Механика

Направление осей координат в пространстве можно определить,

ρчить простое, удобное и понятное решение задачи.

A(ρ,ϕ,z)

диуса ρ = const, полуплоскость, ограниченная осью Z и повернутая относительно оси Х на угол ϕ = const, плоскость z = const.

Координаты цилиндрической системы связаны с декартовыми координатами соотношениями: x = ρ·cos ϕ; y = ρ·sin ϕ , z = z .

1. КИНЕМАТИКА

Кинематика (от греч. kinema, kinematos – движение), раздел механики, посвященный изучению геометрических свойств движения тел, без учета их масс и действующих на них сил. Исходными в кинематике являются понятия пространства и времени. В зависимости от свойств изучаемого объекта кинематику разделяют на кинематику точки, кинематику твердого тела и кинематику непрерывной изменяемой среды, например жидкости или газа.

Движение считается заданным (известным), если получена информация, позволяющая определить положение исследуемого объекта по отношению к системе отсчета в любой момент времени. Такой информацией могут быть уравнения, графики или таблицы.

В кинематике используют физические понятия: траектория, скорость, ускорение, перемещение, путь. Рассматриваемые в механике кинематические характеристики выражаются через первые и вторые производные от координат по времени. Число и вид этих характеристик связаны с особенностями рассматриваемого движения.

Устанавливаемые в кинематике понятия и зависимости используются при решении задач динамики и при расчетах движений в различных машинах и механизмах.

1.1. Способы задания движения точки. Радиус-вектор

Описать движение материальной точки – значит задать способ, позволяющий определить ее местоположение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Известны три способа описания движения материальной точки.

Естественный. В этом способе задают:

−траекторию движения точки относительно выбранной системы координат (рис. 1.1);

−начало отсчета – некоторую точку O на траектории;

−положительное направление отсчета параметра s, задающего закон движения;

−закон движения точки вдоль траектории s = f(t). Закон движения может быть задан аналитически или графически.

13

в) дифференцируемой, т.е. иметь, по крайней мере, первую производную, которая однозначно определяет скорость движения.

Координатный. В этом способе задается зависимость выбранных координат от времени. Так для декартовой системы координат должны быть заданы уравнения

х = f(t); y = f(t); z = f(t). (1.1)

Функции x(t); y(t); z(t), как и в предыдущем способе, должны быть однозначными, непрерывными и дифференцируемыми. Исключая из (1.1) время t, получим одну из трех возможных систем уравнений:

Каждая из этих систем задает траекторию движения точки.

Векторный. В этом способе положение точки М (рис. 1.2) задается радиусом-вектром rr = r(t) . При этом точка М (конец радиуса-

вектора) движется по траектории, которая называется годографом вектора rr. В этом способе оперируют проекциями радиуса-вектора на координатные оси. Для декартовой системы координат связь между радиусом-вектором и его проекциями задана уравнениями

менты времени, можно рассматривать как некоторую непрерывную линию. Эту линию называют траекторией движущейся точки. Механическое движение тела относительно, а значит, вид траекторий также зависит от выбора системы отсчета. Например, траектория малого тела, брошенного вертикально вверх, в прямолинейно и равномерно движущемся вагоне, будет прямая линия относительно вагона и парабола относительно земли. Точка А колеса железнодорожного вагона, катящегося без скольжения (рис.1.3), движется по окружности относительно системы отсчета, связанной с вагоном, и по циклоиде (пунктирная кривая на рис.1.3) относительно системы отсчета, связанной с рельсом.

В общем случае траектория материальной точки представляет собой не плоскую, а пространственную кривую. Для такой кривой вво-

точки неограниченно приближаются к точке М.

Характеристики траектории – ее кривизна и радиус кривизны. Рассмотрим участок траектории рис. 1.4 в окрестности точек М′, М, М′′ и проведем через эти три точки окружность (рис. 1.5). Эта окружность лежит в соприкасающейся плоскости и является соприкасающимсякругомрадиусаR. Проведем касательныеТ′ и Т′′ вточкахтраектории М ′ и М ′′, которые также лежат на соприкасающемся круге и расположены симметрично относительно точки М. Угол между этими касательными Δθ.

Точка О является центром кривизны траектории в точке М, а ее кривизна k определяется соотношением

Скорость точки в данный момент времени (мгновенная скорость

точки) определяется как предел, к которому стремится средняя скорость < vr > при t → 0. Эта векторная величина равна первой производной от радиуса-вектора r , определяющего положение точки в пространстве, по времени t

Вдекартовой системе координат формулу (1.10) можно записать

ввиде

где vx, vy, vz – проекции скорости на соответствующие оси координат. Модуль скорости через его проекции вычисляется по формуле

Формула размерности [v] = м/с.

1.4. Ускорение

Для характеристики быстроты изменения скорости материальной точки вводится понятие ускорение. Рассмотрим движение материальной точки по траектории. Пусть в момент времени t она находи-

17

лась в положении А и имела скорость v(t) (рис.1.7), а в момент вре-

строим в соответствующем масштабе отрезки, равные и совпадающие

Ускорением (или мгновенным ускорением) точки называется век-

торнаявеличина a , равная пределусреднегоускорения arср при неогра-

ниченном уменьшении продолжительности интервала t , или первой производной по времени от скорости v рассматриваемой точки или, что то же самое, второй производной по времени от радиуса-вектора r этой точки:

прямоугольной декартовой системы координат представлено формулой

где проекции ускорения на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости или, что то

18

же самое, вторым производным по времени от соответствующих координат точки:

В общем случае движения материальной точки по криволинейной траектории изменяются модуль скорости v и направление вектора скорости v , т.е. ориентация единичного вектора eτ . Для опре-

деления ускорения запишем вектор скорости в виде vr = verτ и продифференцируем это выражение по времени

траектории можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие (рис. 1.9).

Тангенциальная составляющая ускорения – aτ направлена по

касательной к траектории и характеризует быстроту изменения модуля вектора скорости

Нормальная составляющая ускорения – a n направлена по главной нормали nr к траектории в рассматриваемой точке А в сторону к

Нормальную составляющую ускорения an называют также цен-

тростремительным ускорением.

Через эти составляющие ускорение материальной точки определяется по формуле (1.22) в векторном виде или по формуле (1.23) в скалярном формате

Если при криволинейном движении модуль тангенциальной со-

ставляющей ускорения равен нулю ( aτ = dvdt =0 ), то вектор ускорения

будет направлен по нормали и полное ускорение равно нормальному ar=arn . Например, при рассмотрении движения тела, брошенного под углом к горизонту, если пренебречь сопротивлением воздуха, то в максимальной точке подъема скорость достигнет экстремума и ускорение тела будет направлено по нормали.

Если модуль нормальной составляющей ускорения равен нулю

( an = v2 =0 ), то вектор ускорения будет лежать на касательной к тра-

R

ектории и полное ускорение равно тангенциальному ar=arτ . Например, при изменении направления движения математического маятника в положении максимального смещения, где скорость маятника обращается в ноль, полное ускорение колеблющейся точки направлено по касательной к траектории.

1.5. Кинематика вращательного движения

Движение тела, при котором две его точки А и В остаются неподвижными (рис.1.10), называется вращением (или вращательным движением) тела вокруг неподвижной оси. Неподвижная прямая АВ

называется осью вращения тела. Ось вращения может проходить сквозь тело или лежать вне тела. При вращении вокруг неподвижной оси все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости окружностей перпендикулярны к ней (на рис. 1.10 – штрихованные). Такого рода движение относительно Зем-

20