Глава 1 аналитическая геометрия на плоскости

§ 1. Прямоугольная система координат. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

1. Прямоугольная система координат.

Прямая, на которой выбрано положительное направление называется осью.

Прямая, на которой выбрано направление, точка начало отсчёта и единичный отрезок, называетсякоординатной осью (Рис. 1).

Рис. 1.

Координатой любой точки данной прямой (в установленной системе координат) называется число, если направление от начала координатк точкесовпадает с положительным направлением оси, и, в противном случае. Обозначение

.

Две взаимно перпендикулярные координатные оси, с общим началом и равными единичными отрезками, называются прямоугольной декартовой системой координат (ПДСК). Одна из осей (горизонтальная) называется осью абсцисс , вторая (вертикальная)осью ординат .

Плоскость, на которой введена ПДСК, называетсякоординатной плоскостью.

Пусть произвольная точка плоскости, опустим из точкиперпендикуляры на оси координат, получим точкиисоответственно (Рис. 2). Пусть точкаимеет координатуна оси абсцисс, точкакоординатуна оси ординат, тогда будем говорить, что точкаимеет координаты,и обозначать

Прямоугольными декартовыми координатами точки плоскости называется упорядоченная пара действительных чисели.

2. Расстояние между двумя точками.

Расстояние между точками ивычисляется по формуле:

. (1)

3. Деление отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок и пустьлюбая точка этого отрезка, отличная от точки(Рис. 3).

Число, определяемое равенством

, (2)

называется отношением, в котором точка делит отрезок.

Координаты точки по данному отношениюи данным координатам точекиможно найти по формулам

, . (3)

В частности, при делении отрезка пополам, т. е. при , получаем формулы для нахождения координат середины отрезка:

, . (4)

Используя равенства (3) можно получить формулы для нахождения координат точки пересечения медиан треугольника , если,,:

, .

4. Площадь треугольника.

Площадь треугольника с вершинами ,,равна:

Выражение вида равнои называется определителем второго порядка.

Задача 1. Найти точку, удалённую на 13 единиц, как от точки , так и от оси.

Решение. Пусть искомая точка. Так как точкаудалена от осина 13 единиц, то её абсциссаили. Следовательно, получим две точкии. Найдём вторую координату.

По условию задачи, расстояние . По формуле (2) имеем,

,

.

Возведем в квадрат обе части равенств:

,

(невозможно).

Отсюда,

или .

Таким образом, получили две точки и.

Задача 2. Даны три вершины параллелограмма ,,. Определить четвёртую вершину, противоположную.

Решение. Пусть точка пересечения диагоналей данного параллелограмма (Рис. 4) Тогда по свойству параллелограмма, она делит его диагонали пополам, т. е.исередина. Из (4)

,

,

Таким образом, точка . Аналогично,является серединой диагонали. Так как

, ,

то имеем,

, .

Итак, четвёртая вершина параллелограмма .

Задача 3. Даны вершины треугольника ,,. Найти длину его медианыи биссектрисы(Рис.5).

Решение. Пусть медиана треугольника. Тогда из определения медианы следует, что точкасередина отрезка. Вычислим координаты точки, используя формулы (4):

,

.

Итак, точка .

Найдём длину медианы по формуле расстояния между двумя точками (2):

.

Таким образом, длина медианы равна.

Пусть биссектриса внутреннего угла треугольникапри вершине. Воспользуемся следующим свойством биссектрисы треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону в отношении пропорциональном прилежащим сторонам, т. е.

.

Вычислим длины сторон ипо формуле (2):

,

.

Таким образом,

.

Координаты точки определим по формулам (3):

,

.

Итак, точка . Найдём длину биссектрисы:

.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 4. Где расположены точки имеющие: 1) равные абсциссы; 2) равные ординаты; 3) равные координаты.

Задача 5. Определить координаты точки, симметричной точке относительно оси абсцисс; относительно оси ординат, если 1); 2).

Задача 6. Построить треугольник . Доказать, что он прямоугольный, если:

1) ,,;

2) ,,.

Задача 7. На оси ординат найти точку равноудалённую от точек и, если:

1) ,;

2) ,.

Задача 8. Найти центр и радиус окружности, описанной около треугольника , если:

1) ,,;

2) ,,.

Задача 9. Даны две смежные вершины параллелограмма ,и точка пересечения его диагоналей. Определить две другие вершины, если:

1) ,,;

2) ,,.

Задача 10. Отрезок, ограниченный точками ,, разделён на равные части. Определить координаты точек деления, если:

1) ,, на три части;

2) ,, на четыре части.

Задача 11. Дан треугольник . Найти длину медианыи длину биссектрисы, если

1) ,,;

2) ,,.

Задача 12. Вычислить площадь треугольника с вершинами ,,.

Задача 13. Показать, что точки лежат на одной прямой ,,.

Задача 14^*. Даны две вершины итреугольникаи точкапересечения его медиан. Определить координаты вершины.

Задача 15^*. Отрезок разделён точкамиина три равные части. Найти координаты концов отрезка.