2 курс 2 семестр

ПРАЕКТЫЎНАЯ ГЕАМЕТРЫЯ І МЕТАДЫ ПАБУДОВЫ ВІДАРЫСАЎ ФІГУР (II курс, 2 семестр)

Раздзел 1 ПРАЕКТЫЎНАЯ ПРАСТОРА.

АСНОЎНЫЯ ФАКТЫ ПРАЕКТЫЎНАЙ ГЕАМЕТРЫІ

§1. Паняцце праектыўнай прасторы. Аксіёмы праектыўнай плоскасці і праектыўнай прасторы.

Абазначым праз V вектарную прастору над полем R сапраўдных лікаў.

Азначэнне. Непустое мноства Е называецца праектыўнай прасторай над полем R сапраўдных лікаў, калі зададзена адвображанне

P: (V\ {ō}) →E,

якое задавальняе дзвюм аксіёмам праектыўнай прасторы.

I.р (V\ {ō})= E. Р з’яўляецца адвображаннем мноства ўсіх ненулявых вектараў з V

на мноства Е.

II.x,y V \ 0 p x p y y a, , 0

Гэта значыць, пры адвображанні р вектары маюць адзін і той жа вобраз толькі тады, калі яны калінеарныя.

Элементы А, В, С...Z Є Е праектыўнай прасторы называюцца пунктамі. Калі пункт Х

Можна даказаць, што адвольная праектыўная прастора Pn ізаморфная праектыўнай прасторы P(Vn+1). Гэтыя прасторы маюць аднолькавую структуру і адрозніваюцца між сабой толькі прыродай сваіх элементаў, а гэта для матэматыкі істотнага значэння не мае. Таму дастаткова вывучыць адну з ізаморфных прастораў, і гэтым самым будуць вывучаны ўсе праектыўныя прасторы Pn.

§2 Мадэлі праектыўнай прамой.

Адной з мадэлей праектыўнай прамой з’яўляецца мноства класаў калінеарных паміж сабой ненулявых вектароў з V2. Возьмем пучок прамых на плосасці.

Кожнаму класу калінеарных вектараў адпавядае прамая пучка і наадварот. Існуе ўзаемна-адназначная адпаведнасць паміж мноствам класаў паралельных вектараў і пучком прамых. З гэтага вынікае, што пучок прамых з’яўляецца мадэллю праектыўнай прамой.

пашыранай прамой. На ёй адвображанне φ з’яўляецца ўзаемнаадназначным.

Такім чынам, пашыраная прамая – гэта адна з мадэлей праектыўнай прамой. На пашыранай прамой ўсе пункты, як уласны яе пункты, так і неўласныя пункт А∞ аднолькава раўнапраўныя.

§3 Мадэлі праектыўнай плоскасці.

Мноства p(V3) класаў калінеарных паміж сабой ненулявых ветараў з V3 утварае мадэль праектыўнай плоскасці.

Возьмем звязку прамых у прасторы з цэнтрам О. Кожнай прамой звязкі адпавядае клас паралельных вектараў і гэта адпаведнасць узаемнаадназначная. Таму звязка прамых – гэта адна з мадэлей праектыўнай плоскасці. У гэтай мадэлі пунктамі праектыўнай плоскасці з’яўляюцца прамыя звязкі, а прамымі праектыўнай плоскасці – плоскасці звязкі, г.зн. плоскасці, што праходзяць праз пункт О.

Возьмем сферу, цэнтрам якой будзе цэнтр звязкі О. Кожнай прамой звязкі адпавядае толькі адна пара дыяметральна процілеглых пунктаў сферы і гэта адпаведнасць узаемнаадназначная. Таму сфера – таксама з’яўляецца мадэллю праектыўнай плоскасці. У гэтай мадэлі

прамымі праектыўнай плоскасці з’яўляюцца акружнасці вялікіх кругоў сферы.

Возьмем цяпер звязку Z(0) прамых з цэнтрам О і плокасць α, якая не праходзіць праз пункт О. Разгледзім адвображанне φ: α →Z(0) па закону φ(М)=ОМ, для любога Мєа.

Яно называецца перспектыўным. Заўважым, прамыя паралельныя плоскасці α, не з’яўляюцца вобразамі ніякіх пунктаў плоскасці α, назавём іх асаблівымі. Яны ўтвараюць пучок прамых, які належыць плоскасці α0║α. Дапоўнім плоскасць α бясконца аддаленымі пунктамі, так каб адвображанне φ стала ўзаемнаадназначным. Для гэтага дастаткова кожную прамую а плоскасці α дапоўніць яе неўласным

пунктам А∞. Усе прамыя плоскасці α, паралельныя прамой а, пашыраюцца адным гэтым пунктам А∞. Абазначым мноства неўласных пунктаў усіх прамых плоскасці α праз а∞. Заўважым, што вобраза прамой а плоскасці α з’яўляецца плоскасць звязкі Z(0), якая праходзіць праз прамую а. Плоскасць α0║α з’яўляецца вобразам мноства а∞ неўласных пунктаў усіх прамых плоскасці α. Таму натуральна, мноства а∞ называюць неўласнай прамой плоскасці α.

Азначэнне: Плоскасць α, дапоўненая неўласнай яе прамой а∞ называецца пашыранай плоскасцю.

На пашыранай плоскасці перспектыўнае адвображанне ўзаемнаадназначнае. Таму пашыраная плоскасць – гэта адна з мадэлей праектыўнай плоскасці. Усе яе пункты, як уласныя, так і неўласныя (бясконца аддаленыя), у гэтай мадэлі аднолькава раўнапраўныя, як усе прамыя ў звязцы Z(0).

сіметрычнасці і транзітыўнасці і таму ёсць дачыненне эквівалентнасці. Значыць мноства ўсіх базісаў разбіваецца на класы гаматэтычных паміж сабой базісаў, прычым гэтыя класы не перасякаюцца. Кожны з гэтых класаў называецца праектыўным рэперам або інакш праектыўнай сістэмай каардынат. Такім чынам, праектыўны рэпер – гэта мноства ўсіх

гаматэтычных паміж сабой базісаў вектарнай прасторы V3. кожны базіс (аi ) належыць

толькі аднаму праектыўнаму рэперу R і таму вызначае і задае яго. Запісваюць так R=R(аi

). Для любога хє(V3\{ō}) існуе яго раскладанне па вектарнаму базісу (аi ).

x x1 a1 x2 a2 x3 a3 , або скарочана x xi ai , xi R (i=1,2,3) (2)

x 0 . Ён выклікае некаторы пункт Х праектыўнай плоскасці.

Азначэнне: Сістэма (х1;х2;х3) трох лікаў зададзеных у такім парадку называецца

праектыўнымі каардынатамі пункта Х=p( x ) адносна рэпера R=R(āi).

Запісваюць, як звычайна, Х(х1;х2;х3) або скарочана Х(хi) (i=1,2,3). Гэты ж вектар x

мае раскладанне ў гаматэтычным базісе (bi ). x yi bi (3). У рэперы R X y i

x yi ai Адсюль і таксама з (2) маем xi yi, 0

Такім чынам, праектыўныя каардынаты пункта праектыўнай плоскасці вызначаюцца не адназначна, а з дакладнасцю да агульнага множніка 0, таму ў праектыўнай геаметрыі запісваюць яшчэ інакш так X x1 : x2 : x3

Дакажам, што праектыўны рэпер R можа быць зададзены пунктамі праектыўнай плоскасці. Базіс ai вектарнай прасторы V3 выклікае ўпарадкаваную тройку пунктаў

Ai p ai праектыўнай плоскасці. Але гэта тройка адназначна не вызначае праектыўны рэпер R, таму што пункты Ai могуць быць зададзены і іншымі вектарамі bi ai , а базісы

bi і ai могуць і не быць гаматэтычнымі.

Разгледзім суму базісных вектараў

e a1 a2 a3 .

Вектар e індуцыруе нейкі пункт E p e . Ён называецца адзінкавым пунктам. Заўважым, што сумы базісных вектараў кожнага з гаматэтычных між сабою базісаў

калінеарныя і таму выклікаюць адзін і той жа адзінкавы пункт Е. Мы атрымалі ўпарадкаваную чацвёрку пунктаў (A1, A2, A3, E), ніякія тры з якіх не ляжаць на адной прамой. Дакажам адваротнае.

Тэарэма. Калі (A1, A2, A3, E) – упарадкаваная чацверка пунктаў, з якіх ніякія тры не ляжаць на адной прамой, то існуе адзіны праектыўны рэпер R=R(āi) такі, што Аi=p(āi),

Е=р(ā1+ ā2+ ā3).

Доказ:

Няхай дадзеныя пункты Аі (і=1,2,3), Е выкліканы адпаведна вектарамі āi і ē. Вектары āi утвараюць вектарны базіс.

шукаемы рэпер. Адзінасць рэпера можна даказаць метадам ад процілеглага.

Такім чынам, на праектыўнай плоскасці праектыўны рэпер R вызначаецца ўпарадкаванай чацверкай пунктаў (A1, A2, A3, E) ніякія тры з якіх не ляжаць на адной прамой. Яны называюцца каардынатнымі пунктамі.

Аналагічна можна атрымаць, што на праектыўнай прамой праектыўны рэпер R вызначаецца ўпарадкаванай тройкай розных пунктаў (A1,A2,E).

Яны называюцца каардынатнымі.

Задача 1. Пабудуйце пункт М(х1:х2) у рэперы R=(A1, A2, E), які зададзены на пашыранай прамой, як мадэлі праектыўнай.

Возьмем пункт O a ' і пучок прамых Р(О)={ОА1,ОА2,ОЕ} перспектыўны прамой а'. Ён таксама з'яўляецца мадэллю праектыўнай прамой.

1) Усе пункты А1, А2, Е – уласныя, кіроўныя вектары ā1, ā2, ē прамых пучка ОА1,ОА2,ОЕ такія, што ē=ā1+ā2 вызначаюць вектарны базіс (ā1,ā2). Ён выклікае дадзены праектыўны рэпер R=(А1,А2,Е). Пабудуем вектар

2) Няхай цяпер, напрыклад пункт А2=А∞ - гэта неўласны пункт пашыранай прамой a′. Калі пункт А2=А∞ - неўласны, то прамая пучка ОА2 будзе асаблівай прамой пучка Р(О), г. зн. а0||а'. Возьмем кіроўныя вектары ā1, ā2, ē прамых ОА1,ОА2,ОЕ прычым так, каб ē= ā1+ā2. Тады вектарны базіс (ā1, ā2) вызначае дадзены праектыўны рэпер R=(А1,А2,Е). Будуем вектар

m =x1ā1+x2ā2,

прамую пучка з гэтым кіроўным вектарам і знаходзім пункт М перасячэння яе з прамой а'.

OM e1 xe2 OM 1: x M 1: x

Але праектыўныя каардынаты аднаго і таго ж пункта вызначаюцца не адназначна, яны прапарцыянальныя .

1x

xx2 x1

Такім чынам, у рэперы (А1,А∞,Е) А∞(0;х2),х2≠0 кожны ўласны пункт прамой, а мае

рэперы (А1;А1Е). Праектыўныя каардынаты адносна рэпера R=(А1,А∞,Е) называюцца аднароднымі.

Задача 2 Пабудаваць пункт М(х1;х2;х3) па яго праектыўных каардынатах на пашыранай

плоскасці у дадзеным рэперы R(A1;A2;A3;E). Аналіз.

праектыўнымі неаднароднымі каардынатамі.

§5 Пераўтварэнне праектыўных каардынат.

На праектыўнай плоскасці зададзены рэперы: першапачатковы ці стары рэпер R=( А1, А2,А3,Е) і новы рэпер

R' A1' , A2' , A3' , E'

Выразім каардынаты (xi) адвольнага пункта М у старым рэперы R праз яго каардынаты (yi) у новым рэперы R' .

Няхай у старым рэперы R А11=(с11;с21;с31)

А12=(с12;с22;с32) А13=(с13;с23;с33)

Е1=(е1;е2;е3)

Каардынаты пунктаў утвараюць матрыцу:

Разгледзім спачатку выпадак, калі еi=ci1+ci2+с3і, (і=1,2,3) і адпаведныя для гэтых пунктаў вектары ўзгоднены, г.зн. стары рэпер R вызначаецца вектарным базісам (аі). Новы рэпер R1 вызначаецца вектарным базісам:

Гэта ёсць формулы пераўтварэння праектыўных каардынат. Пры і=1,2,3 каэфіцыенты Сij утвараюць матрыцу

Яна з’яўляецца транспанаванай для матрыцы

каардынат пунктаў А1j у старым рэперы R. Такім чынам старыя каардынаты (хі) пункта М выражаюцца праз яго новыя каардынаты (уj) з дапамогай транспанаванай матрыцы з матрыцы С.

Калі ж каардынаты пунктаў А1і і Е1, а гэта значыць і іх вектараў-правобразаў неўзгодненыя, то іх неабходна замяніць адпаведна прапарцыянальнымі ім тройкамі і такімі, каб яны сталі ўзгодненымі. Для гэтага ўсе каардынаты пунктаў А11,А12,А13 можна памножыць адпаведна на лікі λ, μ, ν, якія пасля гэтага знаходзяцца з сістэмы еj=λcj1+μcj2+νcj3, (j=1,2,3) трох лінейных неаднародных раўнанняў. Вызнаальнік гэтай не роўны нулю. Сістэма мае адзінае рашэнне, (λ, μ, ν) яны знаходзяцца па формулах Крамэра. Пасля гэтага патрэбна знайсці новыя каардынаты пунктаў А1і і карыстацца формуламі пераўтварэння каардынат.

§6 Раўнанні прамой на праектыўнай плоскасці. Каардынаты прамой.

Няхай два розныя пункты У і Z у рэперы R зададзены сваімі праектыўнымі

адвображанні. Абазначым X(x1;x2;x3) – адвольны пункт прамой УZ. Ён з’яўляецца вобразам вектара x xi ai . Пункты У і Z розныя, значыць вектары y і z не калінеарныя,

авектар x кампланарны з імі, таму x y z .

Угэтай жа лінейнай залежнасці знаходзяцца і адпаведныя каардынаты вектараў, г.зн.

задавальняюць аднароднаму раўнанню I ступені (3)

Дакажам адваротнае, што усялякае аднароднае раўнанне першай ступені ў рэперы R вызначае прамую. Сапраўды, няхай а1 не роўна нулю.

Раўнанню (3) задавальняюць каардынаты двух пунктаў A(-a2;a1;0), B(-a3;0;a1). Складзём раўнанне прамой выгляду (2)

x1x2x3

a2a10 0.

a30a1

a12 x1 a1a2 x2 a1a3 x3 0 a1 x1 a2 x2 a3 x3 0 ai xi 0 (3)

(3)– гэта раўнанне прамой. Яно называецца аднародным раўнаннем прамой. З каэфіцыентаў a1,a2,a3 прынамсі адзін адрозніваецца ад нуля. Яны вызначаюць гэта раўнанне, а таму і прамую.

Азначэнне: Упарадкаваная тройка (a1;a2;a3) каэфіцыентаў аднароднага раўнання прамой называецца каардынатамі прамой. Каардынатамі прамой таксама могуць быць

прапарцыянальныя тройкі лікаў bi ai , 0 Яны вызначаюцца адносна дадзенага

R

Дваіснае сцвярджэнне будзе:

А* . Існуе адзіны пункт, які належыць дзвюм розным прамым а і b.

§8 Асноўныя ўласцівасці праектыўнай плоскасці і трохмернай праектыўнай прасторы.

1.Праз два розныя пункты А і В праектыўнай плоскасці праходзіць адзіная прамая.

Доказ:

Няхай пункты А і В з’яўляюцца вобразамі вектараў а і b

адпаведна пры праектыўным адвображанні. Тады вектары aі b некалінеарныя. Існуе адзіная двухмерная вектарная прастора з

базісам a,b , якая вызначае прамую.

Сапраўды, вектар c a b выклікае трэці пункт С

3.Усялякія дзве розныя прамыя праектыўнай плоскасці перасякаюцца.

Доказ. Розным прамым адпавядаюць у трохмернай вектарнай прасторы V3 двухмерныя падпрасторы.Перасячэннем іх з’яўляецца аднамерная вектарная прастора. Яна вызначае на праектыўнай плоскасці адзін пункт.

4. На праектыўнай плоскасці існуюць тры пункты, якія не ляжаць на адной прамой. Сапраўды, у V3 існуюць тры некампланарныя вектары (напрыклад, базісныя). Яны

выклікаюць тры розныя пункты, якія не ляжаць на адной прамой.

праектыўная плоскасць!

2.Плоскасць і прамая, якая не належыць ёй, заўсёды маюць адзін агульны пункт.

3.Любыя дзве розныя плоскасці перасякаюцца і іх перасячэннем з’яўляецца прамая(уласная або неўласная).

4. Існуюць 4 пункты, якія не належаць адной плоскасці.

§9. Тэарэма Дэзарга.

Азначэнне: Няхай на праектыўнай плоскасці дадзены тры пункты А,В,С, якія не ляжаць на адной прамой. Фігура, утвораная гэтымі пунктамі і прамымі АВ, ВС, АС называецца