедимся, что через любую точку гиперболоида проходит некоторая прямая 1 или 2 семейства. Докажем для 1 семейства: пусть точка М0(x0,y0,z0) принадлежит гиперболоиду, подставим . Выберем такое ƛ0 : от противного.

что противоречит сделанным выводам. Таким образом прямая 1 семейства с ƛ0 располагается на гиперболе и проходит через М0.

Прямолинейная образующая гиперболического параболоида: Через каждую точку гиперболического параболоида проходит ровно две прямолинейных образующих (по одной из каждого семейства).

Две прямолинейные преобразующие гиперболического параболоида состоят из разных семейств и пересекаются.

Теорема о приведении квадратичной формы от трех переменных к каноническому виду:

Всякая квадратичная форма однородным ортогональным преобразованием

может быть приведена к такому виду (каноническому), при котором

преобразованная форма не содержит членов с произведением новых

переменных, взятых попарно. Причём коэффициентами преобразованной формы

будут корни характеристического уравнения. ↓

вводим ортонормированный базис

e1,e2,e3. Рассмотрим переменные хуz как координаты вектора , вводим новый ортонормированный базис f1,f2,f3 , тогда координаты произвольного вектора а в базисе е1,е2,е3 выражаются через координаты x’y’z’ того же вектора а в базисе f1,f2,f3 с помощью соотношения

запишем квадратичную форму f в матричном виде

Где

Тогда квадратичная форма f имеет вид

Обозначим матрицу получившейся квадратичной функции f’ через А’ те

тогда из f’ следует, что Покажем, что можно выбрать ортонормированный базис f1,f2,f3 так, что коэффициенты a’13 и a’23 матрицы А’ обратится в нуль. Положим a’33=£, тогда третий столбец матрицы А’ имеет вид

Умножим обе части равенства слева на С. С учетом равенства

получим . Рассмотрим третий столбец этого матричного равенства:

Вектор f3=(c13,c23,c33) должен быть единичным, а линейная и однородная относительно с13,с23,с33 система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен 0. Имеем

это уравнение называется характеристическим уравнением квадратичной формы f, а многочлен от переменной £ называется характеристическим многочленом. Каждый многочлен 3 степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень. Обозначим его через £3. Полагая £=£3,получим систему с нулевым определителем.

Эта система имеет ненулевое решение c13,с23,с33,обозначим его через f3. Построим векторы f1=(c11,c21,c31), f2=(c12,c22,c32), ортогональные f3 и друг другу и получим. что форма f’ имеет вид далее производим поворот системы координат Оx’y’z’ вокруг оси Oz’, такому повороту соответствует ортогональное преобразование Угол £ можно выбрать таким, что форма преобразуется в форму

При последнем выполнении ортогональных преобразований

квадратичная форма f преобразуется в форму . Покажем, что

являются координатами характеристического многочлена А. обозначим матрицу преобразования через С, а матрицу квадратичной формы через A”, тогда

с другой стороны

Поскольку С1 ортогональна, поэтому и следует, что

Поэтому a”11,a”22,a”33 являются корнями характеристического уравнения det(A-£E), которое тем самым имеет три действительных корня a”11,a”22,a”33, и получим, что все корни уравнения det(A-£E)=0 действительные. Таким образом есть канонический вид квадратичной формы. ↑

Эллиптический Параболоид а - эллиптический; -Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями 1) - парабола 1) - парабола 3) а) h<0 – беск множ-во б) h=0 – 1 тчк (0,0,0) в) h>0 эллипс с полуосями

-Дополнительные сечения параболоида

-параболойд вращения

Гиперболический Параболоид

б - гиперболический

-Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений 1) - парабола ветви вниз 1) - парабола ветви вверх 3) а) h<0 – гипербола с действ осью у и мнимой х б) h=0: - две прямые

в) h>0 гипербола с действ осью х и мнимой у еорема: Через каждуйю точку гиперболич параб проходят 2 прямые лежащ на нем. Д-во: ; - перв прям и

13. Цилиндры

Цилиндром наз поверхность, которая получ при движении прямой в простр не меняющей своего напрв. Если данная прямая параллельна Oz, то цилиндр опред ур-ием сечения xOy, т.е. z=0

Эллиптический Изображение эллиптического цилиндра с помощью сечений Гипербалический

Изображение гипербоического цилиндра с помощью сечений Пораболический

Изображение параболического цилиндра с помощью сечений

Прямолинейныеобразующие:

поверхности, бесконечная система прямых линий (или отрезков прямых линий), целиком заполняющих поверхность. Поверхность, состоящая из прямых линий, называется линейчатой. Поверхности, имеющие два семейства прямолинейных образующих, суть поверхности второго порядка.

15. Поверхности вращения.

(вокруг Oz) ; Рассмтрим M₁ и M₂ которые лежат в yOz: кривой, - ур-ие поверхности вращения

9. Эллипсоид. Канон ур-ие. Сечения. Эллипсоиды вращения.

-Сечение плоскостью xOy

- Сечения эллипсоида координатными плоскостями

-эллипсоид вращения

a,b,c>0 – полуоси;

1) xOy: z=0;

2) xOz: y=0;

3) yOz: x=0;

4) ; а) эллипс с полуосями (чем |h| больше, тем полуоси меньше);

б) |h|>|c| - пустое множество

в) |h|=|c| две точки (0,0,c) и (0,0,-c)

Вращение: вращать эллипс вокруг Ox: или Oy:

Однополостный Гиперболоид:

-сечение однополосного гиперболойда 2-мя плоскостями

-сечение однополосного гиперболойда -однополосный вращение 1) yOz: 2) xOz: 3) ; а) эллипс с полуосями (чем |h| больше, тем полуоси больше);

Прямолинейной образующей поверхности назовем прямую целиком лежащую на поверхности. Теорема: через каждую точку однополостного гипербалоида проходят две прямолинейных образующих. Д-во: ; ; - ур-ия двух пл-стей (первая прямая); - вторая прямая

Вращение гиперболы вокруг Oz:

Двухполостный Гиперболоид:

-Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью xOz

-двуполосный гиперболоид 1) yOz: - гипербола с действ осью z и мнимой у 2) xOz: - гипербола с действ осью z и мнимой х

3) ; а) эллипс с полуосями (чем |h| больше, тем полуоси больше);

б) |h|<|c| - пустое множество

в) |h|=|c| - 2 точки (0,0,c) и (0,0,-c)

Вращение гиперболы вокруг Oz:

-двуполосный вращение

11. Конус.

1) - две прямые

2) - две прямые

3) ; а) эллипс с полуосями (чем |h| больше, тем полуоси больше);

б) h=0 – 1 точка (0,0,0) – вершина

ЗЫ Конус – асимптотическая поверхность для гипербалоидОВ

Директрисы эллипса. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.

Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как  для фокусов  соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно 

Определение. Директрисами гиперболы называются две прямые, уравнения которых в канонической для гиперболы системе координат имеют вид . Так как , то .

Отношение , где , называется эксцентриситетом гиперболы.

Переход от одной ДПСК к другой ДПСК с той же ориентацией и с тем же началом координат:

Пусть на плоскости введены две ДПСК,(ХОY и Х’OY’) с общим началом координаты О, имеющие одинаковую ориентацию. обозначим α-угол от оси ОХ’ до ОХ,обозначим един.векторы осей ОХ и ОУ через i и j.обозначим точку М(х,у)и(x',y') относит. Двух дпск. Тк угол от ОХ до i’ =α,аналогично от j’ до ОХ равен α+п/2; i’=(cosα;sinα)

j’=(cos(α+p/2);sin(α+p/2)) ; i’=(cosα;sinα) j’ =(-sinα;cosα) или i’=i·cosα+j·sinα j’ =-i·sinα+j·cosα;тогда матрица перехода

Эта матрица называется ортогональной (сумма квадратов элементов, расположенных в каждом столбце равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов строки равна 0)Определитель этой матрицы равен 1; Формулы перехода

Теорема: о переходе от одной АСК к другой

Пусть - одна АСК на плоскости,

- другая АСК (новый),

пусть вектора нового базиса разложены в лин. Комбинацию старого е’1=L’1e1+L’’1e2 e’2+L’2e1+L’’2e2;тогда матрица (2*2), в которой коэффициенты разложений записаны в столбцы С= ( L’1 L’2 )

( L’’1 L’’2 ) называется матрицей перехода от нового базиса к старому;{x1,x2} координаты в старом базисе;{x’1,x’2} координаты в новом; тогда новые координаты связаны со старыми с помощью матрицы перехода следующим образом

(х1)=С(х’1)

(х2) (х’2); тк x’1 x’2 новые координаты,то х1 и х2 могут быть разложены через эти координаты; x={x’1,x’2} x=x’1e’1+x’2e”2;e’1=L’1e1+L’’1e2 e’2=L’2e1+L’’2e2;x=x’1(L’1e1+L’’1e2)+x’2(L’2e1+L’’2e2)=e1(L’1x’1+L’2x’2)+e2(L’’1x’1+L’’2x’2);с другой стороны этот же вектор x={x1,x2} x=x1e1+x2e2;приравняем координаты при базисных векторах,получаем (x1)=(L’1 L’2 )*(x’1)

(x2) (L’’1 L’’2) (x’2)

Теорема: о том, что всякое уравнение 2-й степени с 2-мя неизвестными определяет эллипс, гиперболу, параболу или две прямые

Общее уравнение линии 2-го порядка, заданной относительно ДПСК, при помощи поворота и переноса осей координат можно привести к одному из следующих видов

¯ пусть а12¹0 Докажем, что можно повернуть оси xOy на такой угол a, что в преобразованном уравнении коэффициент при xy обратится в 0; M(x;y) в Oxy M(x’;y’) в Ox’y’ Подставим в (1) где

По условию

1)При повороте на угол a из последнего соотношения в преобразованном уравнении коэффициент a’12 обратится в 0 1) a’11¹0 a’22¹0 Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка замена

В системе координат XO’Y где 2. Или a’22=0, a’2¹0, или a’11=0, a’1¹0 пусть a’22=0, a’2¹0

Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка замена 3. Или a’22= a’2=0, или a’11= a’1=0 пусть a’22= a’2=0

Перенесём оси x’Oy’ так, чтобы новым началом координат стала точка Замена где

­

Преобразование коэффициентов при параллельном переносе:

ДПСК X’O’Y’ получена параллельным переносом XOY вдоль вектора OO’.

Старые и новые координаты связаны соотношением

Подставим в (1), то

Коэффициенты квадратичной части не изменяются

Найдём такую ДПСК O’x’y’, чтобы в ур. (1’)

Тк O’ имеет координаты (x0,y0), то найдем их координаты из системы Уравнение центра кривой 2-го порядка Центр этой кривой

Алгоритм приведения уравнения линии к каноническому виду по инвариантам

Для приведения уравнения линии второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат , к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия. 1. По уравнению (3.70) линии второго порядка составить матрицу  квадратичной функции, матрицу  квадратичной формы и столбец а коэффициентов линейной формы:2. Составить характеристическое уравнение , либо вычисляя его коэффициенты по формулам:   либо разлагая определитель  . Найти корни  (с учетом кратности) характеристического уравнения. Вычислить инвариант  . Если , то вычислить семиинвариант 

3. По таблице 3.2 определить вид линии

4. Занумеровать корни  характеристического уравнения в соответствии с правилами:

а) если линия эллиптического типа, то ; б) если линия гиперболического типа, то: -при  (знак  совпадает со знаком ); – при ; в) если линия параболического типа, то .

5. Найти взаимно ортогональные собственные направления , соответствующие корням  характеристического уравнения:

а) если , то базисные векторы исходной системы имеют искомые направления  

б) если корни  простые , то для каждого корня найти ненулевое решение однородной системы уравнений  Например, собственное направление  для простого корня  находится как любое ненулевое решение системы

 или 

Если , то направление  должно удовлетворять дополнительному условию , в противном случае следует заменить столбец  на противоположный . Нормируя полученные векторы , определить координатные столбцы   векторов  канонического базиса.

6. Найти координаты  начала  канонической системы координат:

а) для линий, имеющих хотя бы один центр (т.е. всех линий, за исключением параболы), найти любое решение  системы уравнений или 

б) для параболы найти решение  системы:  где 

7. Вычислить коэффициенты канонического уравнения:

а) для линий эллиптического типа 

(1) при  — уравнение эллипса  с коэффициентами  (2) при  — уравнение эллипса  с коэффициентами  (3) при  — уравнение эллипса  с коэффициентами 

б) для линии гиперболического типа 

(4) при  — уравнение эллипса  с коэффициентами  (3) при  — уравнение эллипса  с коэффициентами 

в) для линии параболического типа 

(6) при  — уравнение параболы  с параметром  (7) при  — уравнение пары параллельных прямых  коэффициентом  (8) при  — уравнение пары параллельных прямых  коэффициентом  (9) при  — уравнение пары параллельных прямых  коэффициентом 

Аффинная классификация поверхностей: Теорема. Все поверхности второго порядка делятся на 17 аф­финных классов, названия которых даны в теореме 3 § 152.

Доказательство теоремы состоит из двух частей.

Любые две поверхности второго порядка, принадлежащие одному и тому же классу из числа семнадцати, указанных в тео­реме 3 § 152, могут быть аффинным преобразованием переведены друг в друга. Это доказывается совершенно так же, как для линий второго порядка.

Любые две поверхности, принадлежащие к разным классам из числа семнадцати, указанных выше, никаким аффинным пре­образованием нельзя преобразовать друг в друга. Принцип дока­зательства этого положения состоит в том, что сравнивая две поверхности, мы указываем такое свойство, инвариантное относи­тельно аффинного преобразования, которым обладает одна поверхность и не обладает другая.

Мнимый эллипсоид, мнимый эллиптический цилиндр и две мнимые параллельные плоскости не содержат ни одной действи­тельной точки и, значит, аффинно не могут быть преобразованы ни в одну из поверхностей остальных аффинных классов, так как при аффинном преобразовании действительные точки переходят в действительные.

Две пересекающиеся плоскости, две параллельные плоскости и две совпадающие плоскости не могут быть аффинко преобразо­ваны ни в одну из поверхностей остальных аффинных классов, так как только они состоят из плоскостей Параллельные пло­скости не могут быть преобразованы в пересекающиеся, а различ­ные—в совпадающие. Две мнимые пересекающиеся плоскости содержат только одну действительную прямую, и никакая другая поверхность ьгорого порядка не обладает этим свойством.

Среди поверхностей остальных аффинных классов эллипсоид, двуполостный гиперболоид и эллиптический параболоид отличаются от поверхностей остальных аффинных классов тем что не содер­жат прямолинейных образующих, а между собой—гем, что эллип­соид-поверхность ограниченная, тогда как двуполостиый гипер­болоид и эллиптический параболоид —поверхности неограниченные; при этом двуполостиый гиперболоид состоит из двух кусков, а эллиптический параболоид—из одного куска. Это различие со­хранится при любом аффинном преобразовании.

Среди остающихся линейчатых поверхностей конус отличается от поверхностей остальных классов тем, что представляет собой поверхность, образованную прямыми, проходящими через одну точку и не лежащими в одной плоскости, а эллиптический, ги­перболический и параболический цилиндры—тем, что образованы параллельными прямыми. Друг от друга эти три поверхности отличаются тем, что сечения их плоскостями, не параллельными образующим, будут соответственно эллипсами, гиперболами, параболами. Наконец, однополостный гиперболоид от гиперболи­ческого параболоида отличается тем, что первая поверхность имеет центр симметрии, а вторая —нет.

Мнимый эллипсоид имеет единственный центр, мнимый ци­линдр-прямую центров, и две мнимые параллельные плоскости — плоскость центров. Так как это свойство инвариантно по отно­шению к любому аффинному преобразованию, то эти поверхности принадлежат к трем различным (аффинным) классам.