Электромагнетизм

тока в контуре 1 изменяющееся магнитное поле этого тока индуцирует ЭДС в соседнем контуре 2.

εi2 =−dФ21 =−L21 dI1 dt dt

Величина коэффициента взаимной индукции определяется геометрической формой контуров, их размером, относительным расположением и средой, в которой находятся контуры. Контуры 1 и 2 называются индуктивно связанными.

3. Токи размыкания и замыкания. Ток размыкания (экстраток размы-

кания) можно наблюдать с помощью следующей схемы (рис. 25.8). Если разомкнуть ключ К, то магнитный поток в катушке L будет исчезать и в ней возникнет экстраток самоиндукции I (экстраток размыкания). В соответствии с правилом Ленца он будет препятствовать убыванию магнитного потока и направлен в катушке так же, как убывающий ток.

Сила тока в контуре RL в соответствии со вторым законом Кирхгофа будет удовлетворять уравнению

Разделив обе части на L и пе-

ренеся правую часть уравнения в левую, получим:

dIdt + RL I = 0

Это линейное дифференциальное уравнение. Составим характеристи-

ческое уравнение: aλ +b = 0 , где a =1, b = RL . Корень характеристического уравнения λ = −b .

91

Решение дифференциального уравнения: λt −bt −Rt

I =Ce =Ce =Ce L .

При t = 0 начальное значение тока I = I0 . Следовательно, подставив t = 0 получим значение константы C = I0 . Тогда решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения:

λt −Rt

I =Ce =Ce L

92

Частным решением может быть, например, Im = Rε . (Убедимся в этом,

Найдем константу C . При t = 0 I = 0 , тогда С = −Im , отсюда общее решение неоднородного уравнения для токов замыкания:

График зависимости I от t представлен на рис. 25.11.

В случае тока замыкания индуктивность задерживает нарастание тока.

4. Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии маг-

нитного поля. Рассмотрим схему на рис. 25.12. При замкнутом ключе в соленоиде установится ток I , который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если разомк-

нуть ключ, то через сопротивление R будет течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в соленоиде ЭДС самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за счет энергии магнитного поля за время dt :

dt

dψ = LdI , тогда

dA = −LIdI .

93

Ток совершает работу, изменяя свое значение от I до нуля:

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое магнитный поток? Как он определяется?

2.Что выражает закон электромагнитной индукции Фарадея и какова его формула?

3.Что выражает правило Ленца?

4.Положительные и отрицательный проявления токов Фуко.

5.Какое явление называется самоиндукцией? Взаимоиндукцией?

6.Что такое индуктивность контура?

7.Какую роль играет индуктивность для токов размыкания и замыкания?

8.Найдите выражение для магнитной энергии тока и объемной плотности энергии магнитного поля.

94

Лекция № 26

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ

План

1.Введение.

2.Движение заряженных частиц в однородном электрическом поле.

3.Понятие об электронной оптике.

4.Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

5.Эффект Холла.

6.Принцип действия ускорителя заряженных частиц.

1. Введение. Воздействуя на потоки электронов и ионов электрическими и магнитными полями, можно управлять этими потоками, изменять их интенсивность и направление движения. Такая возможность лежит в основе действия различных важных электронных приборов (осциллографов, электронных микроскопов, телевизионных трубок и др.).

Концентрированный поток электронов используется для обработки металлов (электронно-лучевая обработка).

2. Движение заряженных частиц в однородном электрическом по-

Интегрируя 1-е и 2-е уравнения, получим

То есть отклонение частицы зависит от отношения me – удельного за-

ряда частицы, величины поля, длины конденсатора (прямо пропорционально этим величинам) и от квадрата начальной скорости (обратно пропорционально).

3. Понятие об электронной оптике. Если пластины конденсатора сделать из металлических сеток, то в зависимости от направления и скорости движения электронов, величины поля и параметров конденсатора

96

можно управлять электронными потоками подобно оптическим элементам. Например, явления отражения и преломления показаны на рис. 26.2.

Рис.

Рис. 26.2

Электрическая линза (рис. 26.3). Электрическая линза состоит из двух коаксиальных цилиндров, потенциалы которых ϕ1 < ϕ2 . Электроны,

испущенные из точки P в левой половине «линзы» вблизи границы цилиндров, отклоняются к оси цилиндров (вдоль силовых линий, обозначенных пунктиром), в правой половине линзы от оси, но там электроны уже набрали скорость и пучок электронов, хотя и уменьшает сходимость, все же остается сходящимся. В правой части рисунка изображен оптический аналог собирающей линзы.

_ +

Рис. 26.3

97

4. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

Пусть имеется однородное магнитное поле, например поле соленоида. Предположим, что частица с зарядом −e (электрон), обладающая на-

υчальной скоростью υ , попадает в магнитное поле с индукцией B . Будем считать поле однородным, направленным перпендикулярно к скорости υ . На частицу действует магнитная сила (магнитная составляющая силы Лоренца)

Рис. 26.4 F = −e[υ ×B] (рис. 26.4). Эта сила, будучи на-

правлена перпендикулярно к направлению движения, является центростремительной силой, а движение под действием центростремительной силы есть

и называется циклотронным (ларморовским) радиусом. Он прямо пропор-

лотронный радиус

98

Если начальная скорость частицы составляет некоторый угол α с направлением поля (рис. 26.5, а), то частица движется по спирали (рис. 26.5, б).

Циклическая (циклотронная частота обращения электрона):

ω= 2πν = 2Tπ = eBm

5. Эффект Холла. Пусть имеется некоторый образец в виде пластины из металла или полупроводника (рис. 26.6). Если создать в образце магнитное поле, перпендикулярное к току через образец и к зондам, то между зондами возникает разность потенциалов.

Опыт показывает, что полученная разность потенциалов U пропорциональна магнитной индукции B , плотности тока j и расстоянию между

где R – постоянная, зависящая от рода вещества, называемая постоянной Холла.

99