РГР матан1
.pdfМИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ
_______________________________________________________________________
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ
Е.Ф. КАЛИНИЧЕНКО
МАТЕРИАЛЫ
расчетно-графической работы №1 по математическому анализу
для студентов 1 курса специальности экономика
Издание первое
Коломна КИ (ф) МГОУ – 2012
1
УДК 512.64 (075);
ББК 22.12
Рецензенты:
кандидат физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики и физики КИ (ф) МГОУ Адамушко Н. Н.
Калиниченко Е.Ф.
МАТЕРИАЛЫ расчетно-графической работы №1 по математическому анализу. 1-е изд., – Коломна: КИ (ф) МГОУ, 2012, 18 с.
Учебное пособие содержит теорию, задания и требования к выполнению расчетно-графической работы по математическому анализу. Предназначено для студентов специальностей «экономика» технических университетов дневной формы обучения.
Рассмотрено на заседании кафедры высшей математики и физики 24.10.2012г., протокол №3/2012
2
1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
1.1. Пределы.
Пусть заданы две функции f (x) и g(x) . Если существуют lim f (x)
x x0
и lim g(x) , то существуют и пределы суммы и произведения этих функций, а
x x0
при |
условии |
lim g(x) 0 и |
предел |
частного, |
причем |
|
|
x x0 |
|
|
|
Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой функции. Не трудно доказать, что предел постоянной
функции равен этой постоянной, то есть lim С С . Из приведенных формул
x x0
следует полезное утверждение:
,
то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Если сделать замену переменной t x x0 , то вычисление предела при x x0 всегда можно свести к вычислению предела при t t0 .
Из определения непрерывной функции следует, что ее предел совпадает
со значением функции в этой точке lim f (x) f (x0 ) . Все элементарные функции
x x0
непрерывны в области определения, поэтому, если функция определена, то вычисление предела сводится к применению указанных теорем и подстановке x0 в выражение функции.
Непределенности и их раскрытие.
Существуют случаи, когда не применимы теоремы о пределах суммы, произведения, частного, но предел существует и может быть вычислен. Если
lim f (x) и |
lim g(x) , то может существовать ( lim |
f (x) g(x)) . В этом случае |
|
x x0 |
x x0 |
x x0 |
|
3
говорят, что имеем неопределенность типа . Также может существовать
lim |
f (x) |
, в этом случае имеем неопределенность типа |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x x0 |
g(x) |
|
|
|
|
|
|
Если lim f (x) 0 и |
lim g(x) 0 , то может существовать |
lim |
f (x) |
. В этом случае |
|||
|
|||||||
|
x x0 |
x x0 |
x x0 |
g(x) |
|
||
говорят, что имеем неопределенность типа . Если |
lim f (x) 0 и |
lim g(x) , |
|||||
|
|
|
|
x x0 |
|
|
x x0 |
то может существовать lim f (x) g(x) - неопределенность типа |
. |
||||||
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
Рассматривают также неопределенности типа |
, |
и т. |
д. Основным |
признаком неопределенности является невозможность корректного вычисления функции простой подстановкой x0 в выражение для функции.
Полезно запомнить замечательные пределы:
первый замечательный предел
,
его используют для вычисления неопределенность типа .
второй замечательный предел
(е = 2.71828… - основание натуральных логарифмов), его используют для вычисления неопределенностей типа .
2. ЗАДАНИЯ (ПОСТАНОВКА РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ
РАБОТ).
2.1. Расчетно-графическая работа № 1 (РГР № 1).
Задача 1. Вычислить предел.
1. |
lim |
2x3 7x2 x 2 |
. |
||||||
|
|
4x2 |
5x 10 |
||||||
|
x 6x3 |
|
|||||||
2. |
lim |
1 4x x4 |
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 6x4 |
3x2 x |
|
||||||
3. |
lim |
|
x2 |
x 3 |
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 6x3 |
8x 11 |
|
4
4. lim
x
5. lim
x
6. lim
x
7. lim
x
8. lim
x
9. lim
x
10. lim
x
11. lim
x
12. lim
x
13. lim
x
14. lim
x
15. lim
x
16. lim
x
17. lim
x
18. lim
x
19. lim
x
20. lim
x
21. lim
x
22. lim
x
23. lim
x
24. lim
x
3x5 5x2 x 21 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x5 x2 |
7x 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
8x2 4x2 |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10x5 2x2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2x5 7x2 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
6x5 3x2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 4x x4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 2x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4x6 x3 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2x6 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8x2 4x 7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
5x3 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 4x x4 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2x4 3x2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
5x3 6x 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4x2 |
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2x5 8x |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5x5 x3 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3x6 8x2 |
5 |
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
2x7 3x5 6x 7 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
8x2 |
4x 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4x2 |
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3x4 8x 11 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2x2 3x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5x3 6x 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x3 2x2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3x5 8x2 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x5 6x |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x4 3x2 8x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x5 7x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2x2 |
5x 7 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3x5 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x5 6x2 17 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x4 6x2 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2x2 5x 7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x4 x |
|
|
|
x4 1 |
||||||||||||||||||
|
|
x2 x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4x4 3x2 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
4x3 5x2 |
|
7x |
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x6 4x2 |
|
|
|
|
|
x4 1 |
||||||||||||||||
|
|
x3 5x2 |
|
7x |
|
|
|
4x6 x2 x 2 .
5
25. lim
x
26. lim
x
27. lim
x
28. lim
x
29. lim
x
30. lim
x
3 8x6 5x3 2 . 2x2 3x 5
3 x6 x3 x .
x4 x 15
4x4 5x2 3 . x2 5x 1
(x2 3x 2 x) .
(x(x 2) x2 2x 3) .
(x2 x x2 3)
Задача 2. Вычислить предел.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
1. lim |
|
|
|
|
|
3x 17 |
|
|
|
2x 12 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x 15 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
lim |
|
|
|
|
x 10 |
|
|
|
|
|
|
4 x |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
2x2 x 21 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
lim |
|
|
|
|
x 12 |
|
|
|
|
|
|
4 x |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 2x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4. |
lim |
|
|
|
|
|
3x2 4x 1 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x 3 |
|
|
5 |
3x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
lim |
|
|
|
|
x2 3x 2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 2 |
|
5 x |
|
1 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
lim |
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
6 x |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x 5 |
|
|
|
2x2 7x 15 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
lim |
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
x 6 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8. |
lim |
|
|
|
|
x2 x 12 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 3 |
|
|
|
x 2 |
|
|
4 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
9. |
lim |
x2 |
7x 8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. |
lim |
|
|
|
2x |
|
2 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11. |
lim |
|
1 |
|
x 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 8 |
3 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12. |
lim |
|
|
|
2x 1 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
13. |
lim |
|
|
|
1 |
|
x 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 8 |
3 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
14. |
lim |
|
|
|
6x 1 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
15. |
lim |
|
3x |
1 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
16. lim
x 2
17. lim
x 1
18. lim
x 2
19. lim
x 1
20. lim
x 4
21. lim
x 4
22. lim
x 1
23. lim
x 3
24. lim
x 8
25. lim
x 7
26. lim
x 12
27. lim
x 12
28. lim
x 13
29. lim
x 13
30. lim
x 32
x2 |
x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 |
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x2 |
3x 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2 x 6 |
|
|
. |
|
|
|
||||||||
2x2 |
x 21 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3x |
2 |
x 2 |
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
5x 7 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
2x2 9x 4 |
. |
||||||||||||||
|
|
x2 x 20 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x2 |
x 12 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 |
|
2x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3x2 |
x 2 |
|
. |
|
|
|
|||||||||
3x2 4x 1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 x 12 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x2 |
5x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x2 |
|
9x 8 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
x2 |
6x 16 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2x |
2 15x 7 |
|
|
. |
||||||||||||
3x2 20x |
7 |
|
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
2x |
2 9x 5 |
. |
|
|
|
|||||||||||
2x2 |
7x 3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2x |
2 11x 5 |
|
. |
|||||||||||
|
|
2x2 5x |
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
3x |
2 4x 1 |
|
. |
|
|
|
||||||||||
3x2 5x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3x |
2 5x 2 |
|
|
. |
||||||||||
|
3x2 10x |
|
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
2x2 5x 3 .
2x2 3x 9
Задача 3. Вычислить предел.
1. |
lim |
1 |
cos 3x |
. |
||||
|
|
|
|
|||||
|
x 0 |
|
|
2x sin 5x |
||||
2. |
lim |
1 |
cos 3x |
|||||
|
|
|
2x 2 |
|
||||
|
x 0 |
|
|
|
||||
3. |
lim |
|
|
1 cos 2x |
. |
|||
|
||||||||
|
x 0 |
|
|
|
x2 |
|||
4. |
lim |
1 |
cos10x |
. |
||||
|
|
|
|
|||||
|
x 0 |
|
|
|
x2 |
|||
5. |
lim |
|
1 cos 2x |
. |
||||
|
||||||||
|
x 0 |
|
|
|
x sin x |
7
6. lim
x 0
7. lim
x 0
8. lim
x 0
9. lim
x 0
10. lim
x 0
11. lim
x 0
12. lim
x 0
13. lim
x 0
14. lim
x 0
15. lim
x 0
16. lim
x 0
17. lim
x 0
18. lim
x 0
19. lim
x 0
20. lim
x 0
21. lim
x 0
22. lim
x 0
23. lim
x 0
24. lim
x 0
25. lim
x 0
26. lim
x 0
27. lim
x 0
1 cos 3x .
2x sin 5x
1 cos 2x .
1 cos 4x
1 cos 4x .
1 cos 8x
1 cos 3x . x 2
x sin 3x .
cos x cos3 x 2x sin 5x .
cos x cos3 x
cos x cos5 x .
x2 sin 5x .
4x 2
6x3 . sin 3 x sin x3
sin 3 x
9х . tg 3x
tg 7х .
11x
5x . tg 3x
tg 2 2x . tg 2 3x
tg |
2 x |
||||
|
2 |
|
. |
||
|
|||||
|
|
||||
2x |
5x . tg 5x
sin 2 3x . xtg 2x
1 cos 4x . xtgx
sin 5x . tg 3x
xtg 3x . cos x cos3 x 3x2 5x .
sin 3x xctg 5x .
8
28. |
lim 3xctg 8x . |
|
x 0 |
29. |
lim xtg 3xctg 2 2x . |
|
x 0 |
30. |
lim x sin 2xctg 2x . |
|
x 0 |
|
Задача 4. Вычислить предел. |
|
|
2x 3 |
x 2 |
|
1. |
lim |
|
. |
|
2x 1 |
||||
|
x |
|
|
x2 2 |
|
2 x 3 |
||||||||||||||
2. |
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5x3 2 |
|
|
6 x3 |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
5x |
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7x10 |
3 |
2 x1 0 |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
7x |
|
|
|
||||||||||||
|
x 5 |
3x 5 |
|
||||||||||||||
5. |
lim |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 3 |
2 x 1 |
|
||||||||||||||
6. |
lim |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
x 3 |
|
|||||||||||
7. |
lim |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4x 1 |
|
x 1 |
|||||||||||||
8. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
4x 2 |
|
||||||||||||||
|
x 1 |
x 3 |
|
||||||||||||||
9. |
lim |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3x 4 |
|
2 x 7 |
|||||||||||||
10. |
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2x 3 |
x 2 |
||||||||||||||
11. |
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
2x 1 |
|
|
|
9
|
|
2x 3 |
x 2 |
|
12. |
lim |
|
. |
|
2x 4 |
||||
|
x |
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
x2 2 |
|||||||||
13. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
2x 3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
x2 1 |
||||||||||||||
14. |
lim |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
3x 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
x 3 |
|
x4 |
||||||||||||||
15. |
lim |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
3x 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
3x 2 x4 2 |
||||||||||||||||
16. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
6x 5 |
|||||||||||||||||
|
|
|
3x 1 |
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
x |
||||||||||||||||
17. |
lim |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 0 |
|
x 1 |
||||||||||||||||
|
lim 2x 1 |
|
|
2 x |
|||||||||||||||
18. |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
x 1 |
|||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 7 6x |
|
|
|
|
4 x |
|||||||||||||
19. |
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
x 1 |
|||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 7 6x |
|
|
|
|
x |
|||||||||||||
20. |
|
|
|
. |
|||||||||||||||
3x 3 |
|||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 7 6x |
|
|
x |
|||||||||||||||
21. |
|
. |
|||||||||||||||||
1 x |
|||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x
22.lim1 3 2x 2 .x
|
|
3 2x |
2 x |
|
|
|
|
|||||||||||
23. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2x |
3x |
|
|
|
|
|||||||||||
24. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
1 x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
2 x |
|
|
|
|
|||||||||||
25. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
1 x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 5 |
|
2 x |
|
|
|
|
||||||||||
26. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
x2 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5x2 4x 3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||||
27. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
|
5x |
2 |
|
x 3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
28. |
lim |
ln 2 ln(2 x) |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
10x |
|
|
|
|
|||||||||
29. |
lim |
|
|
ln(5 x |
2 ) ln 5 |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
5x2 |
|
|
|
||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
10