Список использованной литературы

1. Семенова Т.И., Кравченко О.М., Шакин В.Н. Вычислительные модели и алгоритмы решения задач численными методами. Учебное пособие/МТУСИ. – М., 2017. – 85 с.

2. Семенова Т.И., Юсков И.О., Юскова И.Б. Алгоритмизация вычислительных задач. Электронное учебное пособие/ МТУСИ. – М., 2017. – 64 с

3. Шакин В.Н., Семенова Т.И., Фриск В.В. Базовые средства математического пакета Scilab. — М.: Горячая линия – Телеком, 2019. — 338с.

Приложение а. Краткое описание используемых методов a.1. Метод Эйлера

Методы Рунге-Кутты - это группа методов, широко применяемых на практике для решения ОДУ. В этих методах при вычислении значения искомой функции в очередной точке используется информация о предыдущей точке , . Методы различаются объемом вычислений и точностью результата. Порядок метода Рунге-Кутты определяется кратностью вычисления значения производной искомой функции f(x,y) на каждом шаге.

В методе Эйлера (Метод Рунге-Кутты первого порядка) вычисление значения искомой функции в точке проводиться в один этап. При этом общая формула для определения очередного значения функции имеет вид:

y_i1  y_i  h f(x_i,y_i )

Метод Эйлера является сравнительно грубым и применяется на практике в основном для проведения ориентировочных расчетов.

Погрешность метода Эйлера связана с величиной шага интегрирования отношением e1 = C* , где C – произвольная постоянная. При уменьшении шага в 2 раза, локальная погрешность уменьшится в 4 раза.

Для обеспечения требуемой точности применяется автоматический выбор шага методом двойного просчета. Цель автоматического выбора шага состоит в том, чтобы подобрать такой шаг вычисления h, при котором в точке численного решения , значения вычислений с шагом h и c шагом h/2 отличались бы на величину, не превышающую заданную погрешность .

Общая формула для оценки погрешности имеет вид

где p=1 для метода Эйлера (Метод Рунге-Кутты первого порядка).

A.2. Интерполяционная формула Лагранжа второго порядка в явном виде

Для решения задачи интерполяции функции полиномом, могут быть использованы различные интерполяционные формулы, одной из которых является формула Лагранжа, активно использующаяся в тех случаях, когда узлы интерполяции не равноотстоящие.

Пусть интерполируемая функция f(x) задана в n+1 узлах, произвольно расположенных друг относительно друга на отрезке [a;b]: y₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), … y_n = f(x_n).

Требуется найти интерполирующий многочлен L_n(x) степени не выше n, удовлетворяющий условиям интерполяции:

L₀ = y₀, L₁ = y₁, … L_n = y_n.

Будем искать L_n(x) в виде :

L_n(x) = Q₀(x)∙y₀ + Q₁(x)∙y₁ + … + Q _n(x)∙y_n,

где Q_i(x) – коэффициенты, зависящие только от узлов x_i (i=0, 1, 2, …n) и текущего значения х.

Для того чтобы выполнялись условия интерполяции, требуется, чтобы в узлах интерполяции коэффициенты Q_i(x) удовлетворяли условию:

Это условие выполняется, если представить Q_i(x) в виде:

Q_i(x) – многочлен n–й степени так, как в числителе произведение n линейных сомножителей. При x = x_i числитель и знаменатель выражения равны, и Q_i(x_i) = 1. При x = x_j (j ≠ i) один из сомножителей числителя обращается в 0, и таким образом Q_i(x_j) = 0 при j ≠ i.

Тогда, общим видом формулы Лагранжа будет:

Для построения интерполяционного полинома Лагранжа второго порядка в явном виде, также может быть использована следующая формула :