- •В.Н. Краев Практикум по финансовой математике
- •Владимир 2006 в Примечанияведение
- •Инвестиционная деятельность
- •Глава 1 знакомит читателя с сущностью и задачами финансово-экономических расчетов, оценкой финансово-экономических платежей, планированием погашения задолженности.
- •Раздел 1. Простые и сложные проценты
- •В Примечанияремя как фактор в финансовых расчетах. Виды процентных ставок
- •1 Примечания.2. Простые проценты
- •Переменные ставки Примечания
- •Реинвестирование
- •Расчет процентов для краткосрочных ссуд
- •1 Примечания.3 Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам основные понятия
- •Первоначальная сумма Наращение Наращенная сумма
- •Процентная ставка (Возвращаемая сумма)
- •Математическое дисконтирование
- •Банковский или коммерческий учет (учет векселей)
- •Дисконтирование с использованием простой учетной ставки
- •Ставка наращения и учетная ставка. Эквивалентные ставки
- •Ставки Прямая задача Обратная задача
- •Эквивалентные ставки
- •Финансовые вычисления на основе сложных процентов
- •В конце n-го года наращенная сумма будет равна
- •Переменные ставки
- •Начисление процентов при дробном числе лет
- •Рост по сложным и простым процентам
- •Срок ссуды и формулы удвоения
- •1.7. Номинальная и эффективная ставки номинальная ставка
- •Эффективная ставка
- •Дисконтирование с использованием сложных процентов
- •Наращение по сложной учетной ставке
- •Мажорантность множителей наращения и дисконтных множителей
- •Эквивалентный переход от одной ставки к другой
- •4.1 Финансовая эквивалентность обязательств
- •Консолидирование задолженности
- •Постоянные финансовые ренты
- •Основные понятия. Классификация рент
- •Определение наращенной суммы постоянных рент постнумерандо
- •Годовая рента
- •2.4. Определение современной стоимости постоянных рент постнумерандо
- •Годовая рента
- •Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •Конверсии рент
- •Изменение параметров рент
Эффективная ставка
Введем теперь новое понятие –эффективную (действительную) ставку процента, под которой понимают ту реальную прибыль, которую получают от одной денежной единицы в год. Иначе говоря, эффективная ставка (т.е. такая ставка, по которой проценты начисляются один раз в год) эквивалентна (дает такое же наращение) номинальной ставке при начислении процентов m раз в год. Или эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j.
Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум видам ставок (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу:
(1 + i)n = (1 + j/m)m∙n,
откуда
i = (1 + j/m)m – 1 (34)
и . (35)
Как видим, эффективная ставка при m > 1 больше номинальной, при m = 1 – i = j.
Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон.
Пример 22.
Банк начисляет проценты по номинальной ставке 40% годовых. Тогда эффективная годовая ставка при ежемесячном начислении и капитализации процентов. Другой банк предлагает ставку 48,16% годовых при начислении процентов один раз в год. Имеются ли преимущества в финансовом отношении у рассматриваемых вариантов сделки?
Чтобы ответить на этот вопрос, находим наращенную стоимость при ежемесячном начислении и капитализации процентов (33):
Определяем наращенную стоимость при ежегодном начислении и капитализации процентов:
S = 20 (1 + 0,4816)2 = 43,9 тыс. руб.
Можно сделать вывод, что номинальная ставка 40% годовых при ежемесячном начислении и капитализации процентов и эффективная ставка 48,6% годовых при ежегодном начислении и капитализации процентов обеспечивают финансовую эквивалентность сделки или одинаковые финансовые последствия.
Пример 23.
По вкладу А проценты начисляются один раз в год исходя из 10,2% годовых. По вкладу Б обслуживание осуществляется по полугодиям исходя из 10% годовых. Сравним доходности размещения средств.
Дано: Решение:
A : i = 10,2% годовых => iБ = (1 + j/m)m – 1 = (1 + 0,05)2 = 0,1025
m = 1 iБ = 10,25% годовых
Б : j = 10% годовых iБ > iA
m = 2
j : m = 5%
(ставка за процентный период)
Дисконтирование с использованием сложных процентов
При изучении простых процентов были рассмотрены два метода дисконтирования – математический и банковский учет. Первый заключается в определении P по значению S при заданном уровне ставки процента i, второй – при заданном уровне учетной ставки d.
Для математического дисконтирования по сложным процентам решим уравнение (23) относительно P:
, (36)
где
называется дисконтным множителем.
В случае, когда проценты начисляются m раз в год, величина P определяется как:
, (37)
где j – номинальная ставка процентов;
n – срок ссуды в годах.
Дисконтный множитель равен
.
Здесь также величина P, полученная дисконтированием S, называется современной или приведенной величиной S. При начислении на величину P процентов по ставке i она принимает значение величины S через n лет. Таким образом, эти величины с учетом временного фактора эквивалентны. Разность между S и P является дисконтом, который равен:
D = S – P = S – S∙vn = S(1 - vn),
D = S – P = S – S∙vm·n = S(1 - vm∙n).
Являясь одной из основных характеристик в финансовом анализе, современная величина требует рассмотрения ее основных свойств. Одно из этих свойств заключается в том, что чем выше ставка процентов, тем более интенсивно происходит дисконтирование и, как следствие, в большей степени уменьшается первоначальная величина P при прочих равных условиях (рис. 7).
v
i
Рис. 7. Зависимость дисконтного множителя
от величины процентной ставки
Пример 24.
Определим современную величину банковского депозита, если вкладчик через 10 лет должен получить 2 млн. руб. Банк производит начисление на внесенную сумму по сложной ставке – 20% годовых.
Если же начисление процентов производится ежеквартально, то первоначальная сумма вклада значительно меньше.
Большое влияние на процесс дисконтирования оказывает срок платежа. С увеличением срока платежа современная величина будет становиться все меньше. Предел значений Р при сроке платежа n, стремящейся к бесконечности:
Практически при очень больших сроках платежа его современная величина будет крайне незначительна. На практике, особенно в условиях инфляции, срок платежа регулируется приемлемыми для партнеров разумными пределами.
Оказывает влияние на процесс нахождения современной величины и число раз начисления процентов m. С ростом величины m дисконтный множительуменьшается, следовательно, уменьшается и современная величина. Эту зависимость можно увидеть в предыдущем примере.
Величина Р может быть определена на любой момент времени до момента выплаты суммы S. Чем ближе момент, для которого определяется современная величина Р, к моменту выплаты суммы S, тем меньше сумма дисконта.
Пример 25.
Определить величину дисконта, если заемщик должен уплатить 500 тыс. руб., срок ссуды 90 дн., ставка 130% годовых. Долговое обязательство было учтено в банке кредитором:
а) за 20 дней до установленного срока,
б) за 10 дней до установленного срока.
а)
б)
Соотношение между дисконтным множителем, рассчитанным по простой и сложной ставке процентов, зависит от срока сделки. В случае равенства iП = iС для срока менее года имеем:
(1 + ni)-1 < (1 + iC)-n
Для срока более года имеем:
(1 + ni)-1 > (1 + iC)-n
Где: iП и iС – соответственно простые и сложные ставки.
Пример 26.
Учет ссуды производится через 6 месяцев после ее выдачи. Определить величину дисконтного множителя при равенстве простой и сложной процентной ставке, равной 120% годовых
(iП = iС = 1,2)
Определяем дисконтные множители:
по простой ставке:
по сложной ставке:
Чем больше срок ссуды, тем больше различия в величинах дисконтных множителей.
Операции со сложной учетной ставкой
В учетных операциях наряду с использованием простых и сложных процентных ставок используются и сложные годовые учетные ставки. В этих случаях процесс дисконтирования происходит с замедлением, так как на каждом шаге во времени или в каждом периоде учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, как при учете при простой учетной ставке, а к сумме, уменьшенной на величину дисконта, определенного на предыдущем шаге.
Для дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула:
P = S(1 - dс)n, (38)
где dс – сложная годовая учетная ставка;
n – срок ссуды.
В этом случае дисконт определяется по формуле:
D = S – P = S – S(1 – dс)n = S{1 – (1 – dс)n}. (39)
Величина учетной ставки определяется в зависимости от срока наступления платежа по долговому обязательству и действующей процентной ставки.
Пример 27.
Владелец векселя номиналом в 200 тыс. руб. с периодом обращения 1,5 года предложил его банку для учета. Банк произвел учет векселя по сложной учетной ставке, равной 12% годовых. Определить дисконт, полученный банком и сумму, полученную владельцем векселя.
Р = 200(1 – 1,12)1,5 = 200 ∙ 0,8255 = 165,1 тыс. руб.
D = 200 – 165,1 = 34,9 тыс. руб.
Рассмотрим другую ситуацию. По условиям предыдущей задачи определим сумму, полученную владельцем векселя, если при учете была использована простая учетная ставка.
P = S(1 - ndn) = 200(1 – 1,5 ∙ 0,12) = 200 ∙ 0,82 = 164 тыс. руб.
Таким образом, дисконтирование по сложной учетной ставке для владельца векселя выгоднее, чем по простой учетной ставке. Это различие обусловлено математическими свойствами простой и сложной учетной ставки.
Действительно, при использовании для дисконтирования простой учетной ставки P = S(1 - nd) значение дисконтного множителя равномерно уменьшается по мере роста величины n и достигает нуля при , т.е.
При использовании для дисконтирования сложной учетной ставки
P = S(1 - dc)n множитель экспоненциально уменьшается и достигает нуля лишь в пределе при n →∞ (рис. 8)
dc d ДМ
Рис. 8. Зависимость дисконтного множителя от применяемой ставки
Номинальная и эффективная процентная ставка
При дисконтировании m раз в году применяют номинальную ставку f. Дисконтирование в каждом периоде будет осуществляться по ставке f/m по формуле:
P = S(1 – f/m)n (40)
где: N = m ∙ n, т.е. – общее число периодов дисконтирования.
Пример 28.
Владелец векселя номиналом в 200 тыс. руб. с периодом погашения 1,5 года предложил банку учесть его. Банк согласился на учет векселя, применив сложную учетную ставку в 12% годовых. Дисконтирование по этой ставке производится ежеквартально.
По условию: f = 0,12 N = 4 ∙ 1,5 = 6.
Таким образом, дисконтирование не один, а m раз в году замедляет этот процесс и уменьшает сумму дисконта при прочих равных условиях, что для банка, как правило, невыгодно.
При дисконтировании также, как и при исчислении наращенной суммы, используется понятие эффективной учетной ставки.
Под эффективной учетной ставкой понимается сложная годовая ставка, эквивалентная номинальной ставке процентов при заданном значении m. Она определяется по формуле:
dэф = 1 – (1 – f/m)mn (41)
Пример 29.
Обязательство, равное 400 тыс. руб. должно быть погашено через 5 лет. Учетная ставка 10% годовых. Начисление дисконта поквартальное.
Определить современную величину обязательства и эффективную учетную ставку.
По условию: S = 400 тыс. руб. f = 0,10 n = 5 m = 4
Р = 400 (1 – 0,1/4)4∙5 = 400 ∙ 0,6027 = 271,07 тыс. руб.
Определяем эффективную учетную ставку:
dэф = 1 – (1 – 0,1/4)4 = 0,0963 или 9,63%
Таким образом dэф < fном, эффективная учетная ставка меньше номинальной ставки.