Примеры решения задач

Задача 1.1. Вычислить для атома водорода радиус первой боровской орбиты и период обращения электрона по этой орбите.

Решение. Радиус боровской орбиты r_n и скорость υ_n электрона на ней связаны соотношением (1.1). Чтобы иметь еще одно уравнение, связывающее эти величины, запишем второй закон Ньютона для электрона, который движется под действием кулоновской силы притяжения к ядру по круговой орбите.

Решая систему этих уравнений, получим

(1.7)

Полагаем n=1 (первая орбита)

(м)

Период обращения электрона по n-ой орбите равен

(1.8)

Скорость электрона, движущегося по первой орбите, определим из соотношения (1.7), подставив n=1.

(м/с).

Подставляем полученные соотношения для r₁ и υ₁ в (1.8)

(с).

Ответ: r₁=5,3·10^-11 м, T=1,5·10^-16 с.

Задача 1.2. Определить энергию фотона, соответствующего длинноволновой и коротковолновой границам серии Лаймана.

Решение.

На рисунке представлена система энергетических уровней атома водорода и переходы между уровнями, соответст-вующие серии Лаймана.

Из постулата Бора (1.2) следует, что наименьшей частоте (а, следовательно, и наибольшей длине волны) соответствует переход 1, а наибольшей частоте (наименьшей длине волны) – переход 2.

Используя формулу 1.3 и учитывая, что энергия фотона равна ε=hν, получим

(Дж)=10,2 (эВ)

; ε_max=hcR;

ε_max=6,62·10^-34·3·10⁸·1,097·10⁷=21,78·10^-19 (Дж)=13,6 (эВ).

Энергия фотона, соответствующая коротковолновой границе серии Лаймана в спектре излучения атома водорода (13,6 эВ) равна кванту энергии, поглощенному этим атомом при переходе электрона с первой орбиты на бесконечно удаленную орбиту (переход 3). Следовательно, энергия 13,6 эВ является энергией ионизации атома водорода.

ε_i=13,6 эВ. (1.9)

Зная энергию ионизации атома водорода, можно определить энергию фотона, соответствующего любой линии в спектре излучения или поглощения атома водорода и водородоподобных ионов по формуле

(эВ) (1.10)

Ответ: ε_min=10,2 эВ, ε_max=13,6 эВ.

Задача 1.3. Определить наименьшую скорость, которую должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атома водорода ударами этих электронов в его видимой серии появились две линии.

Решение.

На диаграмме энергетических уровней показаны переходы, соответствующие двум линиям видимой серии.

П

2

оявлению этих линий должен предшествовать процесс возбуждения атома водорода, который в обычных условиях находится на первом энергетическом уровне. Чтобы в спектре появилась вторая линия (переход2), атом водорода должен поглотить энергию (минимальную), равную (Е₄-Е₁) (переход 1 на рисунке). Эту энергию атому водорода передают при неупругом столкновении внешние электроны, обладающие кинетической энергией .

Согласно постулату Бора (1.2)

.

Применяем закон сохранения энергии:

.

Учитывая, что hcR=13,6 эВ=21,76·10^-19 Дж, получим

(м/с).

Ответ: υ=2,11·10⁶ м/с.

Задача 1.4. Первоначально покоящийся атом водорода испускает фотон с частотой 10¹⁵ Гц. Определить изменение полной энергии атома.

Решение.

Испустив фотон, атом приобрел скорость, которую можно определить, применяя к системе «фотон-атом» закон сохранения импульса. Первоначальный импульс системы равен нулю. После испускания фотона (импульс фотона ) атом приобрел импульсmυ.

. m=1,67·10^-27 кг – масса атома водорода. Если энергия атома до испускания фотона Е₀, а после испускания Е, то по закону сохранения энергии

.

Изменение энергии атома ΔЕ=Е₀-Е.

(Дж) = 4,14 эВ.

Ответ: ΔЕ = 4,14 эВ.

Задача 1.5. Свет от водородной лампы падает на дифракционную решетку с периодом 2,05 мкм. Под углом 30° зарегистрирована некоторая линия десятого порядка. Определить, какому переходу электрона в атоме водорода соответствует эта линия.

Решение.

Условием главного максимума при дифракции решетки является соотношение d·sinφ=kλ, из которого следует, что длина волны, излучаемой атомом водорода линии равна

; (мкм)=102,5 нм.

Найденная длина волны свидетельствует о том, что эта линия наблюдается в ультрафиолетовой области спектра. Применим сериальную формулу для этой области спектра , откуда можно определитьn – номер уровня, с которого перешел электрон

Ответ: электрон перешел с третьего уровня на первый.

Задача 1.6. Атом водорода в основном состоянии поглотил фотон с энергией 12,75 эВ. Сколько линий будет содержать спектр атома водорода, и каким сериям принадлежат эти линии? Определить их длины волн.

Решение.

Применим формулу (1.10), считая, что нам известна энергия ионизации атома водорода: ε_i=13,6 эВ. В этой формуле ε – энергия поглощенного фотона

,

откуда Следовательно, электрон перешел с первого уровня на четвертый (см. рис.). Все возможные переходы электрона при возвращении атома водорода в исходное состояние изображены на рисунке: их 6, следовательно, спектр атома содержит 6 линий. Из этих линий 3 принадлежат серии Лаймана (1, 2, 3), 2 – серии Бальмера (4, 5) и 1 – серии Пашена (6).

нм.

нм.

λ₃=97,2 нм. λ₄=656 нм.

λ₅=486 нм. λ₆=1875 нм.

Ответ: (нм),(нм), λ₃=97,2 нм, λ₄=656 нм, λ₅=486 нм, λ₆=1875 нм.

Задача 1.7. Фотон первой линии серии Лаймана иона гелия (Не⁺) поглощается атомом водорода, находящемся в основном состоянии и ионизирует его. Определить кинетическую энергию, которую получил электрон при ионизации.

Решение.

Из закона сохранения энергии следует, что энергия фотона, испускаемого ионом гелия, расходуется на работу ионизации атома водорода и на сообщение кинетической энергии оторвавшемуся от атома Н электрону.

.

Энергия, необходимая для ионизации атома водорода равна hcR=13,6 эВ.

Для определения энергии фотона гелия Не⁺ используем сериальную формулу для водородоподобных ионов (1.4), где Z=2 для гелия, а n=2 для первой линии спектра Лаймана

(hν)_Не=3hcR.

Закон сохранения перепишем в виде

,

откуда эВ.

Ответ: E_k=27,2 эВ.

Задача 1.8. Антикатод рентгеновской трубки покрыт молибденом (Z=42). Определить минимальную разность потенциалов, которую надо приложить к трубке, чтобы в спектре рентгеновского излучения появились линии K-серии молибдена.

Решение.

K-серия возникает при переходе электронов на самый глубокий слой K (n=1) с менее глубоких электронных слоев L (n=2), M (n=3) и т.д. Но, чтобы любой из этих переходов стал возможным, необходимо появление вакантного места в K -слое.

Для этого один из двух электронов K –слоя должен быть вырван из атома (или переведен на внешний, не заполненный электронами слой), т.к. слои L, M и т.д. целиком заполнены электронами.

Минимальную энергию, необходимую для удаления электрона K –слоя из атома, можно оценить, используя закон Мозли (1.5). Действительно, квант энергии характеристических рентгеновских лучей равен

.

Положив n=1 и m =∞ и учитывая, что для K –серии σ=1, получим

hν=hcR(Z-1)².

Очевидно, что такую же энергию должен поглотить атом при обратном процессе – вырывании электрона из K –слоя, что необходимо для появления линий K –серии. Эту энергию атом молибдена получает в результате удара об антикатод электрона, обладающего энергией .

Разность потенциалов U будет минимальной, когда вся энергия электрона поглощается атомом, т.е.

hν=eU; hcR(Z-1)²=eU_min,

откуда ;hcR=13,6 эВ;

(В) ≈ 23 кВ.

Ответ: U_min≈23 кВ.

2. Волновые свойства микрочастиц

Основные формулы:

Формула де-Бройля

, (2.1)

где λ – длина волны, связанная с частицей, имеющей импульс p=mυ.

Связь длины волны де-Бройля с кинетической энергией E_k имеет вид:

а) в классическом приближении (E_k<<m₀c²) p=mυ,

откуда (2.2)

б) в релятивистском случае (E_k~m₀c²)

E_k=mc²-m₀c²=E- m₀c²,

E²=( m₀c²)²+p²c²,

где E и E_k – полная и кинетическая энергии соответственно. Таким образом, релятивистский импульс равен

,

соответственно

(2.3)

Соотношение неопределенностей:

1) для координаты и импульса , (2.4)

где Δp_x – неопределенность проекции импульса частицы на ось x; Δх – неопределенность ее координаты;

2) для энергии и времени (2.5)

где ΔЕ – неопределенность энергии данного квантового состояния, Δτ – время пребывания системы в этом состоянии.