Анісімов - Коливання та хвилі

Зміст

1.6.1.Розв’язок неоднорідного рівняння Матьє (42).

1.6.2.Форма амплітудно-частотної характеристики (43). 1.6.3. Пульсації коефіцієнту підсилення (44). 1.6.4. Залежність коефіцієнту підсилення від фази сигналу

(45).

3.1.1. Приклади хвиль малої амплітуди в пасивних системах (155). 3.1.2. Розв’язок хвильового рівняння. Дисперсія (157). 3.1.3. Початкова та гранична задача (158). 3.1.4. Поширення хвильового пакету в лінії з дисперсією (158). 3.1.5. Формальна класифікація дисперсії (159). 3.1.6. Причини виникнення дисперсії (модельний розгляд) (160). 3.1.7. Просторова і часова дисперсія в

3.4.Зв’язані хвилі у відкритих (нерівноважних) системах.

3.4.1.Дисперсійне рівняння для хвиль у двопучковому 180 підсилювачі (180). 3.4.2. Генератор на зустрічних пучках (181). 3.4.3. Підсилювач на супутніх пучках (183).

3.4.4.Абсолютна, конвективна та осциляторна нестійкість (184). 3.4.5. Критерій Брігса (186).

рівняння та їхні розв’язки (188). 3.5.5. Вимушене розсіювання Мандельштама – Брілюена (191). 3.5.6. Вибухова нестійкість (192).

Передмова

Пропонований посібник відповідає програмі курсу “Коливання і хвилі” (36 год. лекцій та 36 год. практичних занять), який читається студентам радіофізичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (спеціальність – “радіофізика і електроніка (прикладна фізика)”, всі спеціалізації) в V семестрі. В процесі викладання використовуються матеріали, які читалися студентам у курсах загальної та теоретичної фізики, вищої математики (зокрема, диференціальних рівнянь), а також радіотехнічних кіл і сигналів та радіоелектроніки. В свою чергу, матеріал даного курсу використовується надалі в ряді спецкурсів (наприклад, "Статистична радіофізика", "Електроніка НВЧ" та ін.).

Структура курсу дещо відрізняється від загальноприйнятої: матеріал згруповано за кількістю ступенів вільності аналізованих систем. На нашу думку, це дозволяє якнайшвидше перейти до розгляду явищ, досі незнайомих студентам, і тим самим позбутися враження, що курс є повторенням раніше викладеного матеріалу. Первісний розгляд ефектів на найпростіших моделях (системи з одним ступенем вільності) видається найбільш правильним з методичної точки зору. Повторне звернення то аналогічних ефектів (наприклад, параметрична взаємодія) на прикладі систем з багатьма ступенями вільності та з розподіленими параметрами сприяє кращому засвоєнню матеріалу.

Основна увага в курсі приділяється дослідженню нелінійних коливань і хвиль (включаючи параметричні коливання та автоколивання). Тому, наприклад, явища інтерференції та дифракції хвиль не розглядаються зовсім (вони детально вивчаються в курсі "Оптика"). Натомість детально розглядаються ефекти хаотичної динаміки в простих системах. Враховано також, що вивчення нелінійних хвиль надалі продовжується в ряді спецкурсів (“Нелінійна оптика”, “Нелінійні хвилі. Структури. Хаос”, “Синергетика”).

Посібник призначений для роботи за модульно-рейтинговою системою. Тому кожний розділ супроводжується набором контрольних питань та задач. Відповіді на контрольні питання і розв’язання задач - невід’ємна частина роботи з посібником. Контрольні питання в ба-

в багатьох випадках складені таким чином, що пряма відповідь на них в тексті посібника (і в інших подібних підручниках) відсутня. Такі питання стимулюють самостійне осмислення матеріалу і (разом із розв’язанням задач) дозволяють студенту вийти за рамки його механічного запам’ятовування. Задачі підвищеної складності, позначені зірочкою (*), призначені для необов’язкової самостійної роботи студентів.

У додатку вміщений українсько-російсько-англійський термінологічний словник, що може полегшити користування відповідною іншомовною літературою.

Наприкінці вважаю своїм приємним обов’язком висловити вдячність своїм колегам проф. С.М.Левитському та ас. О.І.Кельнику за допомогу в роботі над посібником. Хочу також подякувати студентам Київського національного університету імені Тараса Шевченка (радіофізичний факультет та спеціалізація "фізика космосу" фізичного факультету) і Національного університету "Києво-Могилянська Академія" (спеціальність "фізика біологічних систем"), які своїми запитаннями, зауваженнями та інтересом до предмету сприяли вдосконаленню цієї книги.

Вступ

В.1. Предмет теорії коливань і хвиль.

Під коливаннями звичайно розуміють рух (тобто зміну з часом деякої фізичної величини), який періодично повторюється. Коливання, що поширюються в просторі, називають хвилями.

З курсу загальної фізики відомо, що коливання ряду простих систем (механічний маятник, коливний контур та ін.) описуються однаковими рівняннями. Виявляється, що таке саме становище має місце і для більш складних коливних систем (нелінійні та параметричні осцилятори, автогенератори), а також для систем з розподіленими параметрами, в яких можуть мати місце хвильові процеси.

Предметом курсу «Коливання і хвилі» і є вивчення спільних рис коливань і хвиль різної природи. Причому в коло досліджуваних явищ включаються не тільки різні області фізики, а й хімія, біологія, екологія та ін.

Системи, в яких можливі коливання називають динамічними. То-

чніше, динамічні системи - це системи, описувані набором рівнянь

Говорять, що така система має n/2 ступенів вільності.

В.2. Класифікація коливних систем.

В основу класифікації коливних систем можна покласти різні ознаки. Відповідно отримаємо різні варіанти класифікації.

Класифікація за кількістю ступенів вільності.

За кількістю ступенів вільності коливні системи можна розділити

на

−системи з одним ступенем вільності;

−системи з багатьма ступенями вільності;

−системи з нескінченною кількістю ступенів вільності (з розподіленими параметрами).

Разом із системами з одним ступенем вільності ми розглядатимемо й системи з півтора ступенями вільності.

При переході від однієї (чи півтора) до двох ступенів вільності з’являється нова якість - обмін енергії між ступенями вільності. При подальшому збільшенні числа ступенів нова якість не виникає. Тому системи з багатьма ступенями вільності виділяють в окрему групу.

В системах з розподіленими параметрами з’являється можливість поширення хвиль. Такі системи описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних.

Саме класифікація за числом ступенів вільності покладена в основу цього лекційного курсу.

Класифікація за енергетичними характеристиками.

В залежності від того, чи зберігається з часом повна енергія сис-

тем, їх ділять на консервативні та дисипативні.

Якщо система, яку ми розглядаємо, не взаємодіє з іншими системами, її називають автономною, в протилежному випадку - неавто-

номною.

Якщо система не обмінюється речовиною та енергією з іншими системами, її називають замкненою, в протилежному випадку - відкритою. Ця класифікація близька до попередньої.

Якщо система має деякий запас енергії (потенціальної, кінетичної, хімічної та ін.), яка може піти на збудження коливань та їх підтримання протягом тривалого часу, такі системи називають нерівноважними. В протилежному випадку говорять про рівноважні (або

пасивні) системи.

Відкриті та нерівноважні системи іноді об’єднують під назвою

активних систем.

Класифікація за характером диференціального рівняння.

Параметри системи можуть залежати від її руху. Наприклад, в коливному контурі з варікапом ємність буде визначатись миттєвою напругою на варікапі. Такі системи називають нелінійними. Вони описуються нелінійними диференціальними рівняннями.

Вступ

Якщо ж параметри системи не залежать від її руху, систему називають лінійною. Такі системи описуються лінійними диференціальними рівняннями з постійними коефіцієнтами.

В межах цієї ж класифікації виділяють ще параметричні та автоколивні системи.

Параметричними називають системи, у яких якийсь параметр змінюється за наперед заданим законом під дією зовнішньої сили, незалежно від руху самої системи. Параметричні системи опису-

ються лінійними диференціальними рівняннями зі змінними коефіцієнтами. Ми покажемо, що параметричні системи - це різновид нелінійних неавтономних систем. Відомий приклад параметричних систем - маятник із змінною довжиною підвісу (гойдалка).

Автоколивні системи - це системи, в яких за відсутності зовнішнього періодичного впливу можуть виникати і встановлюватись періодичні коливання. Властивості цих коливань мало залежать від початкових умов і визначаються властивостями самої системи.

Приклади автоколивних систем - механічний годинник, різноманітні автогенератори синусоїдних та несинусоїдних коливань та ін.

Автоколивні системи також описуються нелінійними диференціальними рівняннями.

Умовність класифікації реальних коливних систем.

Наприкінці зазначимо, що запропонована класифікація стосується не стільки реальних коливних систем, скільки їхніх моделей.

Наприклад, розглянемо коливання маси на підвісі. Якщо ми спостерігаємо один-два періоди коливань, систему можна вважати консервативною; на протязі більш тривалого часу істотним стає згасання. Якщо ми розглядаємо малі відхилення від положення рівноваги, систему можна вважати лінійною; для великих відхилень стає істотною нелінійність. Якщо рух маси відбувається в деякій вертикальній площині, можна вважати, що система має один ступінь вільності. Якщо початкова швидкість маси не лежить у площині відхилення від положення рівноваги, можна говорити про два (або навіть три, коли взяти до уваги, що підвіс може розтягатися) ступені віль-

ності. Якщо ж розглядати поперечні коливання підвісу (подібні до коливань стуни), слід користуватися моделлю системи з розподіленими параметрами.

Отже, реальні системи, як правило, нелінійні, неавтономні, дисипативні і мають нескінчену кількість ступенів вільності.

ЧАСТИНА I.

КОЛИВНІ СИСТЕМИ З ОДНИМ СТУПЕНЕМ ВІЛЬНОСТІ.

1.1. Вільні коливання лінійного осцилятора.

Найпростішою системою, що може здійснювати коливний рух, є лінійний осцилятор (система з одним ступенем вільності). Почнемо розгляд з вільних коливань такої системи.

1.1.1. Приклади лінійних осциляторів.

а) Розглянемо математичний маятник, тобто точкову масу на невагомому нерозтяжному підвісі, що рухається без дисипації (рис.1.1.1). Рівняння руху такої системи являє собою другий закон Ньютона для обертового руху:

де ϕ - кут відхилення, I=ml2 - момент інерції I=ml2, M=mgl sin ϕ - момент сили. Після підстановки дістанемо:

Рис.1.1.1. Математичний маятник.

Це - рівняння лінійного консервативного осцилятора. б) Взаємодія популяцій хижак - здобич.

Нехай в ізольованому лісі, де є вдосталь трави, живуть лише зайці. Очевидно, вони розмножуватимуться за екпоненціальним законом:

N&1 = γ1N1 .

Якщо в тому самому лісі живуть лише вовки, їхня популяція екпоненціально зменшуватиметься:

N&2 = −γ2 N2 .

Нехай тепер у лісі співіснують обидві популяції. Ймовірність зустрічей вовків із зайцями пропорційна до добутку N1N2. В результаті таких зустрічей чисельність зайців зменшуватиметься, чисельність вовків зростатиме. Отже, остаточно дістанемо:

Це так звана система рівнянь Вольтерра, що описує взаємодію популяцій хижак - здобич. Вона нелінійна, отже, знайти її точний розв’язок важко.

Знайдемо спочатку стаціонарні (такі, що не залежать від часу) розв’язки системи (1.1.4). Для цього покладемо рівними нулю похідні за часом. Отримаємо:

Є, втім, і інший рівноважний розв’язок – N10=N20=0. Він може реалізуватися, якщо людство й надалі не звертатиме уваги на екологічні проблеми. Розглядатимемо, однак, оптимістичний сценарій.

Вважатимемо, що чисельність популяцій мало відрізняється від рівноважних значень (1.1.5):