Учебное пособие по МПП

Случайные процессы классифицируются «по времени» и «по состояниям» системы.

Случайный процесс X(t) называется процессом с дискретным временем, если система, в которой он протекает, может менять свое состояние только в моменты t1, t2, …, tn, число которых конечно.

Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из одного состояния в другое могут происходить в любой момент времени t наблюдаемого периода τ.

Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным состоянием, если его течение в любой момент t представляет собой непрерывную случайную величину и множестве её значений Θ несчетно.

Случайный процесс X(t) называется процессом с дискретным состоянием, если в любой момент времени t множество его состояний Θ конечно или счётно.

4.1.1. Основные характеристики случайных процессов

Основными характеристиками случайных процессов являются: математическое ожидание, дисперсия, ковариация, начальный и центральные моменты разных порядков и т.д.

Математическое ожидание случайного процесса X(t) называется неслучайная функция mx(t), которая при любом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного про-

то его математическое ожидание вычисляется по формуле

mx t M X t хi t pi t ,,

i

71

где x1(t), x2(t) и т.д. - первое, второе и т.д. значения, которые может принимать случайная величина; X(t) - сечение случайного процесса при данном t; p1(t), p2(t) и т. д. - соответствующие вероятности.

Если сечение случайного процесса X(t) при данном t представляет собой непрерывную случайную величину с плотностью f(t, x), то его математическое ожидание может быть вычислено по формуле

mx t M X t xf t,x dx.

о

Центрированным случайным процессом Х (t) называется процесс, который получается, если из случайного процесса X(t) вычесть его математическое ожидание

0

X (t) X(t) mx (t).

Начальным моментом k-го порядка случайного процесса X(t) называется математическое ожидание k-ой степени соответствующего сечения

случайного процесса

αk(t) = M[(X(t))k].

Центральный момент k-го порядка - математическое ожидание k-ой

степени центрированного случайного процесса

μk(t) = M[(X(t) - mx(t))k].

Дисперсия случайного процесса

Dx(t) = D[X(t)] = M[X2(t)] - mx²(t).

Дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция Dx(t), которая при любом значении аргумента t равна дисперсии соответствующего сечения случайного процесса X(t).

Если сечение X(t) представляет собой дискретную случайную величину с рядом распределения X(t),

то дисперсия случайного процесса находится по формуле

Dx (t) D X(t) хi mx (t) 2 pi (t),

где i - номер возможного значения случайной величины X(t) при данном t; pi(t) - вероятность этого значения.

72

Если сечение X(t) представляет собой непрерывную случайную величину с плотностью f(t, x), то дисперсия случайного процесса может быть вычислена по формуле

Dx (t) x mx (t) 2 f (t,x)dx.

Средним квадратическим отклонением σx(t) случайного процесса X(t) называется арифметическое значение корня квадратного из дисперсии

Dx(t)

уx (t) у X(t) Dx (t).

Степень зависимости (связи) между двумя случайными величинами X и Y определяется их ковариацией

Kxy = M[XY] – mx my.

Аналогичная характеристика вводится и для случайного процесса. Рассмотрим две случайных величины - два сечения случайного про-

цесса для моментов t и t´ (см. рис. 4.6.): X(t) и X(t´). Для этих двух случайных величин можно найти ковариацию (обозначим её Kx(t, t´)):

Kx(t, t´) = M[X(t) X(t´)] - mx(t) mх(t´).

Последняя функция называется корреляционной функцией случайного

ветствующих сечений случай-

ного процесса: X(t) и X(t´). На рис. 4.7. показан вид поверхности, изображающий корреляционную функцию Kx(t, t´). Поверхность Kx(t, t´) симметричная относительно вертикальной плоскости Н, проходящей через биссектрису координатного угла t0t´.

Линия пересечения плоскости Н с поверхностью Kx(t, t´) дает аппликату равную дисперсии случайного процесса X(t)

Dx(t) = Kx(t, t´).

Нормированной корреляционной функцией rx(t, t´) случайного процесса X(t) называется функция, полученная делением корреляционной

73

функции Kx(t, t´) на произведение средних квадратических отклонений

σx(t), σx(t´):

Рис. 4.7

4.1.2. Законы распределения случайных процессов

Для различных типов случайных процессов разработаны различные методы их изучения и описания.

В ряде задач случайные процессы бывает удобно выражать через простейшие (элементарные) случайные функции.

Элементарной случайной функцией (ЭСФ) называют такую функцию аргумента t , где зависимость от t представлена обычной, неслучайной функцией, в которую в качестве параметров входят одна или несколько обычных, не зависящих от t случайных величин.

Пример 1. ЭСФ имеет вид Y(t) = X e-t (t > 0),

где Х - непрерывная случайная величина, распределенная равномерно в интервале (-1, 1).

Семейство реализации ЭСФ Y(t) показано на рис. 4.8. Каждая из них представляет собой показательную кривую с ординатами, пропорциональными ординатам кривой e-t (жирная линия); отдельные реализации (тонкие линии) различаются между собой масштабом по оси ординат. Когда случайная величина Х принимает отрицательное значение, соответствующая реализация лежит ниже оси абсцисс.

74

Пример 3. ЭСФ имеет вид Y(t) = at + Х,

где Х - случайные величины, а - неслучайная величина.

Каждая реализация (рис. 4.10) представляет собой прямую с угловым коэффициентом а, параллельную прямую y = at, различаются реализации начальными ординатами.

Пример 4. Y(t) = Хt + a,

где Х - случайная величина; а – неслучайная величина.

Каждая из реализаций – прямая линия, проходящая через точку (0, а) (рис. 4.11). Реализации различаются угловыми коэффициентами.

Пример 5. ЭСФ имеет вид Y(t) = Х cos(at),

где Х - случайная величина, а - неслучайная величина.

Семейство реализаций показано на рис. 4.12.; каждая из них - косинусоида, ординаты которой умножены на тот или другой случайный ко-

75

эффициент. Реализации различаются между собой амплитудой, т.е. масштабом по оси ординат.

Известно, что универсальной исчерпывающей характеристикой любой случайной величины является её функция распределения F(x) = P{X < x}, т.е. вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньше заданного x.

Пусть имеем случайный процесс X(t). Любое сечение случайного процесса X(t) представляет собой случайную величину, которая имеет закон распределения

Эта функция зависит от двух аргументов: во-первых, от значения t, для которого берется сечение; во-вторых, от значения х, меньше которого должна быть случайная величина X(t). Она называется одномерным законом распределения случайного процесса X(t). Очевидно, одномерный закон распределения не может служить полной исчерпывающей характеристикой случайного процесса X(t).

Более полной (но все еще не исчерпывающей) характеристикой будет двухмерный закон распределения, представленный совместной функцией распределения двух сечений случайного процесса, взятых соответственно для моментов t1 и t2:

F(t1, t2, x1, x2) = P{X(t1) < x1, X(t2) < x2}.

Эта функция уже не двух, а четырех аргументов. Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число значений и получить при этом все более полную характеристику случайного процесса. Однако оперировать со столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне неудобно. В инженерных приложениях обычно огра-

76

ничиваются одномерным, иногда - двухмерным законом распределения случайного процесса.

4.2. Потоки событий

Потоком событий называется последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени. Примеры: поток автомобилей, подъезжающих на заправочную станцию; поток заявок на ремонт, поступающих в ремонтную организацию; поток отказов (сбоев) ЭВМ в ходе её работы; поток забитых шайб при игре в хоккей и т.п.

Поток событий представляет собой в общем случае просто последовательность случайных точек Q1, Q2, …, Qn, на оси времени Qt (рис. 4.13) c разделяющими их случайными интервалами T1, T2, …, Tn-1, Tn, …, так что

T1 = Q1 - Q2, T2 = Q3 - Q2, …, Tn = Qn+1 - Qn.

Рис. 4.13

Потоки событий различаются между собой по их внутренней структуре: по закону распределения интервалов T1, T2, ..., между событиями, их взаимной зависимости или независимости и т.д.

Выделяют следующие виды потоков событий: регулярный; простейший пуассоновский); Пальма; Эрланга и т.д.

Свойства и классификация потоков событий

Поток событий, в котором интервалы между событиями строго одинаковые и равны определённой неслучайной величине τ (рис. 4.14.), называется регулярным.

Регулярный поток событий довольно редко встречается на практике; он представляет определенный интерес как предельный случай для других потоков.

77

Простейшим (пуассоновским) потоком называют поток событий, обладающий свойствами ординарности, без последействия и стационарности.

τ τ τ

Рис. 4.14

Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не по 2, 3, и т.д. В математической формулировке однородность потока означает, что вероятность попадания на участок t (рис. 4.15.) двух и более событий пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания на него ровно одного события.

∆t

Интенсивность (плотность) однородного потока событий в момент времени t определяется отношением

л(t) lim M X(t, t) ,

t 0 t

где M[X(t, t)] - математическое ожидание случайной величины X(t, t); X(t, t) - случайное число событий, попадавших на элементарный участок(t, t + t).

Физический смысл интенсивности λ(t) потока событий - это среднее число событий, приходящихся на единицу времени для элементарного участка t, примыкающего к t.

Интенсивность потока событий λ(t) может быть любой неотрицательной функцией времени λ(t) ≥ 0 и имеет размерность [время-1].

Очевидно, что среднее число событий ординарного потока, приходящееся на интервал времени τ, примыкающий к точке t, равно

78

t

M X t,ф (t)dt.

t

В частности, при постоянной интенсивности потока

t

M X t,ф dt .

t

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени τ1, τ2, …, τn (рис. 4.16) число событий X1 = X(t1, τ1), X2 = X(t2, τ2), …, Xn = X(tn, τn), попадавших на эти участки, представляет собой независимые случайные величины, т.е. вероятность попадания любого числа событий на один из участков не зависит от того, сколько их попало на другие.

Если поток без последействия, ординарен и имеет постоянную интенсивность λ, то число событий X(t, τ), попавших на участок времени длины τ, имеет распределение Пуассона с параметром a = λτ:

Поток событий называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются со временем. В частности, для стационарного потока событий вероятность попадания того или иного числа событий на участок длины τ зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси времени Ot этот участок расположен (рис. 4.17) . Отсюда следует, что для стационарного потока событий его интенсивность λ(t) постоянна

79

Для простейшего потока событий вероятность того, что на участке времени длиной τ наступит ровно k событий определяется по формуле

где a = λτ, λ - интенсивность потока.

Стационарный поток с ограниченным последействием называется потоком Пальма. Для такого потока интервалы T1, T2, … между событиями представляют собой последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Поток Пальма отличается от простейшего тем, что интервалы между соседними событиями представляют собой неотрицательную величину с отличным от показательного закона распределения.

Потоки Пальма широко применяются в теории восстановления - разделе теории надежности технических устройств.

Потоки Эрланга i-го порядка с параметром λ называются поток Пальма, у которого интервалы между событиями распределены по закону

где k = 2, 3, … порядок закона Эрланга.

При k = 1 имеем простейший поток. Отметим, что поток Эрланга k- го порядка может быть получен из простейшего с помощью его «просеивания» (или «разряжения»); при этом в простейшем потоке сохраняется каждое k-е событие, а все промежуточные отбрасываются. Например, если в простейшем потоке с интенсивностью λ сохранить каждое второе событие, а промежуточное выбрасывать, то получится поток Эрланга 2 - го порядка. На рис. 4.18 показана процедура формирования этого потока из простейшего: кружками отмечены сохраняемые в потоке события, обычными точками - отбрасываемые. Очевидно, что интенсивность Т(2) между двумя событиями есть сумма двух независимых случайных величин, имеющих показательное распределение с параметром λ, равным интенсивности исходного простейшего потока.

T1 T2

T3

Рис. 4.18

80