10. Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если   — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии  от неё, равен

,

где   — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

11. В приведенных примерах оси проходят через центр инерции тела. Мо­мент инерции относительно других осей вращения определяется при по­мощи теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела, и величины произведения массы тела на квадрат расстояния между ними. где m масса тела, а - расстояние от центра инерции тела до выбранной оси вращения, т.е.

, где m - масса тела, а - расстояние от центра

инерции тела до выбранной оси вращения.

Покажем на одном примере применение теоремы Штейнера. Вычислим момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его край перпендикулярно стержню. Прямое вычисление сводится к тому же ин­тегралу (*), но взятому в других пределах:

Расстояние до оси, проходящей через центр масс, равно, а = ℓ/2.По теореме Штейнера получаем тот же результат.

.

12.  В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр, хотя сантиньютон-метр (cN•m), футо-фунт (ft•lbf), дюйм-фунт (lbf•in) и дюйм-унция (ozf•in) также часто используются для выражения момента силы. Символ момента силы τ (тау). Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. Вращающиеся аналоги силы, массы и ускорения есть момент силы, момент инерции и угловое ускорение соответственно. Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние до оси вращения рычага, есть момент силы. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу, расстояние до оси вращения которого 2 метра, это то же самое, что 1 ньютон, приложенный к рычагу, расстояние, до оси вращения которого 6 метров. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где  — сила, действующая на частицу, а — радиус-вектор частицы.

Моментом силы наз. физ. величина численно равная векторному произведению радиуса вектора силы на вектор силы M =[r*F] r- радиус вектор силы. Линия в доль которой действуют силы наз. линией действия силы. M=rRsin r*sin=l M=F*l l- плече силы, перпендикуляр кратчайшее расстояние до линии действия силы. Моментом силы относительно оси Z наз. проекция момента силы на выбранное направление Z M_z=[r*F]_z

Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение  и тогда это уравнение можно

переписать следующим образом

с учетом (5.9)

или

(5.10)

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела  , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.

13. Моментом импульса материальной точки, вращающейся относительно неподвижной оси OO′, называется величина L, равная произведению импульса  этой точки на расстояние r от этой точки до оси вращения:  .

Момент импульса является векторной величиной. Вектор  направлен по оси вращения в соответствии с правилом правого винта.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его точки, находящиеся на различном расстоянии  от оси вращения, имеют различные скорости . Поэтому для того, чтобы найти момент импульса твердого тела относительно некоторой оси вращения, необходимо разбить это тело на элементарные объемы так, чтобы каждый элементарный объем можно было рассматривать как материальную точку массой  , находящуюся на расстоянии от оси вращения и движущаяся со скоростью .

Тогда момент импульса твердого тела L равен сумме моментов импульса всех n материальных точек массами  , на которые разбито это тело:

.

Так как для твердого тела угловая скорость вращения  всех материальных точек, на которые разбито это тело, одинакова, то, используя формулу , получим

или в векторной форме:  .

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции этого тела относительно той же оси вращения на угловую скорость вращения этого тела.

Продифференцировав это уравнение по времени, получим:

, откуда  .

То есть

.

Это выражение – еще одна форма (называемая дифференциальной) уравнения динамики вращательного движения твердого тела: скорость изменения момента импульса твердого тела относительно оси вращения равна векторной сумме моментов всех действующих на это тело сил относительно той же оси вращения.

В замкнутой системе векторная сумма моментов внешних сил равна нулю. Тогда  и, следовательно, .

Таким образом, момент импульса замкнутой системы сохраняется, что является законом сохранения момента импульса.