1) ,,; 2),,.
Задача 29.
Даны вершины треугольника
.
Найти уравнения медианы
,
биссектрисы
,
высоты
,
если:
1)
,
,
; 2)
,
,
.
Задача 30*.
Даны уравнения
двух сторон прямоугольника
,
и уравнение его диагонали
.
Составить уравнения остальных сторон
и второй диагонали этого прямоугольника.
Задача 31.
Даны прямая
и точка
.
Найти проекцию
точки
на прямую
и точку
,
симметричную точке
относительно данной прямой, если:
1)
,
; 2)
.
Задача 32. Определить угол между прямыми:
1)
2)
3)
Задача 33.
Найти расстояние точек
,
,
от прямой
,
если
1)
,
,
;
2)
,
,
.
Задача 34. Показать, что прямые параллельны и найти расстояние между ними, если
1)
; 2)
Задача 35.
Даны вершины треугольника
.
Найти длину высоты треугольника, которая
опущена из вершины
,
если:
1)
,
,
; 2)
,
,
.
Задача 36. Составить уравнения биссектрис углов, образованных пересекающимися прямыми:
1)
2)
Задача 37.
Написать уравнение прямой, проходящей
через точку
пересечения прямых
,
и
а) проходящей через
точку
;
б) параллельной
оси
;
в) параллельной
оси
;
г) параллельной
прямой
;
д) перпендикулярной
к прямой
.
Решить задачу, не
находя точки
.
Если
1)
,
2)
.
Задача 38*.
Даны две вершины
и
треугольника
и точка
пересечения его медиан. Составить
уравнения сторон треугольника.
Задача 39*.
Дан треугольник с вершинами
,
,
.
Найти расстояние вершины
от биссектрисы угла
.
Задача 40*.
Даны две вершины
и
треугольника
и точка
пересечения его высот. Найти третью
вершину
.
§ 3. Линии второго порядка. Канонические уравнения
Окружность
Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной и той же точки, называемой её центром.
Каноническое
уравнение окружности
с центром
и радиусом, равным
:
. (14)
Если в уравнении (17) раскрыть скобки, то мы получим общее уравнение окружности:
. (15)
Задача 41. Найти центр и радиус окружности
.
Решение. Для решения задачи приведём данное уравнение к виду (14).
Сгруппируем отдельно слагаемые, содержащие
и
:
.
Дополним выражения в скобках до полного квадрата суммы или разности:
.
Свернём полные квадраты:
.
Сравнивая это
уравнение с уравнением (15), получаем,
что
,
,
.
Таким образом,
данная окружность имеет центр в точке
и радиус
.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 42. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
окружность проходит через начало координат и её центр совпадает с точкой
;точки
и
являются концами одного из диаметров
окружности;диаметром окружности является отрезок прямой
,
заключённй между осями координат;окружность проходит через три точки
,
,
;окружность проходит через точки
,
,
центр находится на оси
;окружность касается осей координат и проходит через точку
.
Задача 43. Определить центр и радиус окружности, заданной уравнением:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Задача 44.
Найти точки пересечения окружности
с прямыми:
1)
;
2)
;
3)
.
Задача 45.
Найти угол между радиусами окружности
,
проведёнными в точки пересечения её с
осью
.
Задача 46. составить уравнение общей хорды двух окружностей:
1)
и
;
2)
и
.
Эллипс
Эллипсом
называется геометрическое место точек
плоскости, сумма расстояний, которых
от двух фиксированных точек, называемых
фокусами эллипса, есть величина постоянная
(
),
большая чем расстояние между фокусами
(
)
(Рис. 10).
П
ростейшее
(каноническое) уравнение эллипса мы
получим, если выберем прямую, соединяющую
фокусы, за ось абсцисс и поместим начало
координат в середине между ними. Тогда
уравнение эллипса примет вид:
,
(16)
где
.
(17)
Точки
,
,
,
пересечения эллипса с осями называютсявершинами
эллипса. Отрезки
и
называются соответственнобольшой
и малой осью эллипса,
параметры
и
,
входящие уравнение (16), называютсябольшой и
малой полуосями.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к его большой оси, т. е.
.
(18)
Очевидно, что
.
Расстояние точки
эллипса от его фокусов (фокальные
радиус-векторы)
определяются формулами
, 
.
(19)
Директрисами
эллипса называются две прямые,
перпендикулярные большой оси эллипса
и отстоящие от его центра на расстоянии,
равном
.
Уравнения директрис:
, 
. (20)
Задача 47.
Составить каноническое уравнение
эллипса, зная, что его малая полуось
равна 16, а эксцентриситет
.
Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид (16):
.
По условию задачи
малая ось
,
отсюда,
.
Известно, что
.
Так как из (17)
,
то
.
Следовательно, каноническое уравнение эллипса имеет вид
.
Задача 48.
На эллипсе
найти точку, расстояние которой от
правого фокуса в четыре раза больше её
расстояния от левого фокуса.
Решение.
Пусть точки
искомая
точка. Расстояние точки
от фокусов эллипса определяется формулами
(19):
, 
,
где
расстояние
от правого фокуса,
расстояние
от левого фокуса.
По условию задачи
.
Подставим выражение
для эксцентриситета
,
получим
.
Далее, приведём уравнение данного эллипса к каноническому виду:
.
Тогда
,
.
Следовательно,
.
Таким образом,
.
Так как точка
принадлежит эллипсу, то, подставив
в его уравнение, получим
:
.
Итак,
.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 49. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения директрис эллипсов:
|
1)
|
3)
|
|
2)
|
4)
|
;
;
;
.Задача 50. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что:
его полуоси равны
и 2;его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8;
его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами равно 10;
расстояние между фокусами равно 6, эксцентриситет
;его большая ось равна 20, эксцентриситет
;его малая ось равна 6 и точка
принадлежит эллипсу;расстояние между его директрисами равно 5, а расстояние между фокусами равно 4;
его большая ось равна 8, а расстояние между его директрисами равно 16;
его малая ось равна 6, а расстояние между его директрисами равно 13;
расстояние между его директрисами равно 32, а эксцентриситет равен
;он проходит через точку
и эксцентриситет равен
;он проходит через точку
и её расстояние от левого фокуса равно
20.
Задача 51.
Найти точки эллипса
,
расстояние которых до правого фокуса
равно 14.
Задача 52.
Найти точки эллипса
,
расстояние которых до левого фокуса
равно 2,5.
Задача 53. Найти длину хорды эллипса, которая делит пополам угол между осями, если:
1)
;
2)
.
Задача 54.
Составить уравнение прямой, проходящей
через левый фокус и нижнюю вершину
эллипса
.
Задача 55.
Составить уравнение прямой, проходящей
через правый фокус и верхнюю вершину
эллипса
.
Задача 56*.
На эллипсе
найти точку, расстояние которой от
правого фокуса в два раза меньше чем её
расстояние от левого фокуса.
Задача 57*.
Дан эллипс
и окружность, имеющая центр в верхней
вершине малой оси эллипса и проходящая
через его фокусы. Найти точки пересечения
эллипса и окружности.
Гипербола
Гиперболой
называется
геометрическое место точек плоскости,
модуль разности расстояний, которых от
двух фиксированных точек, называемых
фокусами гиперболы, есть величина
постоянная (
),
меньшая чем расстояние между фокусами
(
)
(Рис. 11).
П
ростейшее
(каноническое) уравнение гиперболы мы
получим, если выберем прямую, соединяющую
фокусы, за ось абсцисс и поместим начало
координат в середине между ними. Тогда
уравнение гиперболы примет вид:
,
(21)
где
.
(22)
Точки
,
,
пересечения эллипса с осью называютсявершинами
гиперболы. Отрезок
называетсядействительной
осью гиперболы,
отрезок
называетсямнимой
осью гиперболы,
параметры
и
,
входящие уравнение (21), называютсядействительной
и мнимой полуосями соответственно.
Гиперболы
и 
,
называется сопряжёнными.
Если
,
то гипербола называетсяравносторонней.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к его большой оси, т. е.
.
(23)
Очевидно, что
.
Гипербола (24)
состоит из двух бесконечных ветвей
(правой и левой). Расстояние точки
гиперболы от его фокусов (фокальные
радиус-векторы)
определяются формулами:
Директрисами
эллипса называются две прямые,
перпендикулярные большой оси эллипса
и отстоящие от его центра на расстоянии,
равном
.
Уравнения директрис:
, 
. (24)
Прямые
называютсяасимптотами
гиперболы.
Задача 58.
Составить каноническое уравнение
гиперболы, зная, что уравнения асимптот
и расстояние между директрисами
.
Решение. Каноническое уравнение гиперболы (21):
.
Для того чтобы
найти параметры
и
составим систему.
Известно, что асимптоты гиперболы задаются уравнениями
.
Тогда из условия задачи получим первое уравнение системы:
.
Так как уравнения директрис (24):
, 
,
то из условия задачи
.
Из равенств (22) и (23) следует, что
.
Тогда
.
Это второе уравнение системы.
Итак, получили систему
Её решение
,
.
Искомое уравнение гиперболы
.
Задача 59.
Фокусы гиперболы совпадают с фокусами
эллипса
.
Составить уравнение гиперболе, если её
эксцентриситет равен 2.
Решение. Из канонического уравнения данного эллипса известно, что
,
.
По формуле (16)
найдём
:
.
По условию задачи фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса. Значит
.
Так как эксцентриситет гиперболы равен 2, то
.
Для нахождения
воспользуемся равенством (22):
.
Следовательно, искомое уравнение гиперболы
.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 60. Найти координаты полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис данных гипербол:
|
1)
|
3)
|
|
2)
|
4)
|
;
;
;
.Задача 61. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что:
её вещественная ось равна 10, а мнимая 8;
расстояние между фокусами равно 10, а мнимая ось 8;
расстояние между фокусами равно 6, и эксцентриситет равен
;действительная ось равна 16, эксцентриситет равен
;уравнения асимптот
и расстояние между фокусами равно 20;расстояние между директрисами равно
,
а мнимая ось равна 6;расстояние между директрисами равно
,
эксцентриситет
;точки
и
принадлежит гиперболе;точка
принадлежит гиперболе и эксцентриситет
;точка
принадлежит гиперболе и уравнения
асимптот
;расстояние между директрисами равно
,
расстояние между фокусами 26;уравнения асимптот
и уравнения директрис
.
Задача 62. Найти эксцентриситет равносторонней гиперболы.
Задача 63.
Составить уравнение гиперболы, имеющей
вершины в фокусах, а фокусы
в
вершинах эллипса
.
Задача 64.
Составить уравнение гиперболы, фокусы
которой лежат в вершинах эллипса
,
а директрисы проходят через фокусы
этого эллипса.
Задача 65.
Составить уравнение гиперболы, фокусы
которой лежат в фокусах эллипса
,
а её эксцентриситет равен 1,2.
Задача 66.
Через точку
провести прямые, параллельные асимптотам
гиперболы
.
Задача 67.
Определить острый угол между асимптотами
гиперболы
.
Задача 68.
Найти точки пересечения гиперболы
с прямыми:
1)
;
2)
;
3)
.
Задача 69.
Найти точки пересечения гиперболы
и окружности
.
Задача 70*.
Дана гипербола
.
Найти софокусную гиперболу, проходящую
через точку
.
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.
Величина
,
равная расстоянию от фокуса до директрисы,
называетсяпараметром
параболы. Прямая, проходящая через фокус
перпендикулярно директрисе, называется
осью
параболы. Точка пересечения параболы
с её осью называется вершиной.
|
|
|
Если ось параболы выбрать в качестве одной из осей координат, а вторую ось провести посередине между фокусом и директрисой, то мы получим простейшее уравнение параболы. В зависимости от выбора осей получим одно из следующих уравнений:
(Рис.12) (25)
(Рис.13) (26)
(Рис.14) (27)
(Рис.15) (28)
|
|
|
Уравнения (25)-(28) называются каноническими уравнениями параболы.
Фокальный
радиус-вектор произвольной точки
параболы (25) (т.е. длина отрезка
)
вычисляется по формуле
(29)
(аналогичные формулы можно получить для парабол, заданных уравнениями (26)-(28)).
Задача 71.
На параболе
найти точки, фокальный радиус которых
равен 13.
Решение.
Пусть
искомая
точка. Из уравнения параболы
.
Из условия задачи фокальный радиус
.
Подставим в формулу
(29):
.
Подставим координаты
точки
в уравнение параболы и найдём вторую
координату:
.
Таким образом,
.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 72. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси
,
и её параметр равен 3;парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси
,
и её параметр равен 0,5;парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси
,
и её параметр равен 2;парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси
,
и её параметр равен 1;парабола расположена симметрично относительно оси
и проходит через точку
;парабола расположена симметрично относительно оси
и проходит через точку
;парабола расположена симметрично относительно оси
и проходит через точку
;парабола расположена симметрично относительно оси
и проходит через точку
;фокус параболы
;фокус параболы
;директриса параболы
;директриса параболы
.
Задача 73. Найти фокус и уравнение директрисы параболы:
|
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
;
;
;
.
Задача 74.
На параболе
найти точки, расстояния которых до
фокуса равны 34.
Задача 75.
На параболе
найти точки, расстояния которых до
фокуса равны 4,5.
Задача 76.
Составить уравнение прямой, проходящей
через фокус параболы
под углом
к оси
.
Задача 77.
Через фокус параболы
проведена хорда, перпендикулярная к её
оси. Найти длину этой хорды.
Задача 78.
Найти точки пересечения параболы
и прямой, если:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Задача 79.
Найти точки пересечения параболы
и эллипса
.
Задача 80.
Найти точки пересечения параболы
и гиперболы
.
Задача 81.
Через фокус параболы
проведена прямая, параллельная прямой
.
найти длину образовавшейся хорды.
Задача 82. Написать уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы и касающейся её директрисы, если парабола задана уравнением:
1)
; 2)
ОТВЕТЫ
§ 1
5. 1)
,
;
2)
,
.
7.1)
;2)
.
8. 1)
,
;
2)
,
.
9, 1)
,
,
2)
,
.
10. 1)
;
2)
,
,
.
11.1)
,
;
2)
,
.
12.9 кв.ед.
14.
.
15.
,
.
§ 2
21.
1)
;
2)
;
3)
.
22. 1)
;
2)
.
23.
,
,
.
24.
,
,
,
.
25.
.
26.1)
20 кв.ед.; 2) 4.8 кв.ед.
27. 1)
,
;
2)
,
.28.
1)
,
2)
.
29. 1)
,
,
;
2)
,
,
.
30.
,
,
.
31.1)
,
;
2)
,
.
32.
1)
,
2)
3)
.
33. 1)
2.8 ед., 0 ед.;
2) 1 ед.,
2 ед.
34.
1)
;
2)
35.1)
;
2) 1.
36. 1)
,
;
2)
,
.
37.1)
,
,
,
,
;
2)
,
,
,
,
.
38.
,
,
,
39.
.
40.
.
§3
42. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
,
.
43. 1)
,
;
2)
,
;
3)
,
,
4)
,
;
5)
,
.
44.1)
,
;
2) нет общих точек; 3) прямая касается
окружности в точке
.
45.
.
46.1)
;
2)
.
49.1)
,
,
,
,
,
,
;
2)
,
,
,
,
,
,
;
3)
,
,
,
,
,
,
;
4)
,
,
,
,
,
,
.
50.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
или
;
10)
;
11)
;
12)
.51.
.
52.
.
53.1)
;
2)
. 54.
.
55.
.
56.
.
57.
.
60.1)
,
,
,
,
,
;
2)
,
,
,
,
,
;
3)
,
,
,
,
,
;
4)
,
,
,
,
,
;
61.1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.62.
.
63.
;64.
.65.
.66.
,
.
67.
.
68.1)
,
;
2) прямая касается гиперболы в точке
;
3) точек
пересечения нет.
69.
,
,
,
.
70.
.72. 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
73.1)
,
;
2)
,
;
3)
,
;
4)
,
.
74.
.
75.
.
76.
.
77.16.
78. 1)
,
;
2) прямая касается параболы в точке
;
3) точек пересечения нет; 4)
,прямая
параллельна оси параболы.
79.
.
80.
,
.
81.64.
82. 1)
;
2)
.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Баврин, И. И. Высшая математика. – М. /И. И. Баврин: Академия, 2004. – 616 с.
Ьугров, Я. С и др. Высшая математика. – М. /Я. С. Бугров и др.: Дрофа, 2004. т.3. – 512 с.
Данко, П. Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М. /П. Е. Данко: Высшая школа,2000.
304 с.Каплан, И. А. Практические занятия по высшей математике. – Харьков. /Изд. Харьковского гос. ун-та, 1967. – 948 с.
Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике.
М. /В. П. Минорский: Наука, 1969.
352
с.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. – М. /Д. Т. Письменный: АЙРИС ПРЕСС, 2007г.
Шипачев, В. С. Высшая математика. – М. /В. С. Шипачев: Высшая школа, 1990.
480 с.Шипачев, В. С. Задачник по высшей математике. – М. /В. С. Шипачев: Высшая школа, 2008.
304 с.
Методические указания по
«Высшей математике» раздел «Аналитическая геометрия на плоскости»
для студентов I курса дневной формы обучения направления 6.040101 «химия»
образовательно-квалификационного уровня «бакалавр» отрасли знаний 0401 «Естественные науки»
Составители: Корнута Анжелика Александровна,
Плышевская Светлана Петровна.
Редактор: Н. А. Василенко
______________________________________________________________
Подписано к печати 4. 06. 09 . Формат 60x84/16. Бумага тип. ОП. Объем 1,5 п. л. Тираж - 50. Заказ-
_______________________________________________________________
95007, Симферополь, пр. Академика Вернадского, 4. Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского.