Б и С не лежат на одной прямой, следовательно, рассматривае­ мая система является неизменяемой.

Задачи. 1. Доказать геометрическую неизменяемость системы, показанной на фиг. 2.11,6.

Указание. Выделить из системы три элемента, стержень HJ и треугольники CDE и CGF, являющиеся неизменяемыми систе­ мами каждый в отдельности, и затем рассмотреть соединение этих элементов между собой.

2. Доказать изменяемость системы, изображенной н фиг. 2. 11,в.

С л о ж н ы е ф е р м ы . Фермы, не являющиеся простейшими, называются сложными. Они могут быть получены соединением простейших ферм друг с другом. Выше (фиг. 2. 9,а; 2. 9,в; 2. 11 ,а; 2. 11,6) были даны примеры образования сложных ферм таким путем. Сложная ферма по­ лучается из простейшей также путем ее преобразования. Если изменить распо­ ложение стержней в простейшей ферме, то можно получить так называемую

преобразованную ферму. В качестве примера рассмотрим простейшую фер­ му, изображенную на фиг. 2. 5,6. Вы­ бросим стержень CD. Система станет изменяемой. Введя стержень DG (фиг. 2. 12), снова получим неизменяе­

мую систему. В этом нетрудно убедиться: неизменяемая часть FGE, состоящая из двух треугольников, прикреплена к неизме­ няемой системе точек АСBE при помощи шарнира Е и стержня GC, направление которого не проходит через точку Е; следова­ тельно, новая система неизменяема. Полученная в результате преобразования ферма уже не является простейшей — ее нельзя

прикрепляющие стержни. Ясно, что подкос АС сжат, а тяга АВ растянута. Так как концы стержней прикреплены шарнирно, каждый из стержней находится под действием только сил, направленных по его оси. На фиг. 2.13,6 показана отдельно тяга АВ и действующие на нее растягивающие силы: справа — сила, передаваемая шарниром Л под действием нагрузки Р, слева — реакция опоры В. Очевидно, эти силы одинаковы. На

45

влиянием этих сил узел находится в равновесии (собственным весом узла пренебрегаем). Применим уравнения равновесия — два уравнения проекций (уравнение моментов для сил, пере-

Фиг. 2.13. Определение усилий в двухстержне·» вом узле.

я—заданная двухстержневая система; б и в—силы, действующие на стержни системы (верхний стер­ жень растянут, нижний—сжат); г—силы, действую­ щие на узел; д —найденные значения и направле­ ния усилий стержней.

секающихся в одной точке, тождественно удовлетворяется при выборе за центр моментов точки пересечения). Проведем произвольно оси координат (фиг. 2.13, г). Взяв суммы проекций на эти оси всех сил, действующих на узел, получим два урав­ нения равновесия в следующем виде:

46

а стержень АВ растянут силой 1732 кг.

На фиг. 2. 13,(3 направления найденных усилий изображены стрелками: показаны реакции стержней, т. е. усилия, произво­ димые концами стержней на примыкающие узлы. Усилие растя­ жения в стержне обозначено стрелками на нем, направленными

ются также неизвестными. Поэтому приходится в начале реше­ ния задаваться направлениями усилий произвольно. Получение отрицательного ответа после решения означает, что направление соответствующего усилия в действительности обратно предполо­ женному. Удобно задаваться усилиями растяжения, которые считаются положительными. Тогда отрицательный результат в решении всегда будет означать сжатие. Задаваясь положитель­ ными направлениями искомых усилий NAB и NAC в нашем при­

В дальнейшем будем придерживаться именно такого метода ре­ шения. Неизвестные усилия будем предполагать при составлении уравнений положительными. И даже известные усилия стержней, но вводимые в уравнение в общем (буквенном) виде, будем предполагать положительными, вводя действительный знак толь­ ко при подстановке числовых значений.

47

Задача. Определить усилия в стержнях АВ и АС (фигу­ ра 2.15). Ответ·. N A B = N A C = 707 кг.

Р 4000кг

Фиг. 2.15.

П р и к р е п л е н и е д и с к а . Пример 1. Пусть некоторая ферма или диск I (фиг. 2. Іб.а) прикреплена шарнирно к другой ферме или к земле тремя стержнями 1, 2 и 3. Требуется опреде­ лить усилия, действующие на эти стержни при силе Р=1000 кг, приложенной в центре диска. Применим метод сечений. Отделим мысленно диск и рассмотрим его равновесие (фиг. 2. 16,6). На него действуют сила Р и уравновешивающие ее неизвестные ре­ акции Nlt N2 и Ns прикрепляющих стержней, направленные вдоль стержней, так как последние прикреплены своими концами

Фиг. 2.16. К определению усилий в стержнях, прикрепляю­

щих диск.

а —диск нагружен силой Р. Определить усилия в стержнях 1, 2 и 3; б—схема равновесия; в—найденные значения усилий.

шарнирно. Усилия Nu N2 и N3 предполагаем, как выше условле­ но, положительными, т. е. направленными от узлов. Получаем систему четырех сил в плоскости, которая должна находиться в равновесии. Для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия (гл. I, § 6). Сумма проекций всех сил на любую ось и сумма моментов их относительно любой точки должны равняться нулю. Постараемся составить уравнения рав­ новесия для удобства решения так, чтобы в каждое уравнение входило как можно меньше неизвестных. Взяв сумму проекций всех сил на ось у (фиг. 2. 16,6), получим следующее уравнение (силы Л/, и N2, перпендикулярные к оси у, проекций не дают):

48

— Р—Ns = 0. Отсюда Ns= —Р ——1000 к г ,т. е. стержень 3 сжат силой 1000 кг (знак минус в решении показывает, что усилие Ns является не растягивающим, как предполагалось, а сжимаю­ щим).

Теперь возьмем сумму моментов относительно точки А. Считая момент, действующий по часовой стрелке, положи­

тельным, получаем Р —— N 1a = Q. Это уравнение также со­

держит только одно неизвестное усилие, так как усилия УѴ2 и УѴ3, проходящие через точку А, дают моменты относитель­ но этой точки, равные нулю, и, следовательно, в уравнение

не входят. Из уравнения находим N —>= ---- — 250 кг.

4 4

Чтобы определить последнее неизвестное Ы2, возьмем сумму проекций на ось х\ — Νχ—Ν2= 0. Отсюда Ν2——Νχ= —250 кг. Найденные значения усилий выписаны на фиг. 2. 16,в и там же показаны направления их действия на узлы. Стержень 1 растя­ нут, а стержни 2 и 3 сжаты.

Следует стремиться соответствующим выбором оси проекций или точки моментов получить в каждом уравнении только одно неизвестное усилие. Если этого не сделать, то решение уравне­ ний будет сложнее. Для плоской системы можно составить только три уравнения статики и, следовательно, можно определять не­ известные усилия в прикрепляющих стержнях только при усло­ вии, что число их не превышает трех.

Пример 2. Рассмотрим более сложный случай (фиг. 2. 17,а). Прикрепляющие стержни 1, 2 и 3 образуют с горизонталью (с

Фиг. 2.17. К определению усилий в стержнях, прикрепляющих диск.

а —диск нагружен двумя силами и моментом. Определить усилия в стержнях 1, 2 и 3; б—схе­ ма равновесия.

осью х) углы соответственно σ.ι=25°, 3.2=40° и а3=30°. К диску в его плоскости приложены силы Я*=2000 кг, Ру= 1000 кг и мо­ мент М= 200 кгм. Требуется определить усилия Nlt N2 и N3 в при­ крепляющих стержнях 1, 2 и 3.

Разрезав стержни 1, 2 и 3, выделим диск с действующими на него нагрузками (фиг. 2. 17,6) и составим для него уравнения равновесия. Еозьмем сумму моментов относительно точки А, че­ рез которую проходят стержни 2 и 3. В уравнение войдет только одно неизвестное усилие Nі. Чтобы выразить момент этого усилия относительно точки А, разложим предварительно силу N, на составляющие N, cos о, и N, sin α„ параллельные осям х и у. На фиг. 2. 17,6 эти составляющие показаны пунктиром. Верти­ кальная составляющая проходит через точку А и, следовательно, момента не дает. Только горизонтальная составляющая дает мо­ мент. Уравнение моментов относительно точки А, таким образом, имеет вид (моменты, действующие по часовой стрелке, считаем положительными):

Ру-J + Рх~ + M - ( N 1 cos α,) α = О

или после подстановки числовых значений

1000 -і— н 2000 + 200 — (Λ/j cos 25°) 1 = 0.

Отсюда, учитывая, что cos 25° = 0,906, получаем Л71 = 16С0 кг. Чтобы определить остальные неизвестные усилия Л/2 и Ns, со­ ставим два уравнения проекций: £ ^ = 0 и £ У = 0 . Первое урав­ нение запишется так (сила Рѵ и момент М проекций не дают):

Рг — Ni cos а, — N2 COS а2 — N„ cos а„=0.

— Py+N, sin a,+ N 2 sin a2 — N3 sin a3=0.

Подставляем числовые значения: P„=1000 кг, N,= 1600 кг, sin a,=0,423, sin a2=0,643, sin a3=0,5. Уравнение принимает вид

50