2. Расчет разветвленных цепей синусоидального тока

   1. Параметры элементов схемы

Исходная схема представлена на рис. 3:

Рисунок – 3

N = 18

E₁ = 100 B

E₂ = 50 * exp(j*N*10 ) = 50*exp(j*180 ) = 50*cos(100 ) + j*50*sin(180 )=

-50 B

R₁ = 1 + N = 1 + 18 = 19 Ом

R₂ = 2 + N = 2 + 18 = 20 Ом

R₃ = 5 + N = 5 + 18 = 23 Ом

С₁ = 200 + N = 200 + 18 = 218 мкФ = 0,000218 Ф

С₃ = 220 + N = 210 + 18 = 228 мкФ = 0,000228 Ф

L₃ = 6 + N = 10 + 18 = 18 мГн = 0,028 Гн

f = 50 Гц

⍵ = 2πf=2*3,14*50=314

2. Метод уравнения Кирхгофа для комплексных величин

С помощью метода уравнений Кирхгофа определить комплексные токи во всех ветвях.

Для использования данного метода необходимо произвольно задать направление токов во всех ветвях цепи, что продемонстрировано на рисунке 4:

Рисунок - 4

Выбираем произвольно положительные направления токов во всех ветвях и рассчитываем необходимое количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа:

Запишем уравнение по 1-ому закону Кирхгофа:

-I₁ + I₂ - I₃ = 0

Для записи уравнений по 2-ому закону Кирхгофа произвольно выбираем первый контур и в нем произвольно задается направление обхода контура. Затем из цепи мысленно удаляется какая-либо ветвь (для обеспечения независимости уравнений во 2-ом законе Кирхгофа друг от друга) и снова задается направление обхода для оставшегося участка.

Для каждого контура записываются уравнения по 2-ому закону Кирхгофа:

Z₁I₁ – Z₂I₃ = E₁

Z₃I₂ + Z₂I₃ = E₂ .

В итоге составляем систему уравнений и решаем ее:

-I₁ + I₂ - I₃ = 0

Z₁I₁ – Z₂I₃ = E₁

Z₃I₂ + Z₂I₃ = E₂ .

Представим систему в матричном виде:

или

Z * I = E

,

Далее находим токи по формуле:

I = Z^-1 * E

Вычисление токов было произведено с помощью программы Mathcad:

Ответ:

I₁ = А;

I₂ = А;

I₃ = А.

Векторная диаграмма комплексных токов, построенная в Mathcad (рис.5):

Рисунок - 5

2. Метод контурных токов

С помощью метода контурных токов определим комплексные токи во всех ветвях.

Произвольно выбрать направления всех токов в ветвях на исходной схеме (рис.6):

Рисунок - 6

Число независимых контуров:

Обходя каждый из независимых контуров в выбранном направлении, запишем уравнения по второму закону Кирхгофа и решим их относительно контурных токов:

Z₁₁I₁₁ + Z₁₂I₂₂ = E₁₁

Z₁₂I₁₁ + Z₂₂I₂₂ = E₂₂ ,

где

Z₁₁ = Z₁ + Z₂ – сумма сопротивлений всех ветвей контура 1, т.е. собственное сопротивление контура 1;

Z₂₂ = Z₂ + Z₃ – сумма сопротивлений всех ветвей контура 2, т.е. собственное сопротивление контура 2;

Z₁₂ = Z₂₁ = -Z₂ – общее сопротивление контуров 1 и 2;

I₁₁ - контурный ток первого контура;

I₂₂ - контурный ток второго контура;

E₁₁ = E₁ – алгебраическая сумма ЭДС контура 1;

E₂₂ = E₂ – алгебраическая сумма ЭДС контура 2;

Данную систему можно переписать в эквивалентной матричной форме:

Отсюда контурные токи находятся следующим образом:

С помощью программы Mathcad, найдем контурные токи I₁₁ и I₂₂:

I₁₁ = 1,6756+1,2399j А

I₂₂ = 0,0152+0,0342j А

Далее через контурные токи находим искомые токи:

I₁ = I₁₁ = 1,6756+1,2399j А ,

I₂ = I₂₂ =0,0152+0,0342j А ,

I₃ = -I₁₁ + I₂₂ = -(1,6756+1,2399j) + (0,0152+0,0342j) = -1,6604-1,2057j А .

Ответ:

I₁ = А

I₂ = А

I₃ = А