Учебное пособие по МПП

Замечание. Рекомендуется после набора каждых 10 строк записывать програм-

му на диск (простым нажатием клавиши F2), чтобы в случае сбоя ПЭВМ программа

не пропала.

Выполнить программу (пункт RUN главного меню или клавиша F5). Выйти из Q-Бейсика (пункт FILE, подпункт EXIT или команда ALT / X).

Контрольные вопросы

1.Перечислите службы АТП, обеспечивающие транспортный процесс предприятия.

2.Дайте определение понятиям: модель, математическая модель.

3.Преимущества математической модели.

4.Классификация математических моделей.

5.Перечислите современные методы оптимизации.

6.Дайте определение понятиям: целевая функция, критерий оптимиза-

ции.

7.Перечислите основные этапы оптимизационного моделирования.

8.Последовательность подготовки и решения задач на ЭВМ.

9.Дайте определение понятиям: алгоритм, программа.

10.Особенности разветвляющихся и циклических алгоритмов.

11.Перечислите стандартные функции алгоритмического языка Qbasic.

12.Перечислите наиболее часто используемые операторы алгоритмического языка Qbasic.

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

2.1. Регрессионный анализ

При обработке опытных данных и построении математических моделей используют теорию корреляционно - регрессионного анализа.

Регрессионный анализ устанавливает математическую модель, связывающую зависимую переменную у с исследуемой переменной х, т.е. позволяет получить зависимость вида y = f(x) - уравнение парной регрессии.

Значение переменной у может зависеть сразу от нескольких переменных x1, x2, …, xn. В результате обработки таких статистических данных можно получить зависимость вида у = f(х1, х2, ..., хn) - уравнение множественной регрессии. Все уравнения регрессии подразделяются на линейные и нелинейные.

21

Функцию, аппроксимирующую опытные данные, называют теоретической функцией. При парной зависимости опытные данные могут быть аппроксимированы с помощью следующих функций:

-прямой линией у = a ∙ x + b;

-параболой второго порядка y = а∙ х2 + b ∙ х + с;

-логарифмической функцией у = а ln x + b;

-степенной функцией у = ахb;

-показательной функцией у = abx;

-арифметической прогрессией у = a + (n – 1)d;

-геометрической прогрессией y = aqn-1;

-алгебраическим полиномом, т.е. рядом Маклорена

y= A0 x0 + A1 x1 + A2 x2 + A3 x3 + … ,

вкотором коэффициенты ряда определяются по формулам:

- тригонометрическим рядом, т.е. рядом Фурье

где y - исследуемый признак (параметр) как функция многих переменных; хi - факторы, оказывающие влияние на параметр; Вi - частные коэффициенты регрессии, показывающие влияние фактора хi на исследуемый при-

22

знак; Вij - коэффициенты, характеризующие двойное (парное) воздействие факторов хi и xj на исследуемый признак.

2.2. Функциональные и корреляционные зависимости

Различают функциональные и корреляционные зависимости. Под функциональной понимают такую зависимость, когда с изменением одного фактора изменяется другой, при этом одному значению независимого фактора соответствует только одно значение зависимого фактора (рис. 2.1.).

Корреляционная зависимость - это такая зависимость, при которой изменение одной случайной величины вызывает изменение среднего значения другой, т.е. одному значению независимой переменной могут соответствовать несколько значений зависимой переменной (рис. 2.2.). Поэтому корреляционные зависимости могут быть установлены только при обработке большого количества наблюдений.

При обработке таких зависимостей пользуются корреляционным анализом, который устанавливает количественную оценку тесноты связи между изучаемыми признаками (факторами). Тесноту связи (наличие корреляции) между двумя величинами можно определить визуально по полю корреляции.

23

Корреляционным полем называют нанесенные на график (см. рис. 2.2.) в определенном масштабе точки, соответствующие одновременно значениям двух величин. В нашем случае теснота связи между параметрами x и y определяется визуально по соотношению короткой и продольной осей эллипса рассеяния наблюдений, нанесенных на поле корреляции. Чем больше отношение продольной оси к короткой, тем связь теснее.

У

у1

у2

у1

Рис. 2.2. График корреляционной зависимости

Более точно теснота связи оценивается коэффициентом корреляции r. Коэффициент корреляции лежит в пределах 0 ≤ |r| ≤ 1. При r = 0 связи нет. Если |r| = 1, то между двумя величинами существует функциональная связь.

Итак, по величине коэффициента корреляции можем сделать следующее заключение:

0 ≤ |r| < 0,2 - связи практически нет; 0,2 ≤ |r| < 0,5 - связь слабая;

0,5 ≤ |r| < 0,75 - связь средняя; 0,75 ≤ |r| < 0,95 - связь сильная;

0,95 ≤ |r| ≤ 1 - практически функциональная связь.

При положительных r наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением независимой переменной увеличивается и зависимая. При отрицательном

24

коэффициенте корреляции существует обратная связь - с увеличением независимой переменной зависимая переменная уменьшается.

Существует ряд формул для расчета коэффициента корреляции.

_

где xy - среднее значение произведения двух корреляционных величин; σx, σy - средние квадратичные отклонения соответствующих величин, которые определяются так:

Для линейной регрессии коэффициент корреляции r является не только критерием тесноты связи, но и критерием точности аппроксимации (подбора формулы, выражающий зависимость).

Оценка точности аппроксимации криволинейной зависимостью производится при помощи корреляционного отношения

Корреляционное отношение принимает значения 0 ≤ η ≤ 1, оно всегда положительно. Если η > r, то кривая точнее аппроксимирует зависимость, чем прямая; для прямой r = η.

25

Дополнительной оценкой точности аппроксимации часто применяют при оценке нелинейной_ регрессии, является средняя относительная ошибка аппроксимации е , которая определяется по формуле

~

е_ 1 yi yi 100. N yi

При оценке взаимного влияния трех и более переменных используют коэффициент множественной корреляции R, который для трех переменных определяется по формуле

.

При расчете совокупного коэффициента корреляции необходимо предварительно определить парные коэффициенты корреляции ryx1, ryx2, rx1x2. После того как все они определены, их записывают в квадратную симметрическую матрицу

Тогда множественный коэффициент корреляции определяется формулой

R 1 D

D11 ,

где D - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции; D11 - определитель той же матрицы с вычеркнутыми первой строчкой и первым столбцом, т.е. определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами независимыми переменными.

2.3. Подбор формул по данным опыта методом наименьших квадратов

В практической работе зависимость между переменными величинами часто получается в результате опыта (измерений). Обычно в этом случае зависимость оказывается заданной в виде таблицы. Функции, заданные таким образом, могут входить в дальнейшие операции и расчеты. Для

26

удобства пользования такими зависимостями необходимо сначала подобрать формулу, хорошо описывающую опытные данные. Подбор такой формулы является существенной частью обработки экспериментальных данных. Одним из методов получения этих формул является способ наименьших квадратов.

Пусть в результате опытов найдены некоторые значения хi, и соответствующие им значения уi, которые заданы табл. 2.1.

y = b + a lnx - логарифмическая;

y a b - гиперболическая и т. д. x

Метод наименьших квадратов позволяет подобрать более точные значения параметров a и b. Предварительно необходимо установить общий вид аналитической функции, который можно выявить по опытным данным, если их нанести на плоскость с координатами xOy.

Зависимость Y от X, изображаемая аналитической функцией

Y = f(X), не может совпадать с экспериментальными значениями Yi во всех n точках. Это означает, что для всех или некоторых точек имеем разность

(рис. 2.3.) i = Yi – f(Xi), (2.1)

отличную от нуля.

Метод наименьших квадратов заключается в том, что подбираются параметры a и b таким образом, чтобы сумма квадратов разностей (2.1) (рис. 2.3.) была наименьшей, т.е.

z n 2i yi f( xi ) 2 min.

i 1

Пусть вид функции y = f(x) установлен, то её можно представить в виде Y = f(X) = (X, a, b),

где a и b – искомые параметры.

27

Выбираем числа a и b так, чтобы величина z была наименьшей, для чего найдем частные производные выражения (2.4.) по a и b, получим:

Эти два условия дают нам следующую систему уравнений:

При решении уравнений (2. 6), целесообразно представить промежуточные расчеты в виде табл. 2.2.

Таблица 2.2

Примечание. Если нас интересует нелинейная зависимость, то проводя аналогичный расчет для выбранного типа функции, получим соответствующие выражения параметров a и b. Однако этого можно и не делать, если есть возможность перейти от нелинейной зависимости к линейной:

y = ax´ + b;

б) y = b + a lnx ; заменим ln x = x´, получим y = ax´ + b;

в) y = b xa ; логарифмируя, получим lny = lnb + a lnx.

Заменим lny = y´; lnb = b´; lnx = x´.

29

Имеем y´ = ax´ + b´.

г) y = b eax ; логарифмируя, получим lny = lnb + ax.

Полагая ln y = y´; ln b = b´, имеем y´ = b´ + ax.

Для линейных зависимостей коэффициенты a, a´, b, b´ находим из

(2.6.).

Сведение нелинейной регрессии к линейной выполняется с помощью линеаризующих преобразований в ходе ввода Xi, Yi и при выводе a и b (см. табл. 2.3).

Таблица 2.3

Преобразования, сводящие нелинейную регрессию к линейной

2.4. Множественная регрессия

Ряд задач автомобильного транспорта требуют построения множественных регрессий вида

Y = f(x1, x2, …, xn).

Так, если будем рассматривать деятельность АТП, то одним из основных показателей его работы является коэффициент выпуска автомобилей на линию - αв, на формирование которого оказывает влияние большое число факторов. Основными из них будут:

Х1 - обеспеченность водителями; Х2 - обеспеченность ремонтными рабочими;

Х3 - обеспеченность инженерными кадрами; Х4 - обеспеченность запасными частями и т.д. Для рассматриваемого случая

αв = y = f(x1, x2, x3, x4),

то есть имеем дело с построением множественной регрессии.

30