Электротехника Ч1
.pdf51
3.10.Приведите соотношения между токами и напряжениями на R, L, и C элементах в комплексной показательной форме.
3.11.Каковы фазовые соотношения между током и напряжением на R, L и С эле-
ментах?
ЛЕКЦИЯ 4. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА СОПРОТИВЛЕНИЯ И ПРОВОДИМОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1. КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Введение комплексного представления токов и напряжений требует определить и сопротивление R, С и L элементов электрических цепей в комплексной форме – ZR, ZC и ZL.
Хорошо известно, что сопротивление резистора определяется как отношение напряжения на резисторе к току, протекающему через него. Если напряжение и ток представлены в комплексной форме, то
|
& |
(t) |
& |
e |
jωt |
|
Um e |
jϕ |
|
|
||
ZR = |
UmR |
UmR |
|
|
|
u |
|
|||||
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
I&mR (t) |
I&mR e jωt |
|
Im e jϕi |
|||||||||
|
|
|
|
|
Но в предыдущей лекции было установлено, что на резистивном элементе напряжение и ток совпадают по фазе, т. е. ϕu = ϕi . Поэтому
ZR = |
Um |
= R. |
(4.1) |
|
|||
|
Im |
|
Таким образом видим, что комплексное сопротивление резистора выражается только действительным числом. Оно не вносит фазовых искажений между током и напряжением. Чтобы подчеркнуть этот факт, такое сопротивление часто называют активным.
52
Комплексное сопротивление емкости определяется следующим отношением:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
I&mC e jωt |
|
|
|
|
|
& |
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
jωC |
|
1 |
|
|
|||||||
ZC = |
UmC |
|
= − j |
|
|
||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
(4.2) |
||
I&m |
|
|
|
I&m |
|
|
e jωt |
ωC |
|||||
|
C |
(t) |
C |
|
|
|
|||||||
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видим, что комплексное сопротивление емкости переменному току выражается мнимым числом. Мнимая единица -j физически определяет сдвиг фаз между током и напряжением на 90о. Это хорошо согласуется с ее математическим значением:
−π
− j = e 2 .
Таким образом, напряжение на емкости отстает от тока на 90о. Это означает, что сначала растет ток, протекающий через конденсатор, затем, с некоторым отставанием увеличивается заряд и напряжение.
Коэффициент 1/ω C определяет величину сопротивления в Омах. Он обратно пропорционален частоте, называется емкостным сопротивлением и обозначается ХС, т.е.
ZC = − jX C [Ом]. |
(4.3) |
Комплексное сопротивление индуктивности определяется отношени-
ем:
|
& |
(t) |
& |
jωt |
|
||
ZL = |
UmL |
jωL ImL e |
|
= jωL . |
|
||
|
|
= |
|
|
(4.4) |
||
|
|
I&mL e jωt |
|
||||
|
I&mL (t) |
|
|
|
И в этом случае сопротивление выражается мнимым числом. Но так как это число положительное, это означает, что на индуктивности напряжение опережает ток на 90о.
Коэффициент ωL определяет величину сопротивления в Омах. Он пропорционален частоте, называется индуктивным сопротивлением и обозначается ХL, т.е.
53
ZL = jX L [Ом]. |
(4.5) |
Чтобы подчеркнуть тот факт, что сопротивления емкости и индуктивности выражаются мнимыми числами, их называют реактивными сопро-
тивлениями, а конденсатор и индуктивность – реактивными элементами
цепи.
Теперь определим комплексное сопротивление электрической цепи, содержащей активные и реактивные элементы, например, последовательно включенные R, L и С элементы (рис.4.1). Такая цепь представляет замкнутый контур, поэтому для нее справедлив второй закон Кирхгофа:
e(t) = uR (t) + uL (t) + uC (t) . |
(4.6) |
В последнем выражении проведем замену символов мгновенных напряжений и Э.Д.С. на их комплексные изображения по правилам, определенным в лекции 2. Такой прием получил название символического метода.
Так как ток, протекающий через все элементы последовательной цепи, одинаков, то (4.6) приходит к виду:
& |
& |
|
& |
|
1 |
|
& |
U |
(t) = R Im (t) + jωL Im (t) − j |
ωC |
Im (t). |
||||
|
|
|
|
|
|
||
Разделим обе части равенства на Ìm(t): |
|
|
|
|
|||
|
& |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
E(t) |
= R + j ωL − |
|
. |
||
|
|
I&m (t) |
|
|
|||
|
|
|
ωC |
По определению выражение в правой части последнего равенства есть ни что иное, как комплексное сопротивление цепи рис.4.1, т.е.
Z = R + j |
ωL − |
1 |
|
= R + jX , |
(4.7) |
|
|
||||||
|
|
|
ωC |
|
|
|
где R – действительная часть |
или |
активное сопротивление |
цепи, |
X = (ωL − 1 ) – мнимая часть или реактивное сопротивление цепи.
ωC
54
Выражение (4.7) представляет комплексное сопротивление в алгебраической форме.
Соотношения между составляющими комплексного сопротивления находятся в полном соответствии с соотношениями для комплексного представления тока. Но для большей наглядности вводится понятие треугольни- ка сопротивления (рис.4.2). В треугольнике гипотенуза определяется модулем комплексного сопротивления Z, причем
Z = R2 + X 2 . |
(4.8) |
Катет, прилежащий к острому углу ϕ Z определяет активное сопротив-
ление цепи R:
R = Z cosϕ Z . |
(4.9) |
Противолежащий катет определяет реактивное сопротивление цепи Х:
X = Z sinϕ. |
(4.10) |
Угол φZ определяет сдвиг фаз между током и напряжением, который вносится комплексным сопротивлением цепи:
ϕ Z = arctg |
X |
. |
(4.11) |
|
|||
|
R |
|
Учитывая выражения (4.8) (4.11), легко перейти от алгебраической к тригонометрической форме комплексного сопротивления:
|
|
|
Z = Z (cosϕ Z + j sin ϕ Z ). |
(4.12) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55
Применив формулу Эйлера, получим показательную комплексную форму представления сопротивления:
Z = Z e jϕ Z . |
(4.13) |
Теперь можно записать закон Ома для участка цепи без источника Э.Д.С. в комплексном изображении:
|
& |
|
|
Um e |
jϕ E |
|
|
|
|
|
|
& |
U |
|
|
|
|
Um |
|
j(ϕ E −ϕ Z ) |
|
|
|
Im = |
Z |
= |
|
Z e jϕ Z |
= |
Z |
e |
|
. |
(4.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (4.14) показывает, что в цепях переменного тока модуль тока определяется отношением модуля напряжения (его амплитудного значения) к модулю комплексного сопротивления, а фаза тока определяется разностью фаз напряжения и комплексного сопротивления. Отсюда вытекает еще одно полезное для практики выражение:
Z = |
Um |
= |
U |
= |
U0 |
. |
(4.15) |
|
|
|
|||||
|
Im |
|
I |
|
I0 |
|
2.КОМПЛЕКСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
Вцепях постоянного тока проводимость резистора определяется отношением тока к напряжению:
G = UI = R1 .
Эта величина обратно пропорциональна сопротивлению. В цепях переменного тока следует пользоваться понятием комплексной проводимости, которая обозначается Y и, в общем случае, содержит действительную G и мнимую В части:
Y = G + jB.
Как и в цепях постоянного тока, комплексная проводимость участка цепи обратно пропорциональна комплексному сопротивлению, т.е.
56
Y = |
1 |
= |
1 |
|
= |
|
R − jX |
= |
R − jX |
= |
R |
|
|
− j |
X |
. |
||||
Z |
R + jX |
(R + jX )(R − jX ) |
R2 + X 2 |
R2 + X 2 |
R2 + X 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G = |
|
R |
, |
B = − |
|
|
X |
, |
|
У = |
1 |
|
, |
(4.16) |
|||
|
|
|
R2 + X 2 |
|
R2 + X 2 |
|
Z |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где У - модуль комплексной проводимости.
Соотношение между составляющими комплексной формы представления проводимости аналогичны соотношениям между составляющими комплексного сопротивления. Комплексные проводимости элементов R, L и С обратно пропорциональны их комплексным сопротивлениям.
Комплексная проводимость резистора обратна его комплексному сопротивлению:
YR = |
1 |
= |
1 |
= G. |
(4.17) |
|
ZR |
R |
|||||
|
|
|
|
Комплексная проводимость конденсатора определяется законом Ома:
|
|
|
Y = |
|
I&m |
C |
|
= |
jωC = jB |
|
(4.18) |
|||||
|
|
|
& |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
UmC |
|
|
|
|
|
||||||
Комплексная проводимость индуктивности находится аналогично |
||||||||||||||||
(4.18): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
L |
= |
|
I&mL |
= |
|
|
1 |
|
= − j |
1 |
= − jB |
L |
(4.19) |
||
& |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
jωL |
|
ωL |
|
|||||||||
|
|
|
UmL |
|
|
|
|
|
В заключение отметим, что комплексное сопротивление удобно применять для анализа участков электрической цепи с последовательным включением элементов, а комплексную проводимость – для анализа участков с параллельным включением элементов.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
57
4.1.Что привело к необходимости ввести понятия комплексного сопротивления и комплексной проводимости R, L и С элементов электрической цепи?
4.2.Приведите соотношения, определяющие комплексное сопротивление R, L и С элементов. Сформулируйте физический смысл мнимой единицы j.
4.3.Приведите соотношения между составляющими комплексного сопротивле-
ния.
4.4.Сформулируйте закон Ома в комплексной форме.
4.5.Можно ли при анализе электрических цепей синусоидального тока воспользоваться методами, применяемыми в цепях постоянного тока?
4.6.В схеме рис. 4.1 известно: e(t) = 10 sin 314t, R = 10 Ом, L = 0,1 Гн, а С = 50,7·106Ф. Определите комплексное сопротивление цепи в алгебраической и показательной форме.
4.7.Используя данные п. 4.6 определите ток цепи рис. 4.1.
4.8.Используя данные п. 4.6 определите напряжение на R, L и С элементах цепи
рис. 4.1.
4.9.В каких случаях целесообразно применять комплексную проводимость R, L и
Сэлементов цепи?
4.10.Приведите соотношения, определяющие комплексную проводимость R, L и
Сэлементов.
ЛЕКЦИЯ 5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕК-
ТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
1. МГНОВЕННАЯ МОЩНОСТЬ ЦЕПИ С R, L И С ЭЛЕМЕНТАМИ
В общем случае мгновенная мощность определяется произведением тока на напряжение:
p(t) = i(t) u(t) . |
(5.1) |
58
Определим мгновенную мощность для цепи с последовательно включенными R, L и С элементами (рис.4.1). Пусть в этой цепи протекает ток
i(t) = Im sin ωt . |
(5.2) |
Он одинаков для всех элементов цепи.
Напряжение цепи определяется суммой падений напряжений на отдельных элементах
u(t) = uR (t) + uL (t) + uC (t) . |
(5.3) |
||||||
С учетом выражений (1.8) и (1.11) перепишем (5.3): |
|
||||||
u(t) = R i(t) + L |
di(t) |
+ |
1 |
∫i(t)dt . |
(5.4) |
||
|
|
||||||
|
dt |
C |
|
||||
Подставляя в (5.4) выражение для i(t) и решая его, получим |
|||||||
u(t) = R Im sin ωt + ωL Im cosωt − |
Im |
cosωt = |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
ωC |
|
||
= RIm sin ωt + X L Im cosωt − X C Im cosωt . |
(5.5) |
||||||
Проведем более детальный анализ выражения (5.5). |
Этому выраже- |
нию соответствует векторная диаграмма рис.5.1. В ней в качестве исходного принят вектор тока I . Вектор напряжения на индуктивности UL опережает ток, а вектор напряжения на емкости UC отстает от тока на 90о. Вектор на-
пряжения на резисторе Uа совпадает по фазе с током.
59
UL |
|
U |
L |
|
U |
|
UC |
|
|
Ur |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
Ua |
UC |
|
|
|
Рис. 5.1. Векторная диаграмма тока и напряжений в цепи с последовательным соединением R, L и С элементов
Проведем сложение векторов. Для этого начало вектора U L перемес-
тим в точку конца вектора Ua , а начало вектора UC - в точку конца вектора
U L . Результатом сложения является вектор U , выходящий из начала векто-
ра Ua в конец вектора UC . Угол ϕ определяет сдвиг фаз между током и результирующим напряжением, т. е. ϕ = ϕu − ϕi .
Соединим точки концов двух векторов – U и Ua . Обозначим вновь полученный вектор Ur = UL − UC . Образовавшийся треугольник из векторов
U; U a и U r называют треугольником напряжений. Для него справедливы следующие выражения:
Ua = R I = U cosϕ; причем ϕ = ϕu |
− ϕi |
, |
|
|
(5.6) |
|||||||||||||
Ur = X r I = U sinϕ , |
X r = X L − X C |
= |
ωL − |
1 |
|
, |
(5.7) |
|||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
U = Ua2 + Ur2 = I R2 + ωL |
− |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
(5.8) |
|||||||
|
ωC |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ωL − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ur |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕ = arctg |
= arctg |
ωC |
. |
|
|
|
|
|
|
(5.9) |
||||||||
Ua |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60
Теперь возвратимся к формированию выражения для мгновенной мощности. Подставим (5.2) и (5.5) в (5.1). Тогда выражение для мгновенной мощности цепи рис. 4.1 примет вид:
p(t) = Im sin ωt(RIm sin ωt + X L Im cosωt − X C Im cosωt) = |
|
= RIm2 sin2 ωt + X L Im2 sin ωt cosωt − X C Im2 sin ωt cosωt . |
(5.10) |
Выражение (5.10) показывает, что мгновенная мощность цепи опреде-
ляется суммой слагаемых мощностей каждого из элементов. Оценка каж-
дого из слагаемых требует более детального анализа выражения (5.10).
2. АКТИВНАЯ, РЕАКТИВНАЯ, ПОЛНАЯ МОЩНОСТЬ
Для анализа (5.10) применим известные из курса тригонометрии формулы преобразования:
sin 2 ωt = |
1 |
(1 − cos 2ωt); |
sin ωt cosωt |
= |
1 |
sin 2ωt . |
|
|||
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
Применяя их к (5.10), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p(t) = RI 2 − RI 2 cos 2ωt + X L I 2 sin 2ωt − X C I 2 sin 2ωt , |
(5.11) |
|||||||||
|
|
|
|
I |
2 |
|
|
|
|
|
где I – действующее значение тока, причем I 2 = |
|
m |
. |
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Первые два слагаемых в (5.11) |
определяют мгновенную мощность, |
|||||||||
выделяемую на элементе R. Можно записать, что: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
pR (t) = RI 2 − RI 2 cos 2ωt . |
|
|
|
(5.12) |
Как видно из (5.12), мгновенная мощность pR(t) содержит постоянную составляющую Р = RI2 и переменную, меняющуюся с удвоенной частотой. График рR(t) приведен на рис. 5.2. График наглядно показыва-
ет, что мощность рR(t) всегда положительна и изменяется от 0 (в мо-