- •Тема 2. Численное решение нелинейных уравнений Вопросы для самоподготовки:
- •Отделение корней
- •1.1 Общие понятия
- •Задание 1.
- •1.2 Индивидуальные задания
- •Уточнение корней уравнения методами половинного деления и простой итерации
- •2.1 Уточнение корня. Постановка задачи
- •2.2 Метод половинного деления
- •Метод хорд
- •Метод Ньютона
- •Комбинированный метод
- •2.3 Метод простой итерации (метод последовательных приближений)
- •2.4 Решение уравнений средствами MathCad
- •2.4.1. Функции произвольного вида
- •2.4.2 Нахождение корней полиномов
- •2.4.3 Нахождение корней уравнений путем символических преобразований
- •2.4.4 Поиск корней уравнений в Mathcad
- •2.5 Блок-схемы
- •2.6 Индивидуальные задания
- •Задание 3.
Комбинированный метод
Можно заметить, что в качестве начального приближения в методе секущих и касательных берутся противоположные концы отрезка . Так как последовательные приближения сходятся к корню монотонно, то они всегда определяют отрезок, в котором содержится решение уравнения (1). Будем считать, что , и сохраняют знак на . Выбирая в качестве точки в методе секущих приближения, полученные по методу касательных, придем к формулам комбинированного метода
; . (4)
Геометрическая интерпретация комбинированного метода:
2.3 Метод простой итерации (метод последовательных приближений)
Заменим уравнение f(х)=0 эквивалентным ему уравнением
х= (х). (2)
Это можно сделать различными способами, например
х =х + с f '(х), с ≠ 0. (3)
Пусть известно начальное приближение корня х=х0. Подставляя это значение в правую часть уравнения (2), получим новое приближение:
х1=(х0).
Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (2), получаем последовательность значений:
(4)
Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у=х и у=(х). Каждый действительный корень уравнения (4) является абсциссой точки пересечения М кривой у=(х) с прямой у=х (см. рисунок 2 а)).
Рис.2 Сходящиеся итерационные процессы
Отправляясь от некоторой точки А0 [x0, (x0)], строим ломаную А0В1А1В2А2... (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу, вершины А0,А1,А2,... лежат на кривой у=(х), а вершины В1,В2,В3,…, - на прямой у=х. Общие абсциссы точек А1 и В1, А2 и В2, ..., очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х1, х2, ... корня .
Возможен также другой вид ломаной А0В1А1В2А2 ... – «спираль» (см. рисунок 2 б)). Решение в виде «лестницы» получается, если производная (х) положительна, а решение в виде «спирали», если (х) – отрицательна.
Рисунок
1. Расходящийся итерационный процесс
Рис.3. Расходящийся итерационный процесс
Для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.
Теорема 3. Пусть функция (х) определена и дифференцируема на отрезке [a; b], причем все ее значения (х)[a; b]. Тогда, если существует правильная дробь q такая, что q< 1 при a < x < b, то:
1) процесс итерации сходится независимо от начального значения х0 [a, b];
2) предельное значение является единственным корнем уравнения х = (х) на отрезке [a; b].
Скорость сходимости определяется неравенством
Из этого неравенства, в частности, следует, что скорость сходимости метода простой итерации зависит от величины q: чем меньше q, тем быстрее сходимость. Следовательно, на практике при нахождении корней методом простой итерации желательно представить уравнение f(х)=0 в форме (2) таким образом, чтобы производная '(х) в окрестности корня по абсолютной величине была возможно меньше. Для этого иногда пользуются параметром с из формулы (3).