Лабораторный практикум по механике

Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра общей и экспериментальной физики

Лабораторный практикум по механике

Часть I

Обработка результатов измерений физических величин

Методические указания

Ярославль 2000

ББК В2

Л12

Составители: М.В. Кириков, В.П. Алексеев, В.А. Папорков

Лабораторный практикум по механике. Ч. I. Обработка результатов изме-

рений физических величин: Метод. указания. / Сост. М.В. Кириков, В.П. Алексеев, В.А. Папорков; Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2000. 36 с.

Методические указания содержат основные положения теории измерений физических величин, рассмотрены вопросы подготовки, выполнения лабораторных работ. Приведены образцы записи окончательного результата измерений, даются примеры вычисления погрешностей прямых и косвенных измерений физических величин.

Предназначены для студентов физического факультета ЯрГУ.

Рецензенты: кафедра общей и экспериментальной физики Ярославского государственного университета; А.П. Глушаков, канд. физ.-мат. наук

© Ярославский государственый университет, 2000

© М.В. Кириков, В.П. Алексеев, В.А. Папорков, 2000

Лабораторный практикум по механике

Часть 1

Обработка результатов измерений физических величин

Составители Кириков Михаил Викторович Алексеев Вадим Петрович Папорков Владимир Аркадьевич

Редактор, корректор В.Н. Чулкова Компьютерная верстка И.Н. Ивановой

Лицензия ЛР № 020319 от 30.12.96.

Подписано в печать 31.05.2000. Формат 60х84/16. Бумага тип. Усл. печ. л. 2,09. Уч-изд. л. 1,7. Тираж 200. Заказ .

Оригинал макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.

Отпечатано на ризографе. Ярославский государственный университет.

150000 Ярославль, ул. Советская 14.

2

Общие методические указания

В курсе общей физики обучение технике эксперимента происходит главным образом в лабораториях физического практикума. Студенты факультета с первого семестра начинают работать в лабораториях общего физического практикума и поэтому должны учиться планировать физический эксперимент, применять измерительные приборы, записывать результаты измерений, пользоваться правилами приближенных вычислений, обрабатывать результаты измерений, рисовать графики.

Следует также обратить внимание на общую культуру экспериментальной работы, в частности по оформлению отчета, развивающую культуру написания научных статей и отчетов.

Основные задачи физического практикума состоят в следующем:

1.Во-первых, дать возможность наблюдать основные физические явления, что помогает воспитывать важное качество – физическую интуицию.

2.Во-вторых, познакомиться с основными приборами. Знание устройства прибора, принципа его работы и понимание того, что можно получить от прибора, – необходимые элементы процесса изучения физики.

3.Студенты должны научиться различным методам проведения измерений, освоить технику проведения эксперимента. Необходимо уметь подобрать приборы и собрать установку для проведения эксперимента с желаемой точностью измерений, учитывать влияние различного рода ошибок и оценивать точность окончательного результата, делать правильные выводы из эксперимента.

Физические величины и их измерение

Физика – экспериментальная наука. В основе эксперимента лежат физические методы измерений. Целью эксперимента является поиск таких параметров физических явлений, которые можно измерить, получив численные значения.

Свойства физических объектов и процессов, которые можно прямо или косвенно измерить, называют физическими величинами. Физические величины можно разделить на две категории: величины, характеризующие свойства и состояние тел (масса, объем, плотность, электрическое сопротивление, давление и др.), и величины, характеризующие явления и процессы, протекающие во времени (линейная скорость, сила тока, работа и т.д.). Чтобы иметь представление о физической величине с количественной точки зрения, необходимо выразить ее числом, т.е. измерить.

Измерить физическую величину – это значит найти опытным путем значение физической величины, используя специальные технические средства.

Измерением какой-либо физической величины называется нахождение физической величены с помощью специальных технических средств, в результате чего определяется, во сколько раз измеряемая величина больше (меньше) соответствующей величины, принятой за эталон.

3

При измерении физической величины ее значение сравнивают с единицей измерения. Число, которое получается при измерениях, называют числовым значением физической величины. Таким образом, любая физическая величина равна произведению численного значения и единицы измерения.

Физическая величина и ее размерность – это не одно и то же. Одинаковую размерность могут иметь совершенно разные по своей природе физические величины, например работа и вращающий момент. Размерность не содержит информации о том, является ли данная физическая величина скаляром, вектором или тензором. Однако величина размерности важна для проверки правильности соотношений между физическими величинами.

Необходимо научиться не только измерять различные физические величины, но и проверять и находить связь между ними, сопоставлять результаты эксперимента с выводами теории. Результаты любого физического эксперимента необходимо уметь проанализировать.

Обработка результатов измерений

Измерения проводят, чтобы получить численные значения нужной физической величины. При прямых измерениях эти значения получаются непосредственно, а при косвенных измерениях вначале определяют одну или несколько исходных физических величин, а затем по их значениям вычисляют нужную величину.

Опыт показывает, что при многократном повторении одного и того же измерения получаются разные численные значения. Так бывает, даже если делать все совершенно одинаково.

Результаты измерений физических величин, получаемые в научноисследовательских лабораториях или в лабораторных работах физического практикума, всегда являются не абсолютно точными, а приближенными. Но степень точности при этом, конечно, различна. Точность измерения зависит от точности прибора и его чувствительности, а также от восприимчивости органов чувств экспериментатора. Точность прибора определяется наименьшим его показанием – ценой деления. Например, наименьшее показание ученической линейки – 1 мм, штангенциркуля – 0,1 мм, микрометра – 0,01 мм.

Сочетая высокую восприимчивость наших органов чувств с точными чувствительными приборами новейших конструкций и со специальными способами измерений, можно значительно повысить точность измерений физических величин.

Однако, несмотря на высокую чувствительность органов восприятия и совершенные методы измерений, результаты измерений хотя и могут достигать значительной точности, но абсолютно точными, т.е. истинными, они быть не могут.

Чтобы результаты измерений получились более точными, необходимо тщательно выполнять следующие операции:

1) проверять средства измерения и правильно их применять;

4

2)снимать показания со средств измерений с практически необходимой точностью;

3)вычислить искомую величину по результатам измерений с соблюдением правил приближенных вычислений и учетом погрешности измерений.

Следует заметить, что природа сама ставит пределы процессу увеличения точности измерений. Материальные объекты обладают дискретной структурой. Поэтому не имеет смысла говорить, например, об измерении длины стержня с точностью до размеров электрона или атома. Эксперименты в микромире показывают, что всякое наблюдение, произведенное над некоторой системой, является возмущением, изменяющим состояние данной системы. Это означает, что сам процесс измерения приводит к изменению объекта и неопределенности, приблизительности результата измерения.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы:

1. Изучить теорию статистической обработки результатов прямых измере-

ний.

2. Определить доверительный интервал методом среднего арифметического и статистическим способом.

Краткая теория

Типы погрешностей измерений

О точности и ошибках измерений. Под точностью измерений понимают качество измерения, отражающее близость его результата к действительному значению измеряемой величины. Она определяется той наименьшей долей единицы измеряемой величины, до которой с уверенностью в правильности результата можно вести измерения. В науке идет постоянная борьба за точность: каждый знак после запятой может скрывать новый физический эффект.

Вначале метр определялся через длину окружности земного шара, затем, с 1927 г., – через длину волны красной линии кадмия, а с 1960 г. – через излучение изотопа криптона 86Кг в оранжевой области видимого спектра. С 1983 г. метр равен длине отрезка, который свет проходит в вакууме за 1/299792458 долю секунды. Скорость света в вакууме точно измерена. Она равна с = 299792458 м/с – это одна из фундаментальных постоянных природы.

Приближенный характер измерения заключается в том, что измерение не может быть абсолютно точным, а только приближается в той или иной мере к истинному значению измеряемой величины.

Абсолютно точное (истинное) значение физической величины (X0) является идеализацией. Истинное значение величины надо рассматривать лишь как значение, идеально отображающее в качественном и количественном отноше-

5

ниях соответствующее свойство данного физического объекта. Оно является пределом, к которому приближается значение физической величины с повышением точности измерения.

Для практического же использования вводится понятие действительного значения величины (Xi), под которым понимается значение, определенное экспериментально – с помощью средств измерения – и приближающееся к истинному значению в такой мере, что для данной конкретной цели оно может быть принято вместо истинного значения.

Значения физических величин находят опытным путем, поэтому они все содержат погрешность измерений. Никакие измерения не могут быть выполнены абсолютно точно. Их результаты всегда содержат некоторую ошибку X, поэтому в задачу измерений входит не только нахождение точной величины, но также и оценка допущенной при этом погрешности.

1. Абсолютная погрешность

Истинное значение физической величины обычно абсолютно точно определить нельзя. Каждое измерение дает значение определяемой величины Xi с

некоторой погрешностью X. Это значит, что истинное значение лежит в интервале:

(Xизм- X) < X0 < (Xизм+ X),

где Xизм – значение величины X0, полученное при измерении; X характеризует

точность измерения X0. Величину X называют абсолютной погрешностью, с которой определяется X0.

2. 0тносительная погрешность

Качество результатов измерений удобно характеризовать не абсолютной величиной ошибки X, а ее отношением к измеряемой величине X/X, которое называют относительной ошибкой и обычно выражают в процентах:

E = XX 100%.

0

Классы точности приборов. Для характеристики большинства измерительных приборов часто используют понятие приведенной погрешности Eп (класса точности).

Приведенная погрешность Eп – это отношение абсолютной погрешности X к предельному значению Xmax измеряемой величины:

Eп = X X 100%.

max

По приведенной погрешности приборы делятся на семь классов: 0.1; 0.2; 0.5; 1.0; 1.5; 2.5; 4.

Приборы класса точности – 0.1; 0.2; 0.5 применяют для точных лабораторных измерений (прецизионных).

В технике применяют приборы классов – 1.0; 1.5; 2.5; 4. (технические). Класс точности указывается на шкале прибора.

6

3. Систематическая погрешность

Одной из основных забот при производстве измерений должна быть забота об учете и исключении систематических ошибок, которые в ряде случаев могут быть так велики, что совершенно исказят результаты измерений. Ошибки, величина которых одинакова во всех измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов, относятся к систематическим. Систематические ошибки можно разделить на группы:

Группа 1: ошибки, природа которых известна и величина может быть достаточно точно определена. Такие ошибки называются поправками. При определении длины к поправкам относятся, например, удлинение, обусловленное изменением температуры измеряемого тела и измерительной линейки. Источники таких ошибок нужно тщательно анализировать, величины поправок определять и учитывать в окончательном результате. Величина поправок, которые есть смысл вводить, устанавливается в зависимости от величин других ошибок, сопровождающих измерение.

Группа 2: ошибки известного происхождения, но неизвестной величины. К их числу относится погрешность измерительных приборов, которая определяется иногда классом точности прибора. Если на приборе указан класс точности 0.5, то это означает, что показания прибора правильны с точностью до 0.5% от всей действующей шкалы прибора. Иначе говоря, вольтметр с пределом измерения 150 В и классом точности 0.5 дает ошибку в измерении напряжения не более 0.75 В. Очевидно, что нет никакого смысла пытаться с помощью такого вольтметра измерять напряжение с точностью до 0.01 В.

Систематические ошибки этой группы, вообще говоря, не могут быть исключены, но их наибольшее значение, как правило, известно, и если мы, измеряя напряжение с помощью вышеуказанного вольтметра, получили U = 65.3 В, то следует писать:

U = 65.3 ± 0.75 В.

Больше ничего о величине сказать невозможно.

Группа 3: самые опасные ошибки – это ошибки, о существовании которых мы не подозреваем, хотя величина их может быть очень значительна. Такие ошибки возникают, например, при измерении напряжения на высокоомной нагрузке с помощью вольтметра, входное сопротивление которого одного порядка с сопротивлением нагрузки.

Для устранения ошибок третьей группы нужно всегда очень тщательно продумывать методику измерений, и, чем сложнее опыт, тем больше оснований думать, что какой-то источник систематических погрешностей остался неучтенным.

4. Случайная погрешность

Погрешности, величина которых различна даже для измерений, выполненных одинаковым образом, называются случайными. Случайные ошибки обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено. Источниками случайных ошибок при

7

радиофизических измерениях могут являться, например, случайные изменения питающих напряжений, колебания температуры.

5. Промахи

Случайные погрешности, источником которых является недостаток внимания экспериментатора, называются промахами. Для устранения промахов нужно соблюдать аккуратность и тщательность в работе и записях результатов. Иногда можно выявить промах, повторив измерение в несколько отличных условиях, например, перейдя на другой участок шкалы прибора.

6. Вероятность случайного события

Случайными называются такие события, о появлении которых не может быть сделано точного предсказания. Характеристикой частоты появления случайного события является его вероятность. Если возможно n благоприятных и m неблагоприятных событий, то вероятность благоприятного события равна

7. Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки

Для того чтобы выявить случайную ошибку измерений, необходимо повторить измерение несколько раз. Если каждое измерение дает несколько отличные от других измерений результаты, мы имеем дело с ситуацией, когда случайная ошибка играет существенную роль.

В подавляющем большинстве простых измерений случайные ошибки подчиняются следующим закономерностям:

1.Ошибки измерений Xi могут принимать непрерывный ряд значений.

2.При большом числе наблюдений ошибки одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто.

3.Частота появления ошибок уменьшается с увеличением величины ошибки. Иначе говоря, большие ошибки наблюдаются реже, чем малые.

Закон распределения ошибок описывается формулой Гаусса

где σ – средняя квадратичная ошибка, σ2 – дисперсия измерений, У(x) – вероятность того, что абсолютная ошибка измерений принимает значение X.

Форма кривых Гаусса показана на рис. 1.

При многократных измерениях чаще используется понятие средней квадратичной погрешности измерений, причем в этом случае также различают среднюю квадратичную погрешность отдельного измерения и среднюю квадратичную погрешность результата, полученного из серии всех измерений.

8

При достаточно большом числе наблюдений (практически n > 30) существуют зависимости Sn = 1.25 Zn или Zn = 0.8 Sn.

Предположим, что истинное значение измеряемой величины равно х. Ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений, равно

x , а погрешность измерений этой величины - x. Пусть α означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину,

(8) означает, что с вероятностью, равной α, результат измерений не выходит за

пределы доверительного интервала (x − x) до (x + x). Разумеется, чем боль-

шая надежность требуется, тем большим получается соответствующий доверительный интервал, и наоборот.

Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления были проделаны, и их результаты сведены в табл. 1 (Прил. 5).

Приведем примеры пользования табл. 1 (Прил. 5). 1. Пусть для некоторого ряда измерений получены

x = 1.27, σ = 0.032.

Какова вероятность того, что результат отдельного измерения не выйдет за пределы, определяемые неравенством

1.26 < xi <1.28 α-?

Доверительные границы равны ± 0.01, что составляет в долях σ

0.01:0.032 = 0.31 = ε.

Из табл. 1 находим, что доверительная вероятность для ε = 0.3 равна 0.24. Иначе говоря, примерно ¼ измерений уложится в интервал ошибок ±0.01.

2. Какой доверительный интервал нужно выбрать для тех же измерений, чтобы примерно 98% результатов попали в него? Из табл. 1 находим, что зна-

чению α = 0.98 соответствует значение ε = 2.4, следовательно, σ.ε = 0.032 . 2.4 ≈ 0.077 = X и указанной доверительной вероятности соответствует интервал

2.193< x < 1.347 или, округляя, 2.19 < x < 1.35;

Иногда этот результат записывают в виде х = 1.27 ± 0.08 с доверительной вероятностью 0.98.

Таким образом, для нахождения случайной ошибки нужно определить два числа: доверительный интервал (величину ошибки) и доверительную вероятность.

Приведенные здесь три значения α полезно помнить, так как обычно, когда в книгах или статьях дается значение средней квадратичной ошибки, уже не указывается соответствующая ей доверительная вероятность (рис. 2).

10