Ряд и преобразование Фурье методичка

Ряд Фурье

Ряд Фурье функции x(t) представляется в виде :

где коэффициенты Фурье a₀, a_n и b_n определяются формулами

При расчете коэффициентов ряда Фурье необходимо выбрать начальный момент времени t₀ периода интегрирования. Как правило, значение t₀ выбирают так, чтобы упростить вычисления. Обычно, исходя из этого условия, принимают

t₀=-Т/2 . Формулы приобретают следующий вид:

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Если функция x(t), описывающая сигнал, является четной, то есть

x(t)=x(-t), то коэффициенты a_n=0, n=0,1,2,…, и в разложении остаются только постоянная и косинусоидальные составляющие:

Если функция x(t), описывающая сигнал, является нечетной, то есть

x(t)=-x(t), то коэффициенты a_n=0, n=0,1,2,…, и в разложении остаются только синусоидальные составляющие:

Получила распространение и другая форма записи тригонометрического ряда Фурье:

где амплитуда A_n и фаза n-ой гармонической составляющей связаны с коэффициентами a_n и b_n соотношениям:

или

Пример 1.

Найти разложение в ряд Фурье для функции

заданной в интервале [−π, π].

Решение.

Найдем сначала a₀:

Далее вычислим коэффициенты a_n:

     

Заметим, что

     

Поскольку cos (n − 1)π = (−1)^{n −1}, то для коэффициентов a_n получаем выражение

Видно, что a_n = 0 для нечетных n. Для четных n, когда n = 2k (k = 1,2,3,...), мы имеем

Вычислим теперь коэффициенты b_n. Начнем с b₁:

Остальные коэффициенты b_n при n > 1 равны нулю. Действительно,

     

Таким образом, формула разложения заданной функции в ряд Фурье имеет вид

График функции и варианты разложения для n = 2 и n = 8 показаны на рисунке 1.

Рисунок 1.

Пример 2.

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале формулой

.

Построим график функции (рис. 2).

y

1

-3 -2 -  2 3 x

Рисунок 2

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Применяя формулы (2) и (3), находим коэффициенты Фурье

,

,

.

Разложение в ряд Фурье имеет вид

.

Индивидуальное задание.

Разложить в ряд Фурье функцию, построить график функции.

На отрезке разложить в ряд Фурье функции:

1. 

2. 

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-1;1] ;

21. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-1/2;1/2] ;

22. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-/2;/2] ;

23. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-1/2;1/2] ;

24. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке

[-1;1] в комплексной форме;

25. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-3;3] в комплексной форме;

26. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [1;3] ;

27. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [5;15] ;

28. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [0;1] ;

29. Разложить функцию заданную на отрезке и продолженную на отрезок четным образом в тригонометрический ряд Фурье

Преобразование Фурье

Представим интеграл Фурье

в виде:

                                                                                                     (1)

                                                                                                     (2)

Функция F(), определенная формулой (1), называется косинусом-преобразованием Фурье для f(x).

Формула (2) задает обратное косинус – преобразование Фурье, позволяющее по F(a ) находить f(x).

Аналогично, если f(x) – нечетная функция, то A(a ) = 0, тогда формулы (3) и (4) задают соответственно прямое и обратное синус-преобразование Фурье

                                                                                                        (3)

                                                                                                        (4)

Если интеграл Фурье в комплексной форме представить в виде

                                                                         (5)

то функция S(a ) также называется спектральной и S(a ) = 2p C(a ).

Преобразованием Фурье называется функция определенная формулой (6)

                                                                                                     (6)

а функция f(x) , определенная формулой (7) называется обратным преобразованием Фурье

                                                                                                     (7)

Преобразование Фурье отличается от спектральной функции только множителем

( также называется спектральной функцией).

Если функция f(x) – оригинал с показателем роста , то функция g(x), определенная формулой , где называется затухающим оригиналом. Тогда для функции g(x) существует и преобразование Фурье и преобразование Лапласа и они связаны между собой формулой

(8)

Пример 1.

Для функции найти косинус преобразование Фурье.

Решение

Тогда косинус - преобразование Фурье функции имеет вид

Пример 2

Найти преобразование Фурье для функции

Решение.

Данная функция является затухающим оригиналом, т.к. функция - оригинал с показателем роста и где

Воспользуемся формулой (8), связывающей преобразование Фурье с преобразованием Лапласа. Найдем для функции преобразование Лапласа по таблице

Тогда

Получили преобразование Фурье заданной функции:

Индивидуальные задания.

Найти синус и косинус – преобразование Фурье для функции:

Найти преобразование Фурье следующих функций:

на отрезке [ 0;6];

на отрезке [0;4];

на отрезке [0;10];

на отрезке [0;9];

на отрезке [0;10];

на отрезке [0;9];

на отрезке [0;8];

на отрезке [0;9].

и)

к) ;

л) ;

м) ;

н) ;

о)

п)

р)

с)

т)

у) ф)