§ 2. Формула Эйлера

Рассмотрим условия, при которых может произойти описан­ ное в предыдущем параграфе явление изгиба йрямого стержня ;при сжатии его продольными силами — продольный изгиб. На «фиг. 14. 4,а показан случай свободного опирания стержня. Оно

равносильно закреплению концов стержня при помощи шарни­ ров (фиг. 14.4,6). Этот случай закрепления стержня будем на­ зывать основным. Концы стержня в данном случае поворачи­ ваются свободно при его выпучивании. Выведем зависимость между критической силой Νκρ, размерами стержня и модулем упругости материала для указанного случая закрепления стержня.

извольном сечении равен у. Тогда изгибающий момент в этом сечении равен NKpy, т. е. изгибающий момент в сечении пропор­ ционален его прогибу у; это значит, что упругая линия стержня может одновременно представлять собой и эпюру изгибающих моментов в некотором масштабе. На фиг. 14. 4,в эта эпюра изо­ бражена более крупно. Если наибольший прогиб обозначить че­ рез /, то наибольший момент будет равен NKpf.

Пользуясь эпюрой моментов, можно было бы известным нам методом единичной силы (гл. XI) найти прогиб /, если бы была известна форма эпюры. Но форма упругой линии и, следова-

4 5 8

тельно, эпюры М неизвестна. Допустим приближенно, что упру­ гая линия и эпюра М изображаются квадратной параболой.

Тогда площадь эпюры М будет равна2/3 INкр /. Эпюру М построим, приложив единичную силу по середине стержня, где определяет­

ся прогиб (фиг. 14. 2,г и д). «Перемножая» эпюры М и М по Верещагину, найдем искомый максимальный прогиб:

отсюда

N,Кр

Мы получили приближенную формулу, так как форму упругой линии мы приняли произвольно параболической. В действитель­ ности она является синусоидальной, как показал Эйлер, получив­ ший (при помощи высшей математики) в рассматриваемом слу­ чае формулу

Опыты на продольный изгиб производились еще до Эйлера. Этими опытами было установлено, что критическая нагрузка стержня зависит от его длины, причем обратно пропорциональ­ на квадрату длины. Так, если длину стержня увеличить вдвое, то он потеряет устойчивость при нагрузке, вчетверо меньшей; если длину стержня увеличить втрое, то, чтобы вызвать поте­ рю его устойчивости, потребуется в девять раз меньшая сжи­ мающая сила, чем первоначально и т. д., при условии что попе­ речное сечение стержня остается неизменным. Как видим, это согласуется с формулой Эйлера.

С другой стороны, ясно, что устойчивость стержня, зависит от размеров его поперечного сечения и также от материала. Формула Эйлера указывает на пропорциональность между кри­ тической силой и жесткостью EJ стержня. Следовательно, на­ пример, дуралюминовый стержень выдержит· втрое меньшую сжимающую силу, чем стальной стержень таких же размеров, так как модуль упругости дуралюмина втрое меньше модуля упругости стали.

П р е д е л ы п р и м е н и м о с т и ф о р м у л ы Э й л е р а . При выводе формулы Эйлера мы пользовались формулой для нахождения перемещений, полученной при условии пропорцио-

459

нальности между нагрузкой и деформацией. Следовательно, формулой Эйлера можно пользоваться лишь в том случае, когда напряжение в стержне в момент потери устойчивости не превы­ шает предела пропорциональности данного материала. При до­ стижении нагрузкой критического значения стержень можно считать прямым и, следовательно, напряжение в поперечном се­ чении стержня равномерным:

Это напряжение будем называть критическим напряжением по аналогии с критической силой. Подставляя в формулу (2) выражение Ν κρ по формуле (1), получим

Введем обозначение

(4)

Величина і имеет размерность длины. Эта величина назы­ вается радиусом инерции сечения стержня. Возводя равен­

ство (4) в квадрат, получим — = г2. Тогда формула (3) пере-

Найденное соотношение часто называется вторым видом фор­ мулы Эйлера.

Сформулированное выше условие применимости формулы Эйлера выражается так:

®кр ^ ®пц)

где <зпц—предел пропорциональности, Подставим сюда значение σκρ по формуле (5). Получим

т.Ч:

λ2 Зшг

460

Отсюда

σπα

ИЛИ

< λ .

Обозначим

Оно читается следующим образом: формула Эйлера применима, если гибкость X стержня больше предельного ее значения Х ПРед (или, в крайнем случае, равна ей).

Величина Хпред зависит, как видим из формулы (6), только от материала стержня. Вычислим, например, значение Хпред для мяг­

около 2000 кг!см2. Подставляя эти числа в формулу (6), полу­ чим

Следовательно, для нахождения критической сжимающей си­ лы в случае стержня из мягкой стали можно применять формулу

радиус инерции

461

Умножая полученное критическое напряжение на площадь

F= ltd? π2* = 3,14 CM2

сечения стержня, имеем искомую критическую силу

^ 4 = ^ = 1 3 7 0 - 3 ,1 4 = 4300 кг.

Обращаем внимание на то, что найденное критическое напря­ жение 1370 кг/см2 не только значительно меньше предела проч­ ности мягкой стали (4000—4500 кг/см2), но даже меньше преде­ ла текучести ее (2300—2500 кг/см2).

Пример 2. Определить критическую силу для свободно опер­ того стержня квадратного сечения I X 1 см, длиной 25 см, изго­ товленного из легированной стали, модуль упругости которой— 2 200 000 кг/см2, а предел пропорциональности — 8000 кг/см2.

Сперва найдем предельное значение гибкости стержня Хпр(.л, при котором еще справедлива формула Эйлера для данного ма­ териала. По формуле (6) имеем

Вычислим гибкость нашего стержня. Момент инерции сечения

У = — = 0,0833 см\

12

Площадь сечения

F — 1-1 = 1 см2.

Следовательно, радиус инерции

Отсюда гибкость стержня:

462

Таким образом гибкость заданного стержня больше предель­ ной гибкости Хпред = 52 для данного материала. Формулу Эйле­ ра можем применить. Находим

Приводим значения іпред для некоторых материалов.

П л о с к о с т ь и з г и б а . В рассмотренных примерах стерж­ ней круглого и квадратного сечения плоскость изгиба стержня при потере устойчивости является неопределенной. Поскольку моменты инерции таких сечений одинаковы относительно всех центральных осей, жесткость стержня также одинакова во все:< плоскостях, проходящих через ось стержня. Поэтому нельзя за­ ранее предусмотреть, в каком направлении будет выгибаться стержень при потере устойчивости. Если же главные моменты инерции сечения неодинаковы, как, например, в случае прямо­ угольного сечения, как показано на фиг. 14. 4,е, то плоскостью изгиба свободного стержня будет плоскость наименьшей жест­ кости стержня. Пусть /г>6; тогда / г=Лпіп и Jy=Jmax и, следова­ тельно, плоскость у есть плоскость наименьшей жесткости, а плоскость z — плоскость наибольшей жесткости стержня. Таким образом если перемещения стержня в направлении оси у не стес­ нены, то прогиб его при потере устойчивости от продольной силы будет происходить именно в направлении оси у. Потеря устойчи­ вости произойдет при значении сжимающей нагрузки

Соответственно гибкость стержня будет определяться как

И только в том случае, если изгиб стержня в плоскости наимень­ шей жесткости невозможен, стержень будет выпучиваться в ином направлении, но этому будет соответствовать большая критиче­ ская сила.

463;

Пример 3. Определить допускаемую сжимающую силу для свободного стержня, выполненного из стандартного прокатного равнобокого стального угольника № 5 (фиг.

14.5). Минимальный момент инерции сече­ А ния стержня / г=/тіч=4,61 смк Площадь се­ чения 4,80 см2. Минимальный радиус инер­ ции іг=/тіп=0,98 см. Длина стержня 1=1 м.

Требуемый запас устойчивости k=2. Определим гибкость стержня по фор­

муле (10):

§3. Влияние закреплений

Впредыдущем параграфе рассмотрен случай свободно (или

стержня. Условия закрепления концов сильно влияют на сопро­ тивление стержня продольному изгибу. Так, если вместо свобод­ ного опирания концов, когда концы могут свободно поворачи­ ваться, осуществить защемление концов стержня, т. е. лишить их возможности поворачиваться, то критическая сила стержня возрастает, как увидим далее, в четыре раза. Если же теперь один из защемленных концов полностью освободить, то крити­ ческая сила для полученной консоли будет в 16 раз меньше,, чем в случае защемления обоих концов (см. фиг. 14.9).

Рассмотрим применение формулы Эйлера в зависимости от закрепления концов стержня.

С л у ч а й к о н с о л и . На фиг. 14.6 показан стержень, один конец которого защемлен, а другой совершенно свободен. По достижении силой N критического значения стержень изгибает­ ся и верхний свободный конец стержня В вместе с грузом пере­ мещается в сторону. Сечение А стержня (у заделки) при этом не поворачивается. Данный случай можно привести к основному (фиг. 14.4). Для этого сравним упругие линии стержней в обоих

464

случаях. Замечаем, что в основном случае упругая линия обра­ зует полуволну, а в случае консоли — четверть волны (целой волной называется — см. фиг. 14.7 — совокупность гребня и ложбины). Если представить себе по другую сторону заделки такую же консоль (на фиг. 14.6 показано пунктиром), то полу­

точках перегиба В и С равны нулю, и если бы мы вставили в этих точках стержня шарниры, как показано на фиг. 14. 8,6, то мы этим самым не изменили бы условий работы стержня. Как видим,

Фиг. 14.7.

участок ВС является свободно опертым и для него может быть применена формула Эйлера (11), причем приведенная длина /„рив (т. е. длина полуволны) в данном случае равна половине длины стержня. Критическая сила участка ВС есть одновременно кри­ тическая сила всего стержня. Таким образом и в данном случае

приходим к формуле (11), но следует помнить, что здесь /ПРИВ— .

С р а в н е н и е т р е х р а с с м о т р е н н ы х с л у ч а е в . Мь рассмотрели три случая закрепления сжатого стержня, сопостан ленные на фиг. 14. 9,а, бив: 1) случай свободного опирания кон цов стержня, 2) случай консоли и 3) случай защемления концов Формула (11) является общей для всех слу чаев, если под /пвш понимать длину полуволны Часто приведенную длину Іприв выражают по­

средством коэффициента μ:

ким образом,'если бы длины I стержней, пока­ занных на фиг. 14. 9, были одинаковы, то, как видно из форму­ лы (13), при одинаковых жесткостях стержней критическая сила

Фиг. 14.9. Сравнение величин коэффициента дли­ ны μ и критической силы в различных случаях закрепления концов стержня.

во втором случае была бы в четыре раза меньше, а в третьем — в четыре раза больше, чем в основном случае.

С л у ч а й з а щ е м л е н и я и ш а р н и р а . Приведем еще случай, когда один конец стержня защемлен, а другой свободно

466

кость в плоскости у больше, чем гибкость в плоскости z. Следовательно, изгиб при потере устойчивости будет проис­ ходить в плоскости у.

Определим соответствующее критическое напряжение. По формуле (5) находим

Действительное же напряжение

N 7000 = 490 к г’см?.

F ' 14,3

Теперь можем вычислить искомый запас устойчивости. Запасом устойчивости k называем, как выше условлено, отно-

З а к л ю ч е н и е . В настоящем параграфе исследованы усло­ вия применимости формулы Эйлера для стержня постоянного сечения в различных случаях опорных закреплений. Подытожи­ вая результаты, можем сказать, что формула Эйлера для крити­ ческого значения сжимающей силы в виде (11) или (13)

является общей для всех рассмотренных случаев. При этом при­ веденная или расчетная длина /прнв вообще не равняется длине стержня, а равна длине полуволны упругой линии стержня после потери устойчивости. В случае свободного (шарнирного) опирания концов стержня она совпадает с длиной стержня. Критиче­ ское напряжение выражается формулами:

где гибкость λ = - ір— вычисляется в соответствии с предпола-

гаемой плоскостью изгиба при потере устойчивости, установ­ ленной на основании сравнения жесткостей и условий закреп­ ления стержня в его главных плоскостях.

Формула Эйлера может применяться лишь при .условии, что гибкость стержня λ = —¢2 не меньше определенного для

468

данного материала значения Хпред, зависящего от предела пропорциональности материала.

Следует заметить, что действительные условия закрепления стержней часто отличаются от рассмотренных выше. Мы рассмот­ рели два идеальных типа закрепления конца стержня: 1) свобод­ ное или шарнирное опирание, когда опертый или прикрепленный конец может свободно поворачиваться, и 2) полное защемление или заделка, когда закрепленный конец совершенно не может поворачиваться. В действительности часто имеет место промежу­ точное между этими двумя случаями положение — так называе­ мая упругая заделка или частичная заделка: поворот прикреплен­ ного конца стержня стеснен, но не полностью. И в зависимости от жесткости заделки данный реальный случай может прибли­ жаться к какому-либо из указанных выше идеальных случаев за­ крепления. Так, стержни ферм обычно жестко прикрепляются своими концами к узлам фермы — привариваются или приклепы­ ваются, но такое закрепление не является идеальным жестким защемлением, так как узлы могут упруго поворачиваться. Кри­ тическая сила частично заделанного стержня больше, чем сво­ бодно опертого, и меньше, чем защемленного.

В расчетной практике частично заделанные стержни рассчи­ тывают обычно как свободно опертые, что служит в запас устой­ чивости. В некоторых же случаях применяют осередненные зна­

Указание. Площадь сечения и момент инерции сечения тонкостенной стойки можно найти приближенно по формулам:

устойчивости равен 4,3.

2. Решить предыдущую задачу при условии, что верхняя за­ делка имеет свободу перемещения в сторону (фиг. 14. 11,6). Ука­ зание. Форма потери устойчивости при перемещении заделки вправо показана на фиг. 14. 11,6 пунктиром. Как видим, упругая линия образует полуволну (целую волну получим, достраивая вниз симметричную полуволну, как показано на рисунке). Сле­ довательно, μ = 1 и приведенная длина Іпѵт равна действительной длине стержня /=2,5 м. Ответ: запас устойчивости /г= 1,07 (т. е. устойчивость недостаточна).

3. Звено тяги управления (фиг. 14. 11,в) к рулю высоты, пред­ ставляющее собой дуралюминовую трубу диаметром 3,5 см с тол-

469

щиной стенки 0,1 см, передает сжимающее усилие. Определить критическую силу. Указание. Воспользоваться указанием к зада­ че 1 о вычислении радиуса инерции. Ответ: Νκρ= 735 кг.

4. Сжатый стержень подмоторной рамы длиной /=800 с выполненный из трубы с отношением диаметра к толщине стен­

ки -у- =32, воспринимает сжимающее усилие и должен быть рас­

считан на критическую силу /Ѵкр=3200 кг. Определить диаметр

аΝ*500ηζ

Ж

<\Г П=50мм

іЧмм

-Т Т 7 .

N'500кг

стержня, считая концы стержня закрепленными шарнирно. Мате­ риал— специальная сталь (хромансиль), £ = 2 200 000 кг/смг, ^прВД=55. Указание. Применить формулу Эйлера с последующей проверкой гибкости. Ответ: d= 2,96 см.

5. Определить допускаемую сжимающую силу N для стерж ня общей длиной 1 м, выполненного из стандартного дуралюминового бульбугольника № 1 и закрепленного, как показано на фиг. 14. 11,г. Нижний конец стержня заделан, а на другом конце и по середине в плоскости возможного изгиба z имеются шарнир­ ные опоры. В плоскости у изгиб стеснен (например, обшивкой).

Данные профиля: /„=0,333 см*, £=0,64 см2, /„= 1 / -β— 0,72 см.

470

Запас устойчивости принять равным 1,8. Модуль упругости Е= = 700 000 кг/см2. Указание. Опасным является верхний пролет, где приведенная длина /прнв равняется длине пролета, тогда как в нижнем пролете приведенная длина равна 0,7 длины пролета; следовательно, расчет следует производить по приведенной дли­ не верхнего пролета /прив=50 см. Ответ: 500 кг.

§ 4. Расчет за пределом пропорциональности

Формула Эйлера справедлива, как указано выше, при боль­ ших гибкостях стержня (λ>λπρβΙ), когда критическое напряжение не превышает предела пропорциональности. При малых гибко­ стях стержня (Х<Хпрел) потеря устойчивости происходит при на­ пряжениях, больших предела пропорциональности, и формула Эйлера дает здесь завышенные значения критической силы. Рас­ чет на продольный изгиб за пределами пропорциональности, т. е. при малых гибкостях, производится при помощи эмпирических (опытных) данных. На основании многочисленных испытаний со­ ставлены формулы для критического напряжения в зависимости от гибкости, выражающие осередненные результаты испытаний для данного материала. Таких формул предложено весьма мно­ го. Мы приведем наиболее простую из них:

данный материал (для пластичных материалов это— предел текучести, для хрупких — предел прочности, для тонкостенных стержней эта величина может определиться местной потерей устойчивости),

λ— гибкость стержня,

а— постоянная для данного материала величина, опре­ деляемая ниже.

Формула (14) справедлива, как уже сказано, для значений гибкости Х<ХпРед. При λ = 0, т. е. при совсем коротком стержне, критическое напряжение σκρ совпадает с разрушающим напря­ жением осждля данного материала. При увеличении гибкости λ

фициент а в формуле (14). Подставляя в формулы (5) и (14) вместо λ значение Х пред, мы должны получить одинаковые ре­ зультаты :

471

Величина а зависит, как видим, только от материала стержня. Ниже даны значения осжи а, вычисленные по формуле (14), для некоторых материалов.

Следует заметить, что критическое напряжение для мягкой стали, определяемое описанным здесь методом, является за­ ниженным. Более точной является формула, предложенная для мягкой стали Ясинским:

Но, пользуясь этой формулой, следует помнить, что она спра­

таблиц имеем минимальный радиус инерции /ті„=/з,=0,78 см, пло­ щадь профиля F = 3,79 см2. Приведенная длина стержня /ПР1Шв

данном случае закрепления концов равна-^- = 50 см. Следователь­

но, гибкость λ= 5ΐΕϊ?= -55_ =64. Гибкость нашего стержня, как

видим, меньше предельной гибкости Хпред=100 для мягкой стали и формула Эйлера здесь неприменима.

472

Воспользуемся формулой Ясинского (15). Получим σκρ = 3387 — 14,83 · 64 = 2437 кг/см2.

Действительное же напряжение

4000 = 1050 кг/см2.

F 3 ,7 9

Искомый запас устойчивости найдем как отношение крити~ ческого напряжения к действительному:

Фиг. 14. 13. График зависимости критических на

пряжений σΚρ от гибкости стержня Х= -"рив (для

I min

дуралюмина марки ДІ). Сопротивление стержня уменьшается с увеличе­

нием его длины.

от гибкости стержня. С увеличением гибкости критическая си­ ла уменьшается. На фиг. 14. 13 показан график, называемый графиком критических напряжений, показывающий, как умень­ шается критическое напряжение σκρ с увеличением гибкости λ стержня для дуралюмина марки ДІ. По оси абсцисс отложены значения гибкости λ, по оси ординат — соответствующие зна­ чения критического напряжения σκρ. В начале графика при λ= = 0 критическое напряжение можно отождествить с разрушаю-

473.

щим напряжением, равным пределу прочности материала при сжатии — 3500 кг/см2. При Х= Хпред = 60 критическое напряже­ ние, определенное по формуле Эйлера, равно 1920 кг/см2. Участок

Графики критических напряжений, подобные приведенному, имеются и для других материалов.

П о д б о р с е ч е н и я . Все предыдущие примеры и задачи, рассмотренные в настоящей главе, имели целью проверку устойчивости (т. е. определение запаса устойчивости) или опре­ деление грузоподъемности готовой конструкции, размеры кото­ рой известны. При проектировании сжатых стержней бывает нужно, наоборот, определить размеры поперечного сечения стержня по заданной нагрузке с заданным запасом устойчи­ вости. В таких случаях обычно действуют методом подбора: сперва задаются размерами сечения произвольно и проверяют устойчивость стержня; если заТіас устойчивости оказывается меньше требуемого, то сечение нужно усилить, в противном случае,— наоборот, уменьшить. Путем проб удается подобрать сечение, удовлетворяющее требуемому запасу устойчивости. При наличии графиков такие расчеты выполняются быстро.

Пример 6. Рассмотрим пример решения задачи подобного рода. Пусть требуется определить диаметр дуралюминового круглого стержня длиной /=30 см, сжатого силой N=2 т, за­ крепленного, как показано на фиг. 14. 9,г. Запас устойчивости должен быть равен 2,5.

Примем диаметр d стержня произвольно,— например, рав­

ным 2 см. Радиус инерции круглого сечения равен — (см.

4

2

пример 1), т. е. в данном случае і = — = 0,5 см. Приведенная

длина стержня I при заданных условиях закрепления равна 0,7/ = 0,7-30 = 21 см. Следовательно, гибкость стержня λ =

1 Для пластичных материалов в пределах 0 < λ sg; 0,5 Хпред критическое

напряжение принимают также равным пределу текучести. В этом случае график на участке от λ=0 до Хпред представляет ломаную линию.

2 В случае сжатия тонкостенных профилей и стержней, имеющих на­ чальную погибь или нагруженных с эксцентриситетом, следует пользоваться графиками, учитывающими указанные обстоятельства (см., например, Спра­ вочник авиаконструктора, т. III).

474

і0,5

сюда /7кр = aKpF= 2200 —£— = 5000 кг = 5 г. Запас устойчивости

5

&= — = 2,5 как раз равен требуемому.

К о э ф ф и ц и е н т ы φ. Выше, на графике критических на­ пряжений, наглядно представлено уменьшение критического напряжения акр при .продольном сжатии стержня с увеличением его гибкости λ. Допускаемое напряжение при продольном сжа­ тии о доп всегда должно быть меньше критического:

где k — коэффициент запаса устойчивости.

Следовательно, допускаемое напряжение также должно умень­

где [о] — допускаемое напряжение на сжатие для данного ма­ териала, т. е. постоянная величина, а φ — переменный в зависи­ мости от λ коэффициент, меньший единицы, называемый коэффи­ циентом уменьшения допускаемого напряжения при сжатии.

При λ= 0 коэффициент φ равен единице, но с увеличе­ нием гибкости λ он в соответствии с вышесказанным должен уменьшаться. Величину φ нетрудно вычислить. Из формулы (17)

475

Задаваясь значениями коэффициента запаса устойчивости к. можно для любого значения гибкости λ найти σκρ и затем φ. При λ = 0 величина k равна коэффициенту запаса прочности для данного материала, но при всех прочих значениях λ она имеет большую величину (см. § 1). Ниже, в табл. 12, даны зна­ чения коэффициентов φ для некоторых материалов в зависи­ мости от λ, вычисленных в соответствии с техническими усло­ виями на проектирование сооружений.

Имея коэффициенты φ, мы можем найти допускаемые напря­ жения для сжатых стержней, следовательно, расчеты на устой­ чивость стержней становятся подобными расчетам на проч­ ность.

Пользование коэффициентами ю покажем на примерах.

Пример 7. Пусть требуется проверить устойчивость сжатого деревянного стержня прямоугольного сечения 4X5 см, концы которого свободно оперты. Длина стержня /=60 см. Сжимаю­ щая сила Ν —2 т. Допускаемое напряжение на сжатие мате­ риала [σ]=200 кгісм2.

Определим гибкость стержня λ. Для этого npeABapnfenb-

5.43

и отсюда радиус инерции

Следовательно,

Теперь отыщем в табл. 12 значение коэффициента φ, соот­ ветствующее найденному значению λ. В сокращенной табл. 12 нет нашего значения λ = 52. Для λ= 50 видим φ=0,80. При воз­ растании λ от 50 до 60 величина ® уменьшается до значения 0,71. Для λ—52 принимаем приблизительно φ=0,78.

Следовательно, допускаемое напряжение для нашего стерж­ ня °w>n = ? И = 0,78-200= 156 кгісм2. Действительное же на-

рассмотрены составные или сложные стержни.

Пример 8. Определим допускаемую нагрузку Л7Д0П на стойку с заделанными концами, составленную из двух стандартных стальных швеллеров № 12, соединенных друг с другом при по­ мощи планок и раскосов (фиг. 14. 14,а). Швеллеры обращены спинками друг к другу (см. внизу поперечное сечение стойки)·,

476

Таблица 12

Коэффициенты φ уменьшения допускаемого напряжения

477

расстояние между центрами тяжести швеллеров с=10 см. До­ пускаемое напряжение материала на сжатие [о]=1400 кг/см2. Высота колонны равна 10 м.

Планки и раскосы связывают два швеллера в один цельный стержень. Определим моменты инерции сечения этого стержня относительно его главных осей ζ0 и ув. Моменты инерции и пло­ щадь сечения одного швеллера имеем из таблиц:

^.ЯН

Фиг. 14. 14. Составные стержни.

а — два швеллера при помощи планок соеди­ нены в единый стержень; 6 — составной стер­ жень из четырех трубчатых стоек; в — со­ ставной стержень из четырех угольников.

Л=346,3 см*, /„=37,4 см*, F= 15,36 см2. Искомые моменты инерции / го и будут /*0 = 2 · 346,3=693 см*, /„„= (37,44-, ,+ 15,36-52)2=843 см*.

Видим, что минимальным является момент инерции отно­ сительно оси z0:

J min = ^ гй ~ 693 СМ*.

Отсюда минимальный радиус инерции

/ 693 .

----------= 4,75 см.

2-15,36

478

Вычисляем гибкость стержня, учитывая, что-расчетная (при­ веденная) длина стержня в данном случае закрепления кон­ цов его равна половине длины стержня

В табл. 12 находим соответствующее значение <р = 0,56. Следовательно, допускаемое напряжение для нашего стержня

Сдоп = ср [з] = 0,56-1400 = 742 кг/см1.

Отсюда допускаемая сжимающая нагрузка

УѴД0П= 742 · 15,36 · 2 = 24 000 кг = 24 т.

Пример 9. Требуется подобрать размеры трубчатых стоек решетчатой колонны (фиг. 14. 14,6), заделанной нижним концом и нагруженной на другом свободном конце осевой сжимающей силой Ν= 12 т. Высота колонны /= 6 м. Расстояние между ося­ ми труб равно а=50 см. Материал — сталь СПК. Допускаемое напряжение на сжатие материала [σ]=2000 кг!см2. Определить также свободную длину /0 одной стойки (расстояние между по­ перечными планками).

Найдем прежде всего радиус инерции сечения колонны. Ко­ лонна состоит из четырех стоек (см. фиг. 14. 14,6 внизу). Обо­ значим площадь сечения одной стойки через /·*. Момент инер­ ции сечения колонны приближенно (пренебрегая моментами инерции сечений стоек, относительно их собственных централь­ ных осей) можно выразить так:

J ^ J y - F ^ - γ ) 4 = ^ .

Отсюда искомый радиус инерции сечения колонны

479

Подходящую трубу находим или при помощи таблиц или подбором. Например, взяв D = 39 мм и t — 1,5 мм, будем иметь

/7„ = πύί(.ρί = π . 3,75-0,15= 1,77 см2.

Сечение трубы мало по сравнению с сечением колонны, и поэтому примененный приближенный прием вычисления момен­ та инерции допустим. В том случае когда размеры сечения стойки значительны и, следовательно, нельзя пренебрегать мо­ ментом инерции его относительно собственной оси, данная за­ дача решается путем подбора и последовательных приближений (см. следующий пример).

Остается определить свободную длину стойки 10. Найдем ее из условия равноустойчивости стойки и всей колонны, т. е. чтобы значения сдоп для отдельной стойки и для всей колонны цели­ ком были одинаковы. А для этого нужно, чтобы гибкость стой­ ки равнялась гибкости колонны:

где і„ — радиус инерции сечения стойки. Следовательно, дол­ жно быть

Λ - λ.

*СТ

откуда

Выше, в § 3 (см. указание к задаче 1), мы определяли ра­ диус инерции сечения круглой тонкостенной трубы. Он равен 0.35D. Следовательно, в нашем случае по формуле (19) полу­ чим такое максимальное допустимое расстояние между план­ ками:

/0 = λ · 0,35.0=48 · 0,35 · 3,8=64 см.

При увеличении этого расстояния может произойти местная потеря устойчивости отдельной стойки.

Пример 10. Пусть предыдущую колонну требуется спроек­ тировать из угольников, как показано на фиг. 14. 14,в, при га­ барите сечения колонны 20X20 см. Материал — сталь 3; допу­ скаемое напряжение [о]= 1400 кг/см2.

П е р в ы й по д б о р . Сперва зададимся значением « произ­

480