pmvm
.pdf1Матриця, визначники 2-го, 3-го порядку,
¨х властивостi.
Аудиторна робота
f jgj=1;m
Означення 1. Матрицею A = ai i=1;n порядку m n назива¹ться
таблиця чисел (дiйсних, комплексних)з m рядкiв i n стовчикiв.
Дi¨ над матрицями: 1. Матрицi однакового розмiру можна додавати за наступним правилом:
f jgj=1;m f jgj=1;m f j jgj=1;m A + B = ai i=1;n + bi i=1;n = ai + bi i=1;n :
fjgj=1;m
2.Матрицю A = ai i=1;n можна множити на дiйсне (комплексне)
число за наступним правилом:
f jgj=1;m f jgj=1;m
ai i=1;n = ai i=1;n :
Означення 2. Визначник матрицi А порядку n n- це скаляр визначений для цi¹¨ матрицi.
Матриця 2 2:
Визначник обчислю¹ться за наступним правилом
|
|
|
|
|
|
detA = |
|
a11 |
a12 |
|
= a11a22 a12a21: |
a21 |
a22 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 1.
1 2
= 1 4 2 3 = 2:
3 4
1
Матриця 3 3:
декiлька способiв обчислення визначника порядку 3. Перший метод "зiрочка":
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
detA = a21 |
a22 |
a23 |
= a11a22a33 + a13a21a32+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
+a31a12a23 a13a22a31 a11a23a32 a33a12a21:
Другий метод-метод "додаткових стовпчикiв": до матрицi А злiва допису¹мо 1-ий i 2-ий стовпчики.
detA = |
+a11 |
+a12 |
+a13 j |
a11 |
a12 |
|
= a11a22a33 + a12a23a31 |
+ a13a21a32 |
|
||
|
a21 |
a22 |
a23 |
j |
a21 |
a22 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33: |
|
|
Елементи дiагоналей паралельних головнiй дiагоналi матрицi перемножа¹мо для кожно¨ дiагоналi i запису¹мо в суму зi знаком "+", елементи дiагоналей паралельних другоряднiй перемножа¹мо окремо для кожно¨ дiагоналi i запису¹мо в ту ж суму зi знаком "-".
Третiй метод(загальний для матрицi будь-якого порядку)-це правило Лапласа.
Задача 1. Обчислити визначники матриць 2-го порядку
|
1 0 |
|
|
|
1 i |
1 p |
|
|
|
||
a) |
; |
b) |
2 |
: |
|||||||
|
|
3 2 |
|
|
1 + p2 1 + i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
Задача 2. Обчислити визначники матриць 3-го порядку
a) |
|
1 |
2 |
0 |
; |
b) |
|
1 |
2 |
3 |
|
; |
c) |
|
11 |
2 |
0 |
|||||
|
2 0 1 |
|
|
2 3 |
2 |
|
|
|
2 0 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
3 |
2 |
|
1 |
|
|
|
11 |
|
2 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Обчислити визначники матриць 3-го порядку, користуючись властивостями визначникiв
|
1 + cos |
1 + sin |
1 |
|
|
x2 |
x |
1 |
|
||
a) |
1 |
|
sin |
1 + cos |
1 |
; |
b ) |
2 |
y |
1 |
: |
|
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
z2 |
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Обчислити систему методом Крамера a)
8 |
x + 2y z |
= 2; |
||||
> x + 5y |
|
3z |
= 3; |
|||
> |
|
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
> |
2x + y |
= 3: |
||||
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
: |
|
b) |
|
|
|
|
8 |
2x 3y + z = 1; |
|||||
> |
x + y |
|
z |
= 1; |
||
> |
|
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
> |
x y |
= 2: |
||||
> |
|
|
|
|
|
|
>
:
Задача 5. Дослiдити при яких значеннях параметра а система ма¹ ¹диний розвязок, безлiч розвязкiв, нема¹ розвязкiв.
8 |
2x 5y |
|
= 1; |
|
||
< ax + 5y |
= |
|
2a |
|
5: |
|
: |
|
|
|
|
3
Задача 6 : Числа 425, 646, 901 дiляться на 17. Не обчислюючи
|
4 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
визначника пояснити чому число |
6 |
4 |
6 |
дiлиться на 17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1.1Вектори та дi¨ над ними
Нехай ~a = (xa; ya; za): Щоб знайти координати цього вектора, якщо ¹
~
початок A i кiнець B вектора AB = (xB xA; yB yA; zB zA):
|
Орт вектораj j = p |
|
|
|
|
||
|
xa + |
a |
+ za: |
||||
Шука¹мо довжину вектора |
~a |
2 |
y2 |
2 |
|
||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~e ~ = |
AB |
= (cos ; cos ; cos ) : |
|
|
|
||
~ |
|
|
|
||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
jABj |
|
|
|
|
|
|
Цi косинуси називаються напрямними, кути утворенi вектором ~ AB i
осями 0x; 0y; 0z вiдповiдно. Основна тотожнiсть для косинусiв
cos2 + cos2 + cos2 = 1:
Операцi¨ з векторами:
~ |
|
~a b = (xa xb; ya yb; za zb); |
|
~a = ( xa; ya; za): |
|
Розкласти вектор ~ |
~ |
d за базисом ~a; b;~c означа¹ розв'язати систему |
|
|
рiвнянь: |
~ |
~ |
d = ~a + b + ~c:
4
Координати ( ; ; ) ¹ координати вектора, отриманi при розкладi
вектора ~
d: Задача 1. Для вектора ~a = (4; 12; z) знайти третю координату z , якщо його довжина j~aj = 13. Знайти початок цього
вектора, якщо його кiнець в точцi (-1;0;3).
Задача 2. Чи може деякий вектор складати з осями координат наступнi
êóòè = |
; = ; = |
2 |
|
= |
; = |
5 |
; = |
|
||
3 ? |
|
6 ? |
||||||||
4 |
3 |
|
2 |
6 |
|
|
||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Для векторiв ~a = (3; 2; 6); b = ( 2; 1; 0) обчислити |
||||||||||
|
~ |
~a |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
j2~a + 3bj; j3 |
2bj. |
~ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 4. Перевiрити, що вектори ~a = ( 5; 1); b = ( 1; 3) базис i |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
розкласти вектор ~c = ( 1; 2) у базисi ~a; b: |
|
|||||||||
Задача 5. Перевiрити, що вектори |
|
|||||||||
~ |
|
|
|
1) базис i розкласти вектор |
||||||
~a = (2; 1; 0); b = (1; 1; 2);~c = (2; 2; |
||||||||||
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
d = (3; 7; 7) у базисi ~a; b;~c: |
|
|
||||||||
Задача 6. Побудувати вектори ~a |
1~ |
|
1 |
~ |
||||||
2 b; |
2~a + b: |
Домашн¹ завдання Задача 1. Обчислити визначники матриць 2-го порядку
|
4 1 |
|
|
p |
|
i |
1 |
|
|
|||
a) |
; |
b) |
3 |
: |
||||||||
|
3 0 |
|
|
|
|
1 |
p3 + i |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Обчислити визначники матриць 3-го порядку
a) |
|
0 |
1 |
0 |
; |
b) |
|
1 |
0 |
5 |
|
||
10 |
286 |
1 |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
628 |
1 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Задача 3. Обчислити визначники матриць 3-го порядку, користуючись властивостями визначникiв
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2cos2 |
|
sin |
1 |
|
2 |
+ x2 |
x |
1 |
||
a) 2cos |
|
2 |
sin |
1 ; |
b ) + y |
|
y |
1 : |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 1 |
2 |
+ z2 |
z 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Обчислити систему методом Крамера
8 |
2x 3y + z = 1; |
|||
> |
x + y |
|
z |
= 1; |
> |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
> |
x y |
= 2: |
||
> |
|
|
|
|
>
:
Задача 5. Дослiдити при яких значеннях параметра а система ма¹ ¹диний розвязок, безлiч розвязкiв, нема¹ розвязкiв.
:
8 x ay |
= 1; |
< ax + 5y |
= 2a + 1: |
Задача 6. Для вектора ~a = (4; y; 1) знайти координату y , якщо його
довжина j~aj = 14. Знайти початок цього вектора, якщо його кiнець в точцi (1;-2;-3).
|
|
~ |
|
Задача 7. Для векторiв ~a = (3; 2; 6); b = 2; 1; 0 обчислити |
|||
~ |
~a |
~ |
|
j~a 3bj; j |
2 |
2bj. |
~ |
Задача 8. Перевiрити, що вектори ~a = (2; 1); b = (0; 4) базис i |
|||
|
|
|
~ |
розкласти вектор ~c = (1; 1) у базисi ~a; b: |
|||
Задача 9. Визначити, яка трiйка з чотирьох векторiв |
|||
~ |
1 |
1 |
3 ~ |
~a = ( 8; 4; 12); b = ( 8; 4; 12);~c = ( 2 |
; 4 ; |
4 ); d = (2; 1; 3) утворю¹ |
базис i розкласти один з цих векторiв у базисi iнших трьох.
6
2Cкалярний, векторний, мiшаний добутки.
Аудиторна робота
2.1Скалярний добуток
Обчислю¹мо скалярний добуток за формулою
~ |
~ |
~ |
~ |
~a b = (~a; b) = xaxb + yayb + zazb = j~ajjbjcos(\~a; b) = |
|||
|
~ |
|
|
|
~ab j~aj: |
~ |
~ |
|
|
||
Критерiй ортогональностi: (~a; b) = 0 |
, ~a?b: |
||
|
|
~ |
|
Приклад 1. Задано вектори ~a = (1; 2; 0); b = (0; 1; 1);~c = ( 1; 1; 1): |
|||
|
~ |
~ |
~ |
Знайти a)(~a ~c; b + 2~c); b)\(~a |
~c; b + 2~c); c)~a ~cb + 2~c: |
a) Обчислимо координати векторiв ~a ~c = (1 + 1; 2 1; 0 1) = (2; 1; 1)
i ~ |
|
2; 1 + 2; 1 + 2) = ( 2; 1; 3): Скалярний добуток дорiвню¹ |
|||||||||||||||||||||||||
b + 2~c = (0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
( 2) + 1 1 1 |
3 = 6: |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
(~a ~c; b + 2~c) = 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
b) Довжини векторiв рiвнi j~a ~j = p |
|
|
|
|
|
= p |
|
i |
|
|
|
|||||||||||||||
|
4 + 1 + 1 |
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
~ |
~ |
p |
|
|
p |
|
|
I кут мiж векторами тодi дорiвню¹ |
|
||||||||||||||||||
jb + 2j = 4 + 1 + 9 = 19: |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
cos\(~a |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(~a ~c;b+2~c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
~c; b + 2~c) = |
|
~ |
|
|
= |
p |
|
p |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~a ~c |
b+2~c |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
jj |
|
j |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
||
c) А проекцiя обчислю¹ться за формулою |
~a |
|
|
|
|
|
|
|
|
(~a ~c;b+2~c) |
|
6 |
: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~cb + 2~c = |
|
~a ~c |
= p |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j j |
6 |
|
Приклад 2. Довжини базисних векторiв e1; e2 загально¨ декартово¨
системи координат на площинi дорiвнюють вiдповiдно 2 i 1, а кут мiж
базисними векторами дорiвню¹
3 . Вiдносно цi¹¨ системи координат
~
заданi вектори ~a = ( 2; 1); b = (1; 2). Знайти довжини векторiв i кут мiж ними.
7
Оскiльки система не прямокутна i базиснi вектори неодиничнi, то довжини векторiв шука¹мо Задача1. Задано вектори
|
~ |
|
|
~ |
|
~a = ( 1; 0; 2); b = (2; |
1; 1);~c = (1; 1; 1); d = ( 2; 1; 0): Обчислити |
||||
~ |
~ |
b) |
~ |
c) \(~a +~; 2~a |
~c); |
a) (~a; b) (~c; d); |
b(~a + ~c;~a ~c); |
||||
|
Задача 2. З однi¹¨ точки вiдкладено три вектори |
|
|||
|
~ |
8); |
i ~c: Вектор ~c ма¹ довжину 3 i дiлить кут |
||
~a = (0; 3; 4); b = (4; 1; |
~
мiж векторами ~a i b навпiл. Обчислити координати вектора ~c:
Задача 3. Задано вектор ~a = (1; 1; 2). Знайти ортогональну проекцiю
вектора ~
b = (1; 1; 2) на пряму, напрям яко¨ визначений вектором ~a i
ортогональну складову вектора ~
b вiдносно цi¹¨ прямо¨. Задача 4. Довжини базисних векторiв e1; e2 загально¨ декартово¨
системи координат на площинi дорiвнюють вiдповiдно 4 i 2, а кут мiж
базисними векторами дорiвню¹ 2
3 . Вiдносно цi¹¨ системи координат
заданi вершини трикутника A( 2; 2); B( 2; 1); C( 1; 0). Знайти довжини сторiн i кут A.
2.2Векторний добуток
Обчислю¹мо векторний добуток за формулою
~a |
|
~ |
~ |
= |
|
i |
j |
k |
|
= ~c; |
|
b = ~a; b |
xa |
ya |
za |
|
|||||
|
h |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
xb |
yb |
zb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль вектора, що дорiвню¹ векторному добутку рiвний
~ |
~ |
: |
j~cj = j~aj jbjsin(\~a; b) = 2S4~a;~b |
8
Критерiй колiнеарностi
~ |
|
~a b = 0: |
|
~ |
~ |
Критерiй ортогональностi: (~a; b) = 0 |
, ~a?b: |
Задача 5. Знайти довжину висоти трикутника ABC опущено¨ з
вершини B, якщо A(6;5;4), B(5,1,1), C(6,4,3)
Задача 6. Знайти площу паралелограма , побудованого на векторах
~ |
~ |
~ |
~ |
|
: |
m;~ ~n, ÿêùî m~ = 6~a 3b i ~n = 3~a 2b j~aj = 4; jbj = 5; \(~a; b) = |
6 |
Задача 7. Знайти вектор ~x, якщо вiн перпендикулярний до векторiв
~
~a = (1; 3; 1) i b = ( 2; 8; 3) i (~x;~c) = 9; äå ~c = (2; 3; 4):
2.3Мiшаний добуток.
Мiшаний добуток обчислю¹мо за формулою
~ |
~ |
xa |
ya |
za |
|
: |
(~a; b;~c) = (~a; [b;~c]) = |
xb |
yb |
zb |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xc |
yc |
zc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерiй компланарностi: вектори компланарнi
~
(~a; b;~c) = 0:
Задача 8. Визначити при яких значеннях параметра вектори
~
~a = (1; ; 3); b = (4; 3; 2);~c = ( 7; 5; 1) ¹ компланарними, утворюють праву трiйку, утворюють лiву трiйку.
Задача 9. Знайти довжину висоти тетраедра ABCD, опущено¨ з вершини D. A(1,2,3), B(2,1,2), C(-1,2,-1), D(-2,0,1).
9
Домашн¹ завдання Задача1. Задано вектори
|
~ |
|
|
~ |
1; 0): Обчислити |
~a = ( 1; 1; 1); b = ( 1; 1; 2);~c = (1; 2; |
1); d = (0; |
||||
~2 |
2 |
~ |
~ |
~ |
~ |
a)b |
+ ~c |
4(~a; d); b) |
d(2~a b + ~c; b ~c); |
c) |
~ ~ |
\(2~a b + ~c; b ~c); |
Задача 2. З однi¹¨ точки вiдкладено два вектори
~
~a = (1; 0; 2); b = (3; 1; 2): Обчислити координати вектора ~c, який
~
ма¹ довжину 4 i дiлить кут мiж векторами ~a i b навпiл.
Задача 3. Задано вектор ~a = (0; 2; 1). Знайти ортогональну
проекцiю вектора ~ |
|
|
|
b = (1; 0; 2) на пряму, напрям яко¨ визначений |
|||
~ |
|
|
|
вектором ~a i ортогональну складову вектора b вiдносно цi¹¨ прямо¨. |
|||
Задача 4. Довжини базисних векторiв e1; e2; e3 загально¨ декартово¨ |
|||
системи координат на площинi дорiвнюють вiдповiдно 3, |
p |
|
i 4, à êóòè |
2 |
мiж базисними векторами дорiвнюють \(e1; e2) = \(e3; e2) = 4 , \(e1; e3) = 3 :. Обчислити довжини сторiн i кути паралелограма, побудованого на векторах, якi мають у цьому базисi координати (1,-3,0) i (-1,2,1).
Задача 5. Знайти довжину висоти трикутника ABC опущено¨ з
вершини B, якщо A(-1,0,4), B(2,2,2), C(1,3,3)
Задача 6. Знайти площу паралелограма , побудованого на векторах
~ |
~ |
~ |
~ |
|
: |
m;~ ~n, ÿêùî m~ = 4~a 2b i ~n = 3~a 2b j~aj = 5; jbj = 5; \(~a; b) = |
4 |
10