подраздел 2.3. 64-70

67

2.3. Экономико-математическое моделирование

основных финансово - экономических показателей ЗАО

Важным направлением в исследовании закономерностей социально-экономических процессов является изучение общей тенденции развития. Прогнозирование - это метод, в котором используются накопленный в прошлом опыт и текущие допущения на счет будущего в целях его определе­ния. Если прогнозирование выполнено качественно, то результатом станет кар­тина будущего, которую можно использовать как результат планирования.

Существует много методов прогнозирования, среди которых можно вы­делить метод анализа временных рядов. Он основан на допущении, согласно которому случившееся в прошлом дает достаточно хорошее приближение в оценке будущего.

Изменение уровней рядов динамики обусловливаются влиянием на изу­чаемое явление ряда факторов, которые неоднородны по силе, направлению и времени их действия. Постоянно действующие факторы оказывают на изучае­мые явления определяющее влияние и формируют в рядах динамики основную тенденцию развития (тренд). Воздействие других факторов проявляется перио­дически.

Различные результаты действия постоянных, периодических и разовых причин и факторов на уровни развития социально-экономических явлений во времени обусловливают необходимость изучения основных компонентов ряда динамики: тренда, периодических колебаний, случайных отклонений.

Особенностью изучения развития социально-экономических процессов во времени является то, что в одних рядах динамики основная тенденция роста проявляется при визуальном обзоре исходной информации, в других рядах ди­намики общая тенденция развития непосредственно не проявляется. Она может быть выражена расчетным путем в виде некоторого теоретического уровня.

При изучении в рядах динамики основной тенденции развития (тренда) решаются две взаимосвязанные задачи:

- выявление в изучаемом явлении наличия тренда с описанием его качест­венных особенностей;

- измерение выявленного тренда, то есть получение обобщающей количе­ственной оценки основной тенденции развития.

Подбор аппроксимирующей функции по результатам наблюдения.

Наносим наблюдаемые значения на график. По виду графика подбираем вид аппроксимирующей функции. Для нашего примера в большей степени подходит линейная функция. Итак, принимаем гипотезу о том, что наблюдаемые значения описываются линейной моделью.

у = а + β*Х , где а и β являются параметрами данной модели.

Определение параметров модели.

Параметры модели определяются методом наименьших квадратов

Суть метода: min ∑е²i = min ∑ (уi - у);

dS / dα = -2∑y+2nα+2β∑x =0

dS / dβ = -2∑ух+2α∑х+2β∑х² =0

Система нормальных уравнений:

nα+ β∑x = ∑y

α∑x + β∑х² = ∑xy

α + β*xср = yср

α*xср + β (х²)ср = (xy)ср

С помощью системы уравнений находим коэффициенты регрессии

(параметры уравнения):

β = (xy)ср - yсрxср β = 40408

(х²)ср -(xср)²

α = yср - β*xср α =118751

Определение коэффициента корреляции.

С помощью коэффициента корреляции (ryx) производится оценка тесноты связи между у и х.

Коэффициент корреляции больше 0,7, то связь между х и у сильная. В нашем случае ryx = 0,869.

rxy = ((xy)ср -xср yср) / δx δy

δx = (xi -xср)² / (n-1); δx =2,449

δy = (yi - yср)² / (n -1); δy =99699

где n - число наблюдений в выборке, δx δy - среднее квадратическое отклонение.

Коэффициент Снедекера F.

Коэффициент Снедекера F оценивает существенность (значимость) построенной модели.

F фактич = rxy ² (n-2) / (1- rxy²)

F фактич = 7,233;. F теоритич = 5,52;

F фактич > F теоретич , то модель существенна.

Теоретические значения критерия Снедекера можно взять в таблице.

Таблица Фишера

M	F теоритич
5	6,61
6	5,99
7	5,52
8	5,32
9	5,12
10	4,96

m - число степеней свободы

m = n-1 (количество наблюдений в выборке минус число уравнений связи).

Коэффициент детерминации.

R² = ∑(y^ - yср)² / ∑(yi -yср)²

∑(y^ - yср)² - общая сумма квадратов отклонений;

∑ (yi -yср)² - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией (объясненная или факторная).

Коэффициент детерминации > 0,8, то модель описывает наиболее существенные стороны рассматриваемой модели или процесса. В нашем примере R² = 0,986. Это значит, что 98 % результирующего признака определяется параметрами независимого аргумента.

Случайные ошибки и оценка значимости по t-критерию Стьюдента

Случайные ошибки:

mβ = ( ∑(yi - y^)² / ((n-2) ∑(x - xср)²))½ mβ = 1991

тα = ( ∑(yi - y^)² ∑x² / (n(n-2) ∑(x - xср)²))½ тα = 10054

mr = ((1- ryx²) / (n-2)) ½ mr = 0,202

Оценка значимости коэффициентов:

tβ = β / mβ

tα = α / тα

tr = r / mr

Полученные коэффициенты сравниваются с данными из таблицы Стьюдента:

Таблица Стьюдента.

m	t
5	2.57
6	2.45
7	2.36
8	2.31 /
9	2.26
10	2.23

В нашем примере tβ =20,295; tα =11,811; tr =4,296; tтабл = 2,31. значения этих коэффициентов больше табличного, то коэффициенты регрессии α, β, и коэффициент корреляции (ryx) существенны.

Доверительные интервалы для α, β

Сначала вычисляем предельные ошибки для α и β:

Δα = tтабл* mα Δα =23728 Δβ = tтабл* mβ Δβ =4698

Доверительный интервал для определенных параметров:

Lα min = α - Δα Lα min = 95023

Lα mах = α + Δα Lα mах = 142479

Lβ min = β - Δβ Lβ min = 35709

Lβ mах = β + Δβ Lβ mах = 45107

Целесообразно иметь доверительные интервалы не более 10% от абсолютных значений определяемых параметров. Полученные доверительные интервалы не удовлетворяют этому условию.

Доверительные интервалы прогноза.

Средняя стандартная ошибка прогноза:

my = δост (1+1/n +( x - xср)² / ∑(x - xср)²)½ myр = 18836

δост = (∑(yi - y^)² / (n-1)) ½ δост = 12903

yp = 563247

Доверительный интервал прогноза:

∆yp = tтабл myp ∆yp = 44453

Ly min = yp - ∆yp Ly min = 518794

Ly max = yp + ∆yp Ly max = 607700

Таблица 12

Линейная зависимость			^y=^a+^bx
T	xi	yi	xiyi	xi2	yi2	xi-xср	yi-yср	(xi-xср)2
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	178256	178256	1	31775205101	-3,5	-122334	12,250
2	2	194367	388734	4	37778592498	-2,5	-106223	6,250
3	3	225769	677308	9	50971776822	-1,5	-74821	2,250
4	4	267925	1071702	16	71784058011	-0,5	-32665	0,250
5	5	331646	1658228	25	1,09989E+11	0,5	31055	0,250
6	6	353206	2119237	36	1,24755E+11	1,5	52616	2,250
7	7	403472	2824306	49	1,6279E+11	2,5	102882	6,250
8	8	450081	3600650	64	2,02573E+11	3,5	149491	12,250
Сумма	36	2404723	12518421	204	7,92416E+11	0	0	42,000
xср=	4,5		Коэффициенты регрессии					x
yср=	300590		^a=	118751				1
tтаб=	2,36		^b=	40409				2
(x*y)ср=	1564803		Среднеквадратическое отклонение					3
			sx=	2,449	sy=	99699		4
			Коэффициент корреляции					5
			rxy=	0,869				6
			Критерий Снедекера					7
			Fф=	18,453	Fт=	5,52		8
			Коэффициент детерминации					36
			R2=	0,986
			Случайные ошибки a, b, rxy
			ma=	10054	mb=	1991,028	mr=	0,202
			Оценка значимости коэффициентов a, b, rx по t-критерию Стьюдента
			ta=	11,811	tb=	20,295	tr=	4,296
			Предельные ошибки a, b
			Da=	23728	Db=	4699	∆rxy=	0,477
			Доверительные интрервалы для определенных параметров
			Lamin=	95023	Lamax=	142479	Lbmin=	35710
			Прогноз
			xp=	11	yp=	563247
			Средняя стандартная ошибка прогноза
			sост=	12903	myp=	18836
			Доверительный интервал прогноза
			Dyp=	44453	Lymin=	518794	Lymax=	607700

Продолжение таблицы 12

(yi-yср)2	(xi-xср)(yi-yср)	^y	yi-^y	(yi-^y)2	(^y-yср)2	Lymin	Lymax
10	11	12	13	14	15	16	17
14965704017	428170	159160	19096	364663394	20002602170	122915	195405
11283377831	265558	199569	-5201	27054765	10205409271	165200	233938
5598197641	112232	239977	-14208	201867515	3673947337	206918	273036
1066997864	16332	280386	-12461	155265758	408216371	248002	312770
964420897	15528	320795	10851	117739027	408216371	288410	353179
2768419437	78924	361203	-7997	63957186	3673947337	328144	394263
10584683239	257205	401612	1860	3459838	10205409271	367243	435981
22347525819	523218	442021	8060	64968964	20002602170	405776	478266
69579326745	1697167	2404723	0	998976447	68580350299	2132608	2676838
xi-xi-1	ei	ei-ei-1	(ei-ei-1)2	ei2		myi	Dyi
-	19096	-	-	364663394		15358	36245
1	-5201	-24298	590372456	27054765		14563	34369
1	-14208	-9007	81118651	201867515		14008	33059
1	-12461	1747	3053549	155265758		13722	32384
1	10851	23311	543418093	117739027		13722	32384
1	-7997	-18848	355250319	63957186		14008	33059
1	1860	9857	97168093	3459838		14563	34369
1	8060	6200	38443332	64968964		15358	36245
7	0	-11036	1708824493	998976447		115303	272115
		x	y	y^	Lymin	Lymax
		1	178256	159160	122915	195405
		2	194367	199569	165200	233938
tc=	2,36	3	225769	239977	206918	273036
		4	267925	280386	248002	312770
		5	331646	320795	288410	353179
		6	353206	361203	328144	394263
Lbmax=	45108	7	403472	401612	367243	435981
		8	450081	442021	405776	478266
	Средняя ошибка аппроксимации
	А=	124872056
	Критерий автокорреляции остатков
	d=	1,7106