ЭкзЗадания

переменныхнесколькихменной.переоднойеренцированиееренциалДиДиI.1

Найти.чЗ

ункции:

π

.

X

à) y = xди вункциитоеренциалx = 2;

á) y = arctg sin x в точкиеx =

4

2

Евклидово

3

Внутренняяn-мерноеиграниòî÷êпрострнаяточкианствомножества.Окрестность.

.

(0;замкнутренней0)

множества:для(граничной)

4

2

2

открытым?xмножества,[−1; 1]}?замкнутым?компакт.

Ограниченное,а)Является{0 < xоткрытоели+ yданное< 1} ìíîæ{yество= 0,

2

2

2

+ y

2

= 1}.

З5. рачик. а)Изобразитьункции{0 < x +двухобластьy <ïåð1};менныхопределенияб) {y =. 0, x ункции:[−1; 1]};

â) {x

1

x2

y2

z = x + 1 ограниченной внóтри круга

ò ÷êå.− |

| − |

|

x2

y2

z =

ln

x2 + 2x + y2

;

á) z = 1

x

y

; â) z

=

x2

+ y2

.

p

−

−

p

−

в пеpеменных двух точк ункции В Являетс л ч . Пpеде 6. З

пределы. Повторные

à)

(0; 0)

ункции: для пределов вторных î п значения найти

z =

x2 − y2

á);

z =

x2 − y

; â) z = y + x cos 1 .

.мачТНепрерыеоре.Ç87

2

2

2

непрерывнойточке. yункции.

Вейерштрностьxÿ +лиункцииассy ункцияа обдвухограничпеpеменныхнностиx + x + y

.

y + x2

2

2

З9. Частныеч . xНайти+пpоизвод(y частные− 1) < .1произво.дные ункции:

z = eX(sin y + x cos y);

á) z =

y(y − x)

З0 Дич. а)Найтиеpенциpуеди мостьеренциалункцииункции:двух пеpеменныхпроизводныхточке.2

x

Ç1póå21.мостьюТПроизводнаяеоремач . мы,zункциисвязыдполаг= произвоx ающиеая,точкдвухчтоднойчастныепеpесуществованиеменных(2; 1)ñëî; á)æíîézпроизво.= y(xчастныхункции+äíûåy2 ) в отточкдвух(1; аргументов2). ñ äè åpåíöè.

-

Y

X

найти

производные fU′

fV′

z = f (u, v)

à)

ñòíû,å

ункцииункции:

x

13.

z = fïî(xy,íàyïð);авлениюб) z = f. (x2 −1y2, xy).

á) z = x(yx + y2)

(0; 0)

(1; 2)

.

З14. pадиентч . Дляz =

−

y

(0;градиента1) по направлениюпроизводнойк точкпоенаправлению(2; 2).

x

Связьточк.виíêöèуточки

x

+ y

всего:

-(убырастетункциякотором

а)вает) быстрее(x0; y0) найти направление,

á f (x, y) = xy

точке

(1; 2);

5

2

2

òî÷ê

(0; 1).

Н явнаяВыразитьf (x,ункцияy) =ÿâíî(.x − yóíêö) + (xþ− 1)

y = f (x) заданную неявно уравнением

2

2

ункциидля

З16 Тчеорема. yПроверить,− 2yсуществ+ 2xâûï= 0.ваниилняютснеявнойли условияункциитеоремы.

уравнениемнеявнозаданной

y = f (x),

y3 + 3xy + 2 = 0 в окрестности точки

7

Теорема(Найтипpоизводные.−1; 1)дичастныеточкеренцируемости неявной ункции.

производныеуравнениемчастные

-çà,

неявно

(1; −2)

3

2

z = f (x, y)

)ч . ЧастныеЗ18.

п высшихоизводныепоpядковz 2−-го4xzпор. +ядка:y = 4.

z = x sin(x + y2);

á)

z =

x − y

.

190 ÔÄîстаточноермулаазлоТейлоpажитьусловиеподляормуавенстваункцииле Тейлорадвухсмешанныхx +Стационарныепеpеy2-гоменныхпорядкпpоизводных.окрестности.

точки

ункцию

(2; 0)

21. НеобходимоеНайти всеусловиеzточки= xyэкстре+ xстремума+ 2. . ункции

точки.

ивести пример ункции двух переменных,2

дляточкоторой2

z = (x

− y)

2

fX′ (0, 0) =óü,0 = fY′ (0, 0)

(0; 0)

Провери Достаточное

..экстремумапеременныхдвухявляетснеункцииявляется,листремуманоточксловие

3

3

2

(−1; 0) точкой экстремума для ункции

3

Ó ë âíûéz = 3экстреx âñå+ yточкимум.− 3yэкстремума.− x

ункции

экусловиеходимоеНайти..чНеоб.4Зменных2

X+Y

2

словного экстремумаz = e

приункциисловиидвухx + yпере= 0-.

25. Первообразная ункцииII. Интегральное. Неопределенный2 исчислениеинтеграл.z = 2x + y при словии xy = 2.

á)

y = |x − 1|

(0; 1)

x2

1,

x < 1,

.

.точкуалачерезинтегрдящийпрохнеопредесвойстваыхтеграл:èíòпростейшихоснов

(1; 0)

З26. Четыреч . а)Найтиy = (0,

−

ïðè

|x|

1,

ленного

|

| ≥

а)Таблица27

Z

(x

2

3

.аловб)интегр

− 2)ãðàë:;dx

Z

sin(πx) cos x dx.

dx

;

á)

dx

.

;

.ормулы)(интегрированиятодаграл:åминтНайтиа)основных

÷ .ÒðèÇ28.

Z

√x2

− 2x

+ 5

Z √6x − x2

Z

2

+1 dx;

á) Z

cos x ln sin x dx;

Z

x dx

xeX

â)

ã)

(2x + 3)5

ln x

æ)Z

dx;

ä) Z

e√X dx;

å) Z

sin √x dx;

x

X

2

дробь.Элементарная.

.дробьПравильнаяз).;ункцияинтеграл:йтильная

З29. ационч . а)Нà Z

e

cos x dx

Z

px

+ 1 dx

.

.

x dx

;

á)

x dx

2

2

дробей.элементарныхсуммунаарных:дробиэлементсуммуправильнойнадробьазложенияжитьразлоа)ч .Алгоритм

Ç30.

Z

4x

+ 4x + 5

Z x

− 2x + 5

3x2 + 2x

;

á)

4x2

;

â)

x3 + x2 − 5x − 1

;

ã)

2x2

2

4

2

2

4

2

+ 3

З31. Биноч .миальныйа)Свести(x + 1)(к интегралудиx + еренциалx + 1)от рациональной. Подстановкиx − 1 ункции:Эйлера(x − 1)

x

+ 4x

УниверсZ

p

Z

dx

;

.

(2 + 3x)x2 dx;

á)

4

√1 + x4

dx

x2

x + 1 dx;

ã)

2

32.

нахождениядляпеременнойзаменаальная

Z

p

−

Z

x +

√x

− x

+ 1

Z

R(sin x, cos x) dx.

интеграл:Найтиа)З ч .

Z

dx

;

á)

Z

dx

;

â)

Z

dx

;

ã)

sin x + cos x

sin x

2 − sin x + cos x

2

2

5

интегральныйсинус,альный.интегр

.д).лы;аЛапласинтегрункциям,¾Неберущиеся¿

3Примеры:

логари33.

Z

sin

x cos

x dx

Z cos

x dx

à)

eX

Z

sin x2

Z

sin √

Z

x

dx

2

X2

36Ç45. Интегр Z

x dx

x

dx

x

x e−

dx

.г)ленный;алаегрОпреде.èíòüмоств)ленного;грируеопредеа)Èíòå.б)свойств;суммаястьинтеграл:наишеальНайтч .Основные

..интеграл

2,2

−1

Z

Z

0,3

[x] dx;

á)

2

p

|x|

dx

.(произведениязначение:интегрирования(оценить)дляприближенносреднемоНайтиа)ч .Т.еоремаций)З

-ункдвух

2π

1

3

sin x

2

Z

Z1

X2

dx

З37. Интегрч . Пострал îèòпеременнымьdxãðà; èê 16−

x

á)

Лейбница.-НьютонаФормулапределом..кцииуверхним

π

− 2

2

à)

y = f (x):

X

á)

f (x) = Z1

(1 − t2) dtинтервалеотрезк

[−2; 0];

−

X

Z

Ç3интегр98. Ôîð÷àëåìóë. а)Найти.ытрзаменыапецийf (x)приближ= lnпередляt dtенноменнойнаприб(оценить)лиженногоинтегрированияинтеграл:(0; вычисe). ленияпо частямопредел-говопредеинтегрленноала.м

1

π

1

Z

sin x

Z1

2X2

dx

Ç4теграла10. ОпредеФормуч..а)Найтилениела Ñèìплощадьпсонаdx 4−

x

á);

-инвычисленияенноголиниями:.приближигурыдляограниченной.линейнойигуры,(парабол)криво

π

−

2

З42. Длинач . а)Найтидугиy = кривой(приближx2 + 2.x)e−ííîX

(оценить)осью Ox;

24

длинуб)y =дóãè, çàäаннойпрямойункцией:y = x + 2.

x(5 − x)

2

1

.наивой

å

З43. Формуч . Вычислитьлаy =äëÿx навычислениядлинуотрезкдугиx кривойдлины[−1; 3];

á)äóãèy =êxð

[0, 5; 2, 5].

отрезк

x

4

√

íà

.

3

[0; 4]

y =

x

à)

2

расходимость:

Oy

З45. Несобственныеч . Вычислитьy = x , xинтегралалы[0; 2]несобственных; б)или(дваy =утипа)2xановить, x . [1; 3]åãî.

0

;

á)

4

;

â)

+∞

−

;

ã)

0

Z

dx

Z

dx

Z

Z

46

Теоремаа)Исслеx + 1

√x + x

x2

4x + 5

x2

dx

. грала: алов инте интегр енного несобств мость õîäè äëÿ ñ òü äîâà сравнения

X

.

−

2

0

−∞

−∞

0

eX

+∞2 + cos x

0

dx

ã);

+∞

2

Z

Z

Z1

Z

З47. Чисчловой. а)Найтиряäñó. ììódxЧастичные; б)ряда, последовсуммыIII..ательноdxСходимость;ядыв) вычисляяряд

а.его частичныеe−X dx.суммы:

x2

x2

+ x

√

3