7Теорема (3) о сочетании элементов симметрии и следствия из них

1. Осевая теорема Эйлера -Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения.

Частные случаи:

1) если есть поворотная ось симметрии порядка n и перпендикулярно этой оси проходит поворотная ось 2-го порядка, то всего имеется n осей 2-го порядка;

2) если под углом aпресекаются две поворотные оси 2-го порядка, то перпендикулярно им проходит поворотная ось с элементарным углом поворота в 2 раза большим угла пересечения (2a).

2.Точка пересечения оси симметрии второго порядка (L2) или четной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии. Обратная теорема: Если есть центр симметрии и через него проходит плоскость симметрии, то перпендикулярно этой плоскости через центр симметрии проходит двойная ось симметрии.

3.Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии, причем, угол поворота вокруг оси вдвое больше угла между плоскостями.Следствия: 1) в присутствии оси симметрии порядка n и плоскости, проходящей вдоль оси, всего имеем n таких плоскостей;

2)Плоскость, проходящая вдоль инверсионной оси симметрии 3-его и 4-го порядков, приводит к появлению оси 2-го порядка, перпендикулярной инверсионной оси и проходящей по биссектрисе угла между плоскостями.

8 Принцип вывода классов симметрии

1) За основу вывода можно взять все возможные в кристаллах поворотные

оси симметрии. В результате получим 5 исходных классов Ln

L1, L2, L3, L4, L6

2) Добавляем вертикальную зеркальную плоскость симметрии, проходящую

вдоль каждой из осей (Рv)

L1→P , L2→L22P , L3→L33P , L4→L44P , L6→L66P

3)

3) Добавляем горизонтальную зеркальную плоскость симметрии,

перпендикулярную оси (Рh)

L1→P , L2→L2PC, L3→Ł6, Ł 4→L4PC, L6→L6PC

4) Добавляем горизонтальную ось симметрии 2-го порядка,

перпендикулярную оси (L2

L1→L2, L2→3L2, L3→L33L2, L4→L44L2, L6→L66L2

5) ) Добавляем операцию инверсии в точке (i), т.е. центр симметрии

L1→С, L2→L2PC, L3→Ł3, L4→L4PC, L6→L6PC

6) Любую комбинацию перечисленных выше элементов симметрии (не забыв

про существование инверсионных осей 4-ого порядка)Ł4→ Ł42L22P , L2→3L23PC, L3→L33L24P,L33L23PC,L4→L44L25PC,L6→L66L27PC

9 Сингонии и категории, их характеристика

Сингониейназывается группа видов симметрии, обладающих одноименной главной осью симметрии и одинаковым общим уровнем симметрии (син – сходный, гониа – угол, дословно: сингония – сходноугольность, греч.). Переход от одной сингонии к другой сопровождается повышением степени симметрии кристаллов.

Всего выделяют 7 сингоний. В порядке последовательного повышения степени симметрии кристаллов они располагаются следующим образом.

1. Триклиннаясингония (клин – угол, наклон, греч.) получила название с учетом той особенности кристаллов, что между всеми гранями углы всегда косые. Кроме С других элементов симметрии нет.

2. Моноклинная(монос – один, греч.) – в одном направлении между гранями кристаллов угол всегда косой. В кристаллах могут присутствоватьL₂,Pи С. Ни один из элементов симметрии не повторяется хотя бы дважды.

3. Ромбическая– получила название по характерному поперечному сечению кристаллов (вспомните углы ромбические 1-го рода).

4. Тригональная– названа по характерному поперечному сечению (треугольник) и многогранным углам (тригональный, дитригональный). Обязательно присутствует однаL₃.

5. Тетрагональная– характерны поперечное сечение в форме квадрата и многогранные углы – тетрагональный и дитетрагональный. Обязательно присутствуетL₄или L_i4.

6. Гексагональная– сечение в форме правильного шестиугольника, многогранные углы – гексагональный и дигексагональный. обязательно присутствие однойL₆илиL_i6.

7. Кубическая– типична кубическая форма кристаллов. Характерно сочетание элементов симметрии 4L₃.

Сингонии объединяются в 3 категории: низшую, среднюю и высшую.

В низшую категориюобъединяютсятриклинная, моноклинная и ромбическая сингонии.В кристаллах отсутствует главная ось симметрии.

В среднюю категориювходяттригональная, тетрагональная и гексагональная сингонии.Характерна одна главная ось симметрии.

К высшей категорииотносится однакубическая сингония. В отличие от предыдущих категорий для нее характерно несколько главных осей симметрии.