Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Копытин Стат Физ 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

436.02 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Пусть исследуемая система может обмениваться энергией при T =

const с большой системой (термостатом). Общую систему можем счи-

тать изолированной и для ее описания использовать микроканоническое распределение. Если обозначить через fq; pg è fQ; P g обобщенные коор-

динаты и импульсы исследуемой системы и термостата соответственно, то распределение для изотермической системы может быть получено на основании теоремы сложения вероятностей из микроканонического распределения:

W (q; p) =		Z	1		± fE ¡ H(q; p; Q; P )g dQ dP:						(5.1)

				g(E; a)
	(Q;P )
Полученное распределение называется каноническим и имеет вид:
W (q; p) = Z exp		µ¡		kT		¶ = exp µ		¡ kT	¶	:	(5.2)
1			H(q; p; a)				F	H(q; p; a)

Напомним, что q è p совокупность координат и импульсов всех частиц, составляющих систему. H(q; p; a) функция Гамильтона всей системы.

F = F (a; T ) свободная энергия системы. Z интеграл состояния системы, определяемый из условия нормировки:

	Z	exp µ¡	H q; p; a	)	¶	dq dp
Z =			(	)			:	(5.3)
Z =			kT			N! (2¼~)Nf	:	(5.3)
	(q;p)

Интегрирование ведется по всем возможным значениям координат и импульсов. Интеграл состояния Z представляет собой основную расчетную

характеристику изотермической системы. Вычислив Z; можно определить основные термодинамические характеристики системы:

Свободная энергия Энтропия Энергия системы

Обобщенная сила

Теплоемкость Уравнение состояния

S = ¡

F = ¡k T ln Z

V = k ln Z + T

ln Z

k T 2

		@F			@	ln Z	(5.4)
A	=	@F		= k T	@
A	=	¡ ³@ai	´T	= k T
i					@ai
				@E
		P =	³ @F´V
		CV =		@T
			¡	¡@V ¢T

hNf i¡1

Заметим, что множитель N!(2¼~) ; как это следует из (5.4), не влияет на термодинамические характеристики системы и при расчетах может быть опущен.

Среднее значение любой физической величины F(q; p; a) по канони-

ческому ансамблю рассчитывается как			kT	¶ N! (2¼~)Nf :		(5.5)
< F >= F = Z	F Z exp	µ¡
	1		H(q; p; a)		dq dp

(q;p)

Пример 13

Двухатомный газ из N молекул (M масса молекулы, I момент инерции) находится в объеме V при температуре T . Найти интеграл состояния Z, уравнение состояния, внутреннюю энергию и теплоемкость.

Решение:

Так как газ является идеальным, то можно рассчитать интеграл состояния для одной молекулы Zi; а затем перейти к величине ZN :

Zi = Z	e¡	Hi	dpx dpy dpz dpµ dp' dµ d'	dx dy dz	;
		kT
				(2¼~)5

ãäå

M(x˙2

+ y˙2

+ z˙2)

pµ2

p'2

2I sin2

Проводя последовательное интегрирование, получим:

1 1 1

2¼

pxi

+pyi +pzi

dpxi dpyi dpzi Z

dµ Z

Zi =

e¡

d'¢

2MkT

(2¼~)5

¡1 ¡1 ¡1

dpµ Z

e¡

dp' =

2IkT sin2 µ

2IkT

¡1

V ¼MkT )3=2(2¼IkT )1=22¼

(2¼IkT sin2

µ)2

dµ =

(2¼~)5N

8¼2IV

(kT )

(2¼M)2

(2¼~)5

Мы воспользовались выражением для интеграла Пуассона (пункт 2 математического дополнения). Тогда

	ZiN		5N		3N
			(8¼2IV )N (kT ) 2	(2¼M) 2
ZN =		=				:
	N!		N! (2¼~)5N


		43
Получим уравнение состояния:
P = ¡	µ	@V ¶T ; ãäå F свободная энергия,
			@F
Отсюда						F = ¡kT ln Z:
Отсюда			P = NkT=V;					P V = NkT:
			P = NkT=V;					P V = NkT:
Внутренняя энергия системы равна:
					= k T 2		@	ln Z =	5	NkT:
				E			@		5
				E
						@T		2
Для теплоемкости газа CV = ¡@E@T ¢V								получаем: CV = 25 Nk:

Пример 14

Цилиндр высотой H с основанием радиуса R заполнен идеальным газом

и вращается с угловой скоростью Ω относительно оси, перпендикулярной

основанию и проходящей через его центр. Определить интеграл состояния газа в цилиндре, если общее число молекул газа в нем N; а масса

отдельной молекулы m:

Решение:

При вращении цилиндра вокруг оси Z	со скоростью ~
	Ω все молекулы

газа в системе отсчета, связанной с цилиндром, закручиваются в противоположномh направленииi и приобретают добавку к скорости. Получаем 0 ~ 0 0 0 соответственно скорости и координа-

~v = ~v ¡ Ω; ~r : Здесь ~v è ~r

ты относительно вращающегося цилиндра, ~v скорости в неподвижной

системе координат.

Построим функцию Гамильтона i-й частицы газа в координатах, связанных с цилиндром:

Hi(~r 0; p~ 0) = p~ 0~v 0 ¡ Li(~v 0; ~r 0);

ãäå p~ 0 = @L(~v 0; ~r 0): @~v 0

Функция Лагранжа в неподвижной системе координат имеет вид:

Li =	mv2		m(~v 0 + [Ω~ ; ~r 0])2
		=		:
	2		2

и уравнение сомолекул в объеме

	44
Тогда для H(~r 0; p~ 0) получим:				¡ 2		hΩ~ ; ~r 0i
Hi(~r 0; p~ 0) =	2	0	2	¡ 2		hΩ~ ; ~r 0i	:
	mv		2		m		2

Зная функцию Гамильтона, приступаем к расчету интеграла состояния

Zi :

1 1 1 H		R 2¼	2 2 2					d½ d' dz
Zi = Z Z Z Z Z Z e¡			(px+py+pz)		m	2		d½ d' dz
				dpx dpy dpz e		(Ω½)	½		:
			2kTm		2kT	(Ω½)
			2kTm		2kT			(2¼~)3
¡1 ¡1 ¡1 0	0	0

По пространственным переменным интегрирование проводится в цилиндрической системе координат. Получаем:

Zi = (2(2¼~)3)

2 mΩ2

³e2kT Ω R ¡ 1´ =

¼mkT

¼HkT

2 2

= (2¼~0 )3 mΩ2R2 ³e2kT

¡ 1´

;

2kT

ãäå Z0 = (2¼mkT )3=2¼R2H интеграл состояния в неподвижной системе

координат.	¡ NkT ln	·mΩ2R2		³	e2kT		Ω R ¡ 1	¸	;
F = F0	¡ NkT ln	·mΩ2R2			e2kT		Ω R ¡ 1	¸	;
			2kT			m	2 2	´

NmΩ2R2

E = E0 + NkT ¡ 2 ¡1 ¡ e m Ω2R2 ¢:

2kT

Задачи для самостоятельного решения

5-1. Вычислить свободную энергию, внутреннюю энергию, энтропию и теплоемкость CV для системы N несвязанных линейных гармонических

осцилляторов, находящихся при температуре T.

5-2. Вычислить свободную и внутреннюю энергию для негармонического линейного осциллятора с потенциальной энергией U = ¯x4:

5-3. Для изотермического одноатомного идеального газа из N молекул, заключенного в объеме V; вычислить свободную энергию, внутреннюю

энергию, энтропию, теплоемкость CV и получить уравнение состояния. 5-4. Найти внутреннюю энергию, теплоемкость CV

стояния для идеального классического газа из N

V; молекулы которого имеют энергию, пропорциональную модулю

импульса: Hi = cjp~ij:

5-5. Найти свободную энергию, внутреннюю энергию и теплоемкость столба идеального газа высотой h и площадью S; находящегося в поле

силы тяжести.

5-6. Для изотермической системы невзаимодействующих N линейных

гармонических осцилляторов, помещенной в однородное электрическое поле напряженности "; рассчитать свободную энергию, внутреннюю

энергию и энтропию ( частота осциллятора !; заряд e; масса m):

5-7. Вычислить интеграл состояний для двухатомного идеального газа, заключенного в объеме V; с учетом колебаний в молекулах. Колебания

считать гармоническими и малыми, то есть jr ¡ r0j << r0; ãäå r0

расстояние между атомами при равновесии.

5-8. Найти внутреннюю энергию и теплоемкость для системы N ангармонических осцилляторов с потенциальной энергией U = (m!2x2)=2 + ¯x4:

5-9. Вычислить интеграл состояний для идеального газа, состоящего из N двухатомных молекул с постоянным дипольным моментом p~0;

помещенного в постоянное электрическое поле напряженностью ":

Каноническое распределение Гиббса по энергии

В качестве переменной канонического распределения можно взять энергию E вместо (q; p): Действительно, вероятность определенного зна-

чения координат и импульсов (q; p) в силу однозначности функции Гамильтона H(q; p) должна быть равна вероятности определенного значе-

ния энергии:	W (q; p) dq dp = W (E) dE;							(5.6)

	dq dp = d =			@	dE = g(E; a) dE;			(5.7)

отсюда				@E
		1				E

	W (E) =		exp µ¡				¶ g(E; a);	(5.8)
		Z				kT

ãäå g(E; a) определяется соотношениями (4.4-4.5). Интеграл состояния в этих переменных имеет вид:

Z =	Z0	exp µ¡kT ¶ g(E; a) dE:	(5.9)
	1

Каноническое распределение позволяет легко получить соотношения, используемые при расчете флуктуаций физических величин (леммы

Гиббса) . Пусть U = U(q; p; a) среднее от произвольной механической величины по каноническому ансамблю, тогда для U справедливо соотно-

шение:

(5.10)

(U ¡ U)(H ¡ H)

@µ

µ2

первая лемма Гиббса,

(5.11)

= ¡

(

)(U ¡ U)

вторая лемма Гиббса. Здесь µ = kT:

Каноническое распределение Гиббса позволяет доказать теорему о
равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы
и теорему о вириале.
Kn = 1pn	@H = kT ;		(5.12)
2	@pn	2

то есть cредняя кинетическая энергия, приходящаяся на каждую степень свободы, равна kT =2: Cредний вириал одной степени свободы равен

kT =2 :

1	qn	@H	=	kT	:	(5.13)
2
		@qn	2

Использование этой теоремы позволяет легче находить энергию и теплоемкости различных газов, твердых тел и т.д. Следует подчеркнуть, что при выводе этой теоремы использовалась классическая (нерелятивистская) связь энергии с импульсом. Поэтому для систем, частицы которых не подчиняются классическим законам, соотношения (5.12) и (5.13) не имеют места.

Пример 15

Идеальный одноатомный газ, состоящий из N частиц, находится в термостате с температурой T . Найти вероятность того, что газ имеет

полную энергию, значение которой находится в интервале от E äî E+dE: Найти наиболее вероятное и среднее значение энергии.

Решение:

Искомая вероятность равна:

dw(E) =	1	exp	µ¡	E	¶ g(E) dE = w(E) dE;	(5.14)

	Z			kT

то есть необходимо рассчитать Z è g(E). g(E) = (@ =@E)V ; где фазовый объем для идеального одноатомного газа равен:

V N (2¼mE) 2

+ 1¢

3N N! (2¼~)3N ¡32N

= C E 2

Здесь C =

V (2¼m) 2

; следовательно,

N! (2¼~)3N (

+1)

g(E) = C 32N E 32N ¡1:

Интеграл состояния Z может быть получен из условия нормировки распределения (5.14):

Z = C	32		Z0	e¡kT e 2	¡1 dE = C	32	(kT ) 2		µ32 ¶		:
		N	1	E 3N		N	3N			N

Мы воспользовались определением гамма-функции(пункт 1 математиче- ского дополнения). Подставляем g(E) è Z â (5.14) :

e¡kT C E

¡1

dw(E) =

dE =

(kT )

3N ¡

32N

µkT ¶

e¡kT E :

Для нахождения наиболее вероятной энергии системы необходимо найти максимум плотности вероятности w(E) :

e¡

w0(E) =

E 32N ¡2

= 0;

32N

(kT ) 2

¡ kT

следовательно, наиболее вероятная энергия системы равна:
Env =	µ	32		¡ 1¶ kT ¼	32 kT; ò.ê. N >> 1:
			N		N

Для определения средней энергии необходимо рассчитать интеграл:

Z	32N	(kT ) 2		Z
1		1		1	E 3N
< E >= E dw(E) =	¡	¢	3N	e¡	kT	E 2	dE =
0	¡	¢		0

= ¡3N ¢1(kT )3N (kT )32N +1

Видно, что Env =< E > :

µ	N	+ 1¶ =	3
	3				NkT:
	2			2

Пример 16

Определить < En > (n > 0) для одноатомного идеального газа, со-

стоящего из N частиц. Пользуясь полученным результатом, найти сред-

нюю квадратичную ® = < (E¡ < E >)2 > и среднюю относительную

± = ®= < E > флуктуации энергии.

Решение:

Для определения < En > в соответствии с общим правилом проведем

усреденение этой величины по распределению dw(E); полученному в предыдущей задаче:

Z	32N	(kT ) 2		Z
1		1		1	E 3N
< En >= En dw(E) =	¡	¢	3N	Ene¡	kT	E	2
0	¡	¢		0

¡1 dE =

32N

¢(kT ) 2

32N

+ n (kT )

3N + n

= (kT )n

ученный результат, будем иметь:¡

Используя пол

> = p< E2

® = < (E¡ < E >)2

> ¡ < E >2 =

= kT 2 2 32N

¡ "

2 32N

4 ¡

+ 2

+ 1

= kT "32

¡ µ32

= kT r32

µ32 + 1¶

Относительная флуктуация ±; учитывая, что средняя энергия идеального одноатомного газа < E >= 3=2 NkT; равна:

	p			p			N
			3N=2 kT		1
			3N=2 kT		1
± =				= 2=3		p		:
		3=2 NkT
		3=2 NkT

Этот результат может быть получен другим способом, если использовать первую лемму Гиббса. Полагая в формуле (5.10) U = H(q; p; a); получаем:

@ < H >	=	1	< (H¡ < H >)2 >; ãäå < H >=< E >

@µ		µ2

Таким образом, относительная флуктуация энергии равна:

< H >

< H >r

@µ

± =

< (H¡ < H >)2 >

@ < H >

;

или, замечая, что @ < H > =@T = @ < E > =@T = CV ; имеем

± =

< E >

Подставив сюда < E >= 3=2 NkT и теплоемкость для одноатомного идеального газа CV = 3=2 Nk; окончательно получим:

± = p2=3 p1N :

Пример 17

Рассмотрим произвольную механическую величину U(p; q; a): Доказать, что выполняеòся соотношение:

@U@µ = µ12 (U ¡ U)(H ¡ H) (первая лемма Гиббса).

Решение:

Усредним величину U(p; q; a) по каноническому распределению:

	U(q; p; a) exp µ	F		H(q; p; a)	¶ dq dp:
U = Z			¡
				µ

Свободная энергия F при этом есть функция µ è a: Продифференцируем

U ïî µ :

@µ = Z

U(q; p; a) exp µ

¡ kT

¶· µ

¡ µ2

H(q; p; a)

F 0

F U

U H

U H U

(F ¡µF 0):

= ¡

U(F ¡ H(q; p; a))+

U = ¡

µ2

Учитывая соотношение Гиббса Гельмгольца

F ¡ µ @F@µ = E = H;

получим

@U@µ = µ12 (U H ¡ U H) = µ12 (U ¡ U)(H ¡ H);

что и требовалось доказать.

Задачи для самостоятельного решения

5-10. Написать для линейного гармонического осциллятора канониче- ское распределение по энергии.

5-11. Найти вероятность данного значения энергии E для изотерми- ческой системы N невзаимодействующих линейных гармонических

осцилляторов.

5-12. Найти вероятность данного значения энергии E для изотермического идеального двухатомного газа из N частиц в объеме V . Определить

наиболее вероятное значение полной энергии и ее относительную флуктуацию.

5-13. Пользуясь теоремой о вириале, найти среднюю энергию частицы, движущейся во внешнем поле с потенциалом U(q) = ®q2n (n натураль-

ное число).

Рекомендуемая литература:

[1, ãë.3,Ÿ28], [2, ãë.2,Ÿ3], [3, ãë.3,ŸŸ11 14,17,18], [6, ãë.6,ŸŸ2 4].

6. Большое каноническое распределение

Это распределение имеет место для изотермической системы с переменным числом частиц.

Термодинамическое описание системы с переменным числом частиц

Очень часто взаимодействие подсистемы с окружением не сводится к одному обмену энергией, но включает также и обмен частицами. В результате система может находиться в различных состояниях, отлича- ющихся числом частиц N. Изменение энергии dU в этом случае должно

содержать слагаемое, пропорциональное dN:

dU = T dS ¡ P dV + ¹ dN:

(6.1)

Аналогичным образом изменятся и дифференциалы других термодинамических потенциалов:

dF = ¡S dT ¡ P dV + ¹ dN;

dI = T ST + V dP + ¹ dN;

(6.2)

(6.3)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.11.201931.64 Кб0Копия Копия Документ Microsoft Office Word.docx
#
16.09.2019519.68 Кб10Копия экзамен по яз.doc
#
10.11.2019893.44 Кб51Копылов. История Владимирского края.doc
#
07.11.20182.51 Mб73Копылов.краеведение учебник.doc
#
22.03.2015773.76 Кб94Копытин Задачи по Км 3.pdf
#
22.03.2015436.02 Кб61Копытин Стат Физ 1.pdf
#
23.11.201945.88 Кб2Кор. обслед. при ринол..docx
#
29.08.2019355.33 Кб2Кормокухня+раздатчик(Ден).doc
#
15.11.20191.09 Mб15коррекционные карточки по алгебре.doc
#
21.03.201541.94 Кб51КОС ТЕПЛОТЕХНИКА.docx
#
16.09.2019101.42 Кб1косинец.docx