6. Расчет и статистическая оценка параметров линейной зависимости (линейной регрессии)

При использовании ряда химических и физико-химических методов количественного анализа непосредственному измерению подвергается некоторая величина у, которая рассматривается как линейная функция искомой концентрации (количества) х определяемого вещества или элемента. Иными словами, в основе таких методов анализа лежит экспериментально подтвержденная линейная зависимость:

y = bx + a, (6.1)

где: у – измеряемая величина;

х – концентрация (количество) определяемого вещества или элемента;

b – угловой коэффициент линейной зависимости;

а – свободный член линейной зависимости.

(Здесь b и а рассматриваются как коэффициенты (параметры) линейной регрессии y на x).

Для использования зависимости 6.1 в аналитических целях, т. е. для определения конкретной величины х по измеренному значению у, необходимо заранее найти числовые значения констант b и а, иными словами провести калибровку. Если константы зависимости (6.1) рассматриваются с учетом их физического смысла, то, при необходимости, их значения могут оцениваться с учетом доверительных интервалов.

Если калибровка проведена, и значения констант а и b определены, величину X_i, находят по измеренному значению y_i;

X_i = . (6.2)

При калибровке величину х рассматривают как аргумент, а величину у – как функцию.

Наличие линейной зависимости между х и у целесообразно подтверждать расчетным путем. Для этого по экспериментальным данным, полученным при калибровке, оценивают достоверность линейной связи между х и у с использованием корреляционного анализа, и, лишь затем, рассчитывают значения констант а и b зависимости (6.1) и их доверительные интервалы. В первом приближении судить о достоверности линейной связи между переменными х и у можно по эмпирической величине коэффициента корреляции r, который вычисляют по уравнению:

(6.3)

исходя из экспериментальных данных, представленных в табл. 14.1.6.1. Чем ближе значение к единице, тем менее наблюдаемая линейная зависимость между переменными х и у может рассматриваться как случайная. В аналитической химии в большинстве случаев используют линейные зависимости, отвечающие условию 0,99 и только при анализе следовых количеств рассматривают линейные зависимости, для которых 0,9. При столь близких к 1 значениях величины формальное подтверждение наличия линейной связи между переменными x и y проводить не следует.

Коэффициенты а и b и метрологические характеристики зависимости 6.1 рассчитывают с использованием регрессионного анализа, т. е. методом наименьших квадратов по экспериментально измеренным значениям переменной у для заданных значений аргумента х. Пусть в результате эксперимента найдены представленные в табл. 14.1.6.1 пары значений аргумента х и функции у.

Таблица 14.1.6.1

i	xi	yi
1	x1	y1
2	x2	y2
…	…	…
m	xm	ym

Тогда:

(6.4)

; (6.5)

f = m – 2. (6.6)

Если полученные значения коэффициентов а и b использовать для вычисления значений у по заданным в табл. 14.1.6.1 значениям аргумента х согласно зависимости 6.1, то вычисленные значения у обозначают через Y₁, Y₂, ... , Y_i, ... Y_n. Разброс значений Y_i, относительно значений у_i, характеризуется величиной дисперсии s , которую вычисляют по уравнению:

. (6.7)

В свою очередь дисперсии констант b и а находят по уравнениям:

s = ; (6.8)

. (6.9)

Стандартные отклонения s_b и s_a и величины и , необходимые для оценки доверительных интервалов констант уравнения регрессии, рассчитывают по уравнениям:

; (6.10)

; (6.11)

∆b = t(P,f)∙s_b; (6.12)

∆a = t(P,f)∙s_a. (6.13)

Уравнению 6.1 с константами а и b обязательно удовлетворяет точка с координатами и , называемая центром калибровочного графика:

; (6.14)

. (6.15)

Наименьшие отклонения значений y_i от значений Y_i, наблюдаются в окрестностях центра графика. Стандартные отклонения s_y и s_x величин Y и X, рассчитанных соответственно по уравнениям 6.1 и 6.2 исходя соответственно из известных значений х и у, определяются с учетом удаления последних от центра графика:

; (6.16)

, (6.17)

где – среднее значение для n_j вариант y, по которым вычислено искомое значение X.

При x = и :

; (6.16а)

. (6.17а)

С учетом значений s_y и s_x могут быть найдены значения величин ∆Y и ∆X:

∆Y = s_y∙t(P,f); (6.18)

∆X = s_x∙t(P,f). (6.19)

Значения s_x и ∆X, найденные при n_j = 1, являются характеристиками воспроизводимости аналитического метода, если х – концентрация (количество), а у есть функция х.

Обычно результаты статистической обработки по методу наименьших квадратов сводят в таблицу (табл. 14.1.6.2).

Таблица 14.1.6.2