Решение систем линейных уравнений
.pdfФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра информатики
ПОСТРОЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ
НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методические указания к выполнению курсовых работ по дисциплине «Информатика»
Уфа 2010
Составители: А.Т. Бикмеев, М.П. Карчевская, Е. А. Кузьмина, О.Л. Рамбургер
УДК 004.4 (07)
ББК 32.973-018.2(я7)
Построение компьютерных моделей инженерных задач на основе методов решения систем линейных уравнений: Методические указания к выполнению курсовых по дисциплине «Информатика» / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т; Сост.: А.Т. Бикмеев, М.П. Карчевская, Е.А. Кузьмина, О.Л. Рамбургер,– Уфа, 2010. – 73с.
Излагаются краткие теоретические сведения по методам решения систем линейных уравнений. Описываются алгоритмы изложенных методов, приведены подробные блок-схемы каждого из методов, с помощью которых создается компьютерная модель задачи с использованием любого языка программирования. Рассмотрены разнообразные примеры составления математических моделей инженерных задач. Приведены типовые задания, а также требования к выполнению и оформлению курсовых работ.
Предназначены для выполнения курсовых работ студентами первого и второго курсов технических специальностей и направлений подготовки, в том числе, специальности 230301 - «Моделирование и исследование операций в организационно-технических системах», направления 210400 – «Телекоммуникации», специальностей 210404
– «Многоканальные телекоммуникационные системы», 210405 – «Радиосвязь, радиовещание и телевидение», а также для студентов технических вузов, изучающих дисциплину "Информатика" в рамках базового курса. Могут быть полезны при изучении ряда специальных дисциплин, а также при выполнении выпускных квалификационных работ.
Библиогр.: 4 назв.
Рецензенты: канд. техн. наук, доц. Каримов Р.Р. д-р .т. наук, проф. Султанов А.Х.
© Уфимский государственный авиационный технический университет, 2010
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ................................................................................................ |
4 |
1. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ................... |
8 |
1.1. ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С АНАЛИЗОМ РАБОТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ |
|
ЦЕПЕЙ ....................................................................................................... |
8 |
1.2. ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С АНАЛИЗОМ ПРОЦЕССА |
|
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ ................................. |
23 |
2.АЛГОРИТМЫ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ................................................................ |
38 |
2.1. МЕТОД ГАУССА............................................................................. |
38 |
2.2. МЕТОД ХАЛЕЦКОГО...................................................................... |
42 |
2.3. МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ ........................................................ |
46 |
2.4. МЕТОД ПРОГОНКИ......................................................................... |
53 |
2.5. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫБОРУ МЕТОДА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ |
|
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ........................................................................ |
56 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ............................................................. |
57 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................................... |
58 |
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ЛИСТЫ ЗАДАНИЙ........................................... |
59 |
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ........................................ |
62 |
ПРИЛОЖЕНИЕ В. БЛАНК ЗАДАНИЯ ............................................ |
64 |
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ...................................... |
66 |
3
ВВЕДЕНИЕ
Целью курсовой работы по дисциплине «Информатика» является закрепление и углубление студентом теоретических и практических навыков работы на компьютере и умения решать инженерные задачи в изучаемой среде программирования.
Курсовая работа является одним из видов самостоятельной работы студента.
В рамках данной темы курсовой работы студент должен изучить численные методы решения систем линейных уравнений, реализовать один из методов на языке программирования, сравнить результаты работы приложения с решением, полученным в математическом пакете.
Далее необходимо выполнить графическую интерпретацию решения системы из двух линейных уравнений средствами среды программирования.
ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Порядок получения задания, выполнения и сдачи курсовой рабо-
ты:
1.Студент должен получить задание на курсовую работу у препода- вателя-консультанта в строго установленные сроки. Студент, не получивший задания в установленные сроки, допускается к выполнению курсовой работы только с разрешения деканата.
2.Выполнение курсовой работы предполагает регулярные консультации студента с преподавателем. Ритмичность выполнения курсовой работы учитывается при выставлении оценки за курсовую работу.
3.Защита (сдача) курсовой работы производится также в строго установленные сроки комиссии в составе из двух преподавателей, один из которых является консультантом курсовой работы.
4
Отчет по результатам выполнения курсовой работы включает в себя:
-Приложение, разработанное в среде программирования, решающее поставленную задачу в зависимости от темы и варианта задания. Разработанное приложение должно включать не менее четырех экранных форм, меню пользователя, а также файлы с данными (при необходимости). Обязательным является пункт меню «Титульный лист», содержащий тему курсовой работы и сведения об авторе. Основные элементы приложения (интерфейс) необходимо согласовать с консультантом на начальных этапах курсового проектирования.
-Презентацию курсовой работы, созданную в PowerPoint. Презентация должна состоять из следующего набора слайдов:
1-ый слайд – титульный лист;
2-ой слайд – постановка задачи;
3-й слайд – математический метод решения;
слайды, описывающие каждую форму (внешний вид и назначение);
слайды, содержащие инструкцию для пользователя (как работать с приложением);
предпоследний – заключение по проделанной работе;
последний – список литературы (оформленный по ГОСТ Р 7.0.5-2008).
При защите курсовой работы студент должен иметь:
1.лист задания (см. приложение А);
2.титульный лист (см. приложение Б);
3.стандартный бланк задания (см. приложение В);
4.электронный носитель (CD), содержащий:
файлы разработанного проекта (включая модули с исходным текстом и экранные формы), необходимые файлы с данными и тестовыми примерами (в том числе файл для проверки решения в математическом пакете), исполняемый файл проекта;
5
файлы презентации.
Примерный список вариантов курсовой работы приведен в приложении Г.
ЭТАПЫ СОЗДАНИЯ ПРИЛОЖЕНИЯ
Данная курсовая работа предполагает создание полноценного приложения под ОС Windows в заданной среде программирования. Создание приложения разбивается на несколько этапов:
1.Постановка задачи. Так как словесное описание работы уже сформулировано преподавателем, то на этом этапе студент должен осмыслить формулировку задачи, выяснить, что является исходными данными для ее решения, и определить, какие результаты и в каком виде должны быть получены. В задачах вычислительного характера исходные данные чаще представляются в виде чисел, а искомые результаты – в виде чисел, таблиц, графиков и рисунков. На этапе постановки задачи определяют область допустимых значений исходных данных, а также тип исходных данных и результатов (целый, вещественный, логический, символьный и т.д.).
2.Построение математической модели. На этом этапе задача фор-
мулируется на языке математики. Для этого привлекаются конкретные знания в данной предметной области (в рамках данной работы – физические законы).
3.Выбор численного метода решения поставленной задачи на компьютере. В рамках данной курсовой работы студенту предлагаются конкретные численные методы.
4.Разработка пользовательского интерфейса. Интерфейс – это внешняя оболочка приложения. Интерфейс должен обеспечить максимальное удобство и эффективность работы с информацией.
На этом этапе создаются экранные формы (окна приложения) со всеми необходимыми объектами и их свойствами. При разработке интерфейса необходимо учитывать то, что интерфейс должен быть интуитивно понятен пользователю, окна не должны быть перегружены. Компоненты на форме желательно группировать по
6
смыслу. Необходимо учесть также и то, что в процессе разработки приложения интерфейс может измениться.
5.Составление алгоритма. На этом этапе учитывается, какие события будут происходить в процессе работы приложения, составляются алгоритмы процедур для обработки этих событий. Построенный алгоритм записывается в виде блок-схем.
6.Собственно программирование – написание программных кодов на языке программирования.
7.Тестирование и отладка. На этом этапе вначале устраняют синтаксические ошибки, ошибки времени выполнения программы (например, деление на ноль, несоответствие типов используемых переменных, переполнение порядка и др.) и семантические (логические). Для устранения логических ошибок подбирают простейшую тестовую задачу, желательно с известным ответом, с целью устранения грубых ошибок. Далее проводится анализ результатов решения, и в случае необходимости – корректировка алгоритма и программы. Необходимо также проверить решение задачи на исходных данных, которые могут привести к экстремальным условиям (слишком малые или слишком большие числа, нулевые значения некоторых значений). Проверять нужно также на значениях исходных данных, лежащих за пределами допустимых значений (например, неверные исходные данные могут восприниматься как правильные, и при этом получается правдоподобный результат).
8.Создание исполняемого приложения. С помощью заданной сре-
ды программирования создается файл с расширением .exe, позволяющий запускать созданное приложение на выполнение независимо от самой среды, т.е. непосредственно «из-под» Windows.
7
1.ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Кзадаче решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) сводится большое число физических и технических проблем, возникающих, например:
-при решении задач статической и динамической теории упругости, упругопластичности, акустики и др.;
-при анализе работы электрических цепей;
-при анализе процесса распространения тепла в сплошной среде (газе, жидкости или твёрдом теле) от более нагретых частей к менее нагретым;
-и т.д.
1.1.ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С АНАЛИЗОМ РАБОТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Задачи, связанные с анализом работы электрических цепей, могут формулироваться разными способами, например:
-расчет токов в системе;
-нахождение электродвижущей силы (ЭДС);
-вычисление внутренних сопротивлений источников ЭДС;
-расчет значений сопротивления каждой ветки электрической цепи.
Математическая модель для такого рода задач создается на ос-
нове законов Кирхгофа.
В изолированной замкнутой электрической цепи выполняются следующие законы Кирхгофа:
1.Алгебраическая (с учетом знаков) сумма входящих и выходящих токов для любого узла контура равна нулю, т.е. сколько тока
«втекает» в узел по одним ветвям (эти токи берутся со знаком «+»), столько из него «вытекает» по другим (эти токи берутся со знаком «–»). Математически это можно выразить следующим образом:
N |
|
∑ I k = 0 , |
(1.1) |
k =1
8
где N – общее количество узлов цепи, k – номер узла.
Узлом называется такая точка электрической схемы, в которой сходятся как минимум три тока. Все элементы электрической цепи условно можно разделить на активные и пассивные. Активным называется элемент, содержащий в своей структуре источник электрической энергии. К пассивным относятся элементы, в которых рассеивается (резисторы) или накапливается (катушка индуктивности и конденсаторы) энергия.
2.Алгебраическая сумма падений напряжения на элементах в лю-
бом контуре равна нулю, то есть алгебраическая сумма ЭДС в контуре равна алгебраической сумме падений напряжений на пассивных элементах этого контура.
При суммировании ЭДС падения напряжений берутся со знаком «+», если их направления совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура и со знаком «–» в противном случае.
Считается, что если при выбранном положительном направлении обхода контура первым встречается положительный полюс источника, то ЭДС будет отрицательной, если первым встречается отрицательный, то ЭДС будет положительной. Математически это можно записать следующим образом:
NR |
N E |
|
∑ I k Rk = ∑ Ei , |
(1.2) |
|
k =1 |
i=1 |
|
где N R и N E – число пассивных элементов и ЭДС в контуре
соответственно.
Замечание. Если в схеме присутствуют реальные источники тока, то их, при помощи эквивалентных преобразований, следует заменить на идеальные. В случае с источниками постоянного тока, отличие реальных от идеальных заключается в том, что реальные источники тока обладают внутренним сопротивлением, которое обозначается как ri . Следовательно, математическое представле-
ние второго закона Кирхгофа можно заменить на следующее:
9
NR |
NR |
N E |
|
∑ I k Rk + ∑ I k rk = ∑ Ek . |
(1.3) |
||
k =1 |
k =1 |
k =1 |
|
Эти уравнения применяются только к одному контуру. Между тем, вся электрическая схема может быть разбита на несколько контуров. Для каждого из замкнутых контуров, которые можно мысленно выделить в разветвленной цепи, можно составить приведенные выше уравнения, однако, независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга.
Задача 1. Проанализировать работу электрической цепи из линейных элементов по приведенной многоконтурной схеме (рис. 1.1): найти неизвестные токи i1, i2, i3 по заданным значениям сопротивлений R1, R2, R3 и электродвижущей силе источника тока E.
Исходными данными для решения этой задачи являются: значения сопротивлений и электродвижущая сила источника тока. Результатом являются значения токов.
Все величины представлены в системе измерения СИ. Все величины – вещественного типа.
Рис. 1.1. Многоконтурная схема электрической цепи к задаче 1
10