Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

POS_EE_part1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

циональна квадрату модуля полного комплексного сопротивления этой же ветви.

Так для ветви, содержащей активное сопротивление и емкость (рис. 3.9), величины проводимостей

G =

, B =

;

Z12

R12 + XC2

R1 C

= G -(- jB ) =Y ×e− jϕ1

;

Y = G 2

+ B 2

- BC

Рис. 3.9

j1 = arctg

Для ветви, содержащей последовательно соединенные активное сопротивление и индуктивность (рис. 3.10), проводимости запишутся в виде

G = R2				=		R2			,
	2		Z 2	R 2		+ X	L	2	R2	L
			2		2		L		R2	L
B = XL				=		XL			,
	L		Z 2		R 2	+ X		2
			Z 2		R 2	+ X		2
			2		2		L		Рис. 3.10
									Рис. 3.10
Y		2	= G - jB = Y × e− jϕ2 ,
		2	2		L	2			R1	C
Y = G				2 + B		2 ,			R1	C
2			2		L
j					B				R2	L
j			= arctg		L	.
		2		G
					2
									Рис. 3.11

Если эти ветви включены параллельно друг другу (рис. 3.11), то полная комплексная проводимость такой цепи запишется как

Y = Y 1 +Y 2 = ( G1 + G2 ) − j( BL − BC ) = G − j( BL − BC ) =

X L

X C

− j

−

+ X

R 2

+ X

2 + X

+ X

R 2

Мощность в цепях переменного тока определяется независимо от способа соединения элементов.

Алгоритм решения задач (классический вариант):

1)определяется угловая частота сети;

2)вычисляются величины реактивных сопротивлений элементов электрической цепи и определяются:

комплексные сопротивления ветвей,

комплексные проводимости ветвей,

полная комплексная проводимость цепи,

3)ток на входе электрической цепи,

4)токи в ветвях цепи,

5)комплексное значение полной мощности;

6)по полученным данным строится векторная диаграмма напряжения и токов.

3.2.2. Примеры решения задач

Пример 1

U = 220 В, R1 = 10 Ом, R2 = 15 Ом,

C = 200мкФ, L = 0,1 Гн, f = 50 Гц.

Определить

все токи в цепи,

мощности

построить векторную

диаграмму напряжения и токов (рис.

3.12).

Đ2 L

Đ1

Решение 1 (классический вари-

ант):

1. Рассчитывается угловая часто-

та:

Рис. 3.12

w = 2pf = 2p ×50 = 314, c−1.

2. Вычисляются величины XC и XL

X C = 1/(wC ) = 1/(314 × 200 ×10 −6 ) = 15,9 , Ом,

X L = wL = 314 × 0,1 = 31,4, Ом .

3. Полные комплексные сопротивления ветвей:

= R - jX

= 10 - j15,9 = Z × е jϕ1

=18,8е− j58°, Ом;

величины Z1 и ϕ1 могут быть опреде-

ϕ1<0

лены из треугольника сопротивлений

(рис. 3.13) следующим образом :

Рис. 3.13

R 2 + X

2 =

102 +15,92 =18,8,

Ом,

- X

-15,9

= arctg

» -58 ;

= R + jX

= 15 + j31,4 = Z

× е jϕ2 = 34,8е j64O , Ом;

здесь величины Z

и ϕ

могут быть

ϕ2>0

определены

из

треугольника сопро-

тивлений (рис3.14) следующим обра-

зом:

Рис. 3.14

R 2

+ X

2 =

152 + 31,42 = 34,8, Ом,

j2 = arctg

X L

= arctg

31,4

» 64o.

4. Вычисляются активные и реактивные составляющие комплексных проводимостей ветвей G1, G2, BL , BC

G =

= 0,028, См,

Z 2

18,82

G =

= 0,012, См,

34,82

X L

31,4

= 0,026, См,

34,82

X C

15,9

= 0,045, См.

18,82

5. Полная комплексная проводи-		G
мость цепи определяется как
мость цепи определяется как		– ϕ
Y = G − j(B	− B ) = 0,04 − j(0,026− 0,045) =	– ϕ	– (BL – BC)
L	C	Y
= 0,04+ j0,019 =Yе− jϕ = 0,044еj25°, См,
= 0,04+ j0,019 =Yе− jϕ = 0,044еj25°, См,
где
G = G1 + G2 = 0,028 + 0,012 = 0,04, См;		Рис. 3.15

величины Y и ϕ определяются из треугольника проводимостей (рис. 3.15) емкостного характера следующим образом

Y = G2 + (BL - BC )2 = 0,042 + (0,026 - 0,045)2 = 0,044, См, j = arctg (BL - BC ) = arctg (0,026- 0,045) » -25°.

0,04

6.	Общий ток в цепи
	&	&	+ j25°	×	220e	j0°	= 9,68e	j25°	, A .
	I	= YU = 0,044e		×	220e		= 9,68e		, A .
Начальная фаза напряжения, не заданная в условии задачи, при-
нимается для удобства расчетов равной нулю.
7.	Токи в ветвях схемы :

I&1 = U Z1

I&2 = U Z 2

		220e j0°
=				=11,7 j58°, A.
	18,8e		− j58°

= 220e j0° = − j64°

34,8e j64

° 6,32e , A .

8. Значение полной комплексной мощности рассчитывается по формуле

&	= 220e	j0°	×9,68e	− j25°	= 2129,6e	− j25°	, ВА;
S = U I

для представления в алгебраической форме полученного комплексного числа используется формула Эйлера:

S = 2129,6cos(−25°) + j2129,6sin(−25°) ≈1930− j900, ВА,

следовательно,

P = 1930 Вт, Q = ─900 вар.

9.Векторная диаграмма токов

инапряжения (рис. 3.16)

+j	Đ1
	Đ
	ψi1 = 58o
	φ = – 25°
	+1
0	&
	U
	ψi2 = – 64°
Đ2
	Рис. 3.16

Решение 2 (с использованием законов Кирхгофа)

Cоставляются уравнения согласно законам Кирхгофа: одно по первому, так как в схеме два потенциальных узла, и два по второму для двух замкнутых независимых контуров (рис. 3.17) :

I& - I&1 - I&2 = 0;

&	&
( R1 - jX C ) × I1	= E;
&	&
( R2 + jX L ) × I2	= E.

	Đ
.		R2	R1
.
E	I	II
E		II

	Đ2	L	C
	Đ2	L
		Đ1
	Рис. 3.17

В матричном виде

1	-1
0	R - jX	C
	1	C
0	0

-1		I&		0
0			&	&
0		× I1		= E .
R + jX			&	&
2	L	I2		E

Из первого варианта решения подставляются значения XC и XL

1	-1	-1	I&			0
	10 - j15,9	0		&	=
0	10 - j15,9	0	× I1		=	220 .
0	0	15 + j31,4		&		220
			I2

Решение этой системы комплексных уравнений на вычислительной машине, например, на персональном компьютере по программе "Гаусс" (можно использовать и стандартные программы MatLab, Mathcad, но программа “ Гаусс” специально написана для решения систем уравнений и наиболее удобна в данном случае), дает следующие результаты:

I& = 8,77 + j4,09, A, I&1 = 6,20 + j9,92, A, I&2 = 2,77 - j5,68, A.

Мощность определяется, как в первом варианте решения, аналогично строится и векторная диаграмма токов и напряжения.

3.2.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Определить полную комплексную проводимость цепи, если R1 = 20 Ом,

X1 = 15 Ом, R2 = 40 Ом, X2 = 20 Ом, X3 = 10 Ом.

Ответ: (0,052 + j0,114) См.

R 2

Задача 2

Определить комплексное значе-

ние тока в общей части цепи, если U =

15 B, f = 50 Гц, R1 = 56 Ом, X1 = 30 Ом,

R2 = 10 Ом, X2 = 40 Ом.

Ответ: 1,78 е– j16°

А.

Задача 3

Определить индуктивную составляющую общего тока вышеприведенной цепи.

Ответ: 0,49 А.

Задача 4

Определить емкостную составляющую общей проводимости цепи, если U = 20 B, f = 50 Гц,

R=10 Ом, X1=30 Ом, X2=20 Ом, X3=20 Ом.

Ответ: 0,08 См.

R1 X1

Задача 5

Определить активные составляю-		I&1	R1	C1
щие тока I1, общего тока I; построить			C2
векторную диаграмму токов и напря-			C2
векторную диаграмму токов и напря-
жений, если R1 = 10 Ом, С1 = 80 мкФ,			R2	L
R2 = 5 Ом, С2 = 60 мкФ, L =	I&
= 0,05 Гн, u = 51sin(314t) В.	I&		&
= 0,05 Гн, u = 51sin(314t) В.			U

Ответ: I1a=0,21 A, Ia=0,88 A.

3.3. Резонансные явления в цепях синусоидального тока

3.3.1. Краткие теоретические сведения

3.3.1.1. Последовательное соединение приемников

Резонансом напряжений называется явление, возникающее в цепи, содержащей последовательно соединенные реактивные элементы (индуктивные и емкостные), при совпадении тока и напряжения по фазе (ϕ = 0), он имеет место при отсутствии реактивного сопротивле-

ния (X=0). При этом величины напряжений (по модулю) на идеальных реактивных элементах (емкости и индуктивности) равны друг другу, а, стало быть, напряжение на активном сопротивлении равно напряжению питания. Ток в цепи определяется только величиной активного сопротивления. При этом напряжения на реактивных элементах могут в несколько раз превышать напряжение питания. Если это не расчетный режим цепи, то превышение напряжения на реактивных элементах может привести к электрическому пробою и тепловому, необратимому, повреждению элементов. Параметр, показывающий превышение напряжениями на реактивных элементах напряжения питания, называется добротностью резонансного контура:

Q = U L = UC .

3.3.1.2.Параллельное соединение приемников

При параллельном соединении реактивных элементов возникает резонанс токов, и аналогично резонансу напряжения токи реактивных элементов могут намного превысить ток в неразветвленной части схемы. Превышение тока также характеризуется добротностью резонансного контура

Q = I L = IC . I I

Условие возникновения резонанса токов: В = 0.

3.3.2. Примеры решения задач

Пример 1

Определить резонансную частоту ω0 в цепи, содержащей последовательно соединенные катушку индуктивности с R = 10 Ом и L = 0,6 Гн и конденсатор емкостью С = 10 мкФ.

Решение

Из условия резонанса напряжений X = 0 для данной схемы

X = X L − XC = 0,
ω0L -	1		= 0,
	w0 C
ω0 =	1	=	1	= 408,2, c−1 .
	LC		0,6 ×10 ×10−6
Пример 2
В последовательной цепи катушка индуктивности (L = 14,1 мГн,
R = 6,0 Ом) и конденсатор (С = 45 мкФ) питаются от источника сину-
соидального напряжения (U = 12 B), частота которого изменяется от
100 до 500 Гц.
Вычислить резонансные значения частоты, тока, напряжений на
конденсаторе и катушке, добротность резонансного контура. Постро-
ить графики зависимостей модуля полного комплексного сопротив-
ления цепи, ее тока, напряжений на катушке и конденсаторе от часто-
ты источника в диапазоне 0,5f0 − 2 f0, где f0 –						резонансная частота.
Резонансный контур при переменной частоте представлен на
(рис. 3.18).
					&
				Uк
			I&	R		L
				&		&	C
			&	U R		U L	C
&			&
&			U			&
Е						&
f = var						UC
f = var
				Рис. 3.18
Решение
Резонанс возникает на частоте f0,					для которой		2pf0L =	1	,
Резонанс возникает на частоте f0,					для которой		2pf0L =	2pf0C	,
								2pf0C
откуда резонансная частота