Глава 2 практические приложения основных теорем теории меры лебега

2.1 Измеримые множества по лебегу

Длина отрезка оси абсцисс численно равна площади построенного на нем прямоугольника высоты, равной 1, т. е. интегралу от функции

[5]

По аналогии назовем числовое множество E измеримым по Лебегу, если функция

интегрируема по Лебегу. Такую функцию будем называть характеристической функцией множества Е . Число назовем мерой Лебега множества Е и обозначим |E|.

Пример 1. [5] Функция Дирихле интегрируема, причем интеграл от нее равен нулю. Эта функция является характеристической для множества рациональных чисел (равна единице для рациональных чисел и нулю для остальных). Значит, множество рациональных чисел измеримо, причем его мера Лебега равна нулю: | Q| = 0.

Точно так же можно убедиться, что измеримо и множество рациональных чисел любого отрезка , причем || = 0.

Пример 2. Функция Кантора k— характеристическая функция канторова троичного множества . Так как k интегрируема и I (k) = 0, то множество измеримо, причем || = 0.

Поскольку мера множества — обобщение понятия длины отрезка, то естественно ожидать, что мера обладает важнейшими свойствами длины. Убедимся, что это действительно так.

Теорема 1. [6] Мера любого измеримого множества неотрицательна.

Доказательство. Так как характеристическая функция измеримого множества Е интегрируема и неотрицательна, то имеем: |Е|= I () 0.

Теорема 2 (свойство монотонности меры). [6] Если множества А и В измеримы и А включает в себя В, то |А | | В|.

Доказательство. Так как А включает в себя В, то

при любом x, а в таком случае справедливость нашего утверждения

вытекает из теоремы, о том, что f — сумма сходящегося при всех х функционального ряда — неотрицательная - малая функция. Тогда функция f является ε - малой.

Теорема 3 (свойство аддитивности меры). [6] Если множества измеримы и попарно не пересекаются, то и их объединение Е измеримо, причем

Доказательство. Обозначим через характеристические функции множеств . По условию эти функции интегрируемы. Значит, интегрируема и сумма этих функций X. Но множества попарно не пересекаются. Поэтому X (х) = 1 при и X (х) = 0 при хне принадлежащего E, т. е. функция X является характеристической для множества Е. Измеримость Е доказана.

Одновременно Теорема 3 может быть обобщена и на случай счетной совокупности множеств.

Теорема 4 (свойство счетной аддитивности меры). [6] Если множества попарно не пересекаются и измеримы, а ряд сходится, то множество также измеримо, причем

Доказательство. Рассмотрим функциональный ряд , где — характеристическая функция множества . Пусть х Е. Так как множества (nN) попарно не пересекаются, то найдется, и притом единственный, номер k такой, что х .

Это означает, что . Отсюда следует, что частичные суммы числового ряда , начиная с k-й, равны 1. Поэтому рассматриваемый функциональный ряд при таких х сходится к числу 1. Если же х не принадлежит Е, то х не принадлежит ни одному из множеств ,а это означает, что при всех k. При таком х наш функциональный ряд сходится к нулю.

Итак, ряд сходится при любом х к характеристической функции X множества Е. Вытекающая из условий теоремы интегрируемость функций и сходимость ряда позволяет воспользоваться теоремой о том что, если функция f — сумма сходящегося на R ряда , составленного из интегрируемых функций, причем числовой ряд сходится. Тогда функция f интегрируема, причем . Из нее и следует, что функция X интегрируема (т. е. Е измеримо), причем

Следствие. Если множества попарно не пересекаются и измеримы, а их объединение ограничено, то оно измеримо и

Доказательство. Так как множество Е ограничено, то оно принадлежит некоторому отрезку F. Но тогда и включает в себяF при любом k. В силу аддитивности и монотонности меры это означает, что . Отсюда следует, что неубывающая последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху. Значит, этот ряд сходится и справедливость следствия вытекает из предыдущей теоремы.

Пример 3. Пусть Е — множество чисел отрезка F = [0; 1], десятичное разложение которых невозможно без цифры 7. Покажем, что измеримо, и

найдем его меру.

Выясним, как устроено множество Е. Для этого отберем сначала множество

тех чисел из F, в десятичном разложении которых первой цифрой после запятой будет непременно цифра 7. Ясно, что состоит из одного интервала1 [0,7; 0,8] длины 0,1. Затем из F \ отберем множество тех чисел, в десятичном разложении которых второй цифрой после запятой будет непременно цифра 7. Ясно, что состоит из девяти интервалов ([0,07; 0,08],[0,17; 0,18], ..., [0,67; 0,68],[0,87; 0,88], [0,97; 0,98]) длины 0,01 каждый.

Аналогично обнаружим, что те числа из ,в десятичном разложении которых на третьем месте после запятой окажется непременно цифра 7, составляют множество являющееся объединением 81 интервала длиной 0,001 каждый, и т. д. Ясно, что. Так как множества — как объединения конечного числа интервалов — измеримы и попарно не пересекаются, то в силу следствия из теоремы 4 множество Е измеримо, причем

Теорема 5. Объединение, пересечение и разность двух измеримых множеств измеримы.

Доказательство. Пусть где и — измеримые множества. Обозначим через и характеристические функции множеств и . Эти функции интегрируемы. Тогда интегрируема и функция X = + - 1, а значит, интегрируема и ее срезка , которая, очевидно, и является характеристической функцией множества Е. Измеримость пересечения доказана.

Интегрируема и функция + - , которая, как легко проверить, является характеристической функцией для , откуда и вытекает измеримость объединения. Измеримость разности \ вытекает из того, что ее характеристической функцией является — .

Пример 4. [3] Множество иррациональных чисел любого отрезка Е измеримо, причем .

В самом деле, , где — множество рациональных чисел отрезка Е. Поэтому измеримость рассматриваемого множества вытекает из теоремы 5 в силу измеримости отрезка и множества (см. пример 1). Так как далее , то из теоремы 3 следует, что

Теорема 6. Если множества измеримы и меры множеств при любом n ограничены сверху некоторым числом М, то множество измеримо.

Доказательство. Положим при . Из теоремы 5 получаем с помощью математической индукции, что все множества измеримы, а потому и все измеримы. Но так как , то , причем попарно не пересекаются. При этом знакоположительный ряд сходится, так как его частичные суммы ограничены сверху числом М:

По теореме 4 получаем, что множество Е измеримо.

Теорема 7. Если множества измеримы, то и множество измеримо.

Доказательство. По теореме 5 все множества измеримы. При этом включает в себя а потому совокупность чисел ограничена сверху числом | |. По теореме 6 получаем, что множество измеримо, а значит, измеримо и множество \ Т. Но это множество получается удалением из множества всех элементов, не принадлежащих хотя бы одному из множеств , а потому в него входят лишь элементы, принадлежащие всем . Таким образом, измеримое множество

\ Т совпадает с множеством E, откуда и следует измеримость Е.

Теорема 8. Если множества измеримы, причем и числовая последовательность ограничена, то множествоизмеримо, последовательность ( )сходится и .

Доказательство. Сходимость последовательности ()вытекает из ее ограниченности и монотонности. Рассмотрим вспомогательные множества: при . Эти множества измеримы, попарно не пересекаются, а их объединение равно Е. Так как , то , а это означает, что есть n-я частичная сумма ряда .Из ограниченности последовательности () вытекает сходимость рассматриваемого ряда. Но в таком случае последовательность множеств ()удовлетворяет всем условиям теоремы 4, из которой и вытекает, что Е измеримо, причем

Пример 5. [3] Любое ограниченное открытое множество G измеримо. В самом деле, множество G является объединением конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов . А так как каждый интервал измерим (его характеристическая функция ступенчата), то измеримость G вытекает из следствия теоремы 4.

Пример 6. Любое ограниченное замкнутое множество F измеримо. Действительно, пусть . Тогда F = [i; s]\G, где G открыто. Поэтому F измеримо как разность двух измеримых множеств.