Белашевский Г.Е Алгебра и геометрия
.pdf3. |
|
Если |
f :V aW |
|
|
|
|
|
– |
|
линейное |
преобразование, |
то |
||||||||||
f • oSym = Sym o f • , |
|
|
|
где |
|
|
отображение f • :TpoV aTpoW |
||||||||||||||||
задано формулой |
f •T (v |
1 |
,...v |
p |
) =T ( f (v ),... f (v |
p |
)) . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
В координатном представлении |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
(SymT )i ,i ,...,i |
|
= |
|
|
∑Tiσ(1),iσ(2),...,iσ( p) . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p!σ Sp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Пример. |
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
T TpoV , |
p = 2. |
|
Так |
как |
||||||||
S |
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
2 |
, |
|
2 |
1 |
, то |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
SymT |
= 1 (σ1T |
+σ2T ) |
= 1 (T (v1,v2 )+T |
(v2 ,v1 )). |
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
Отображение, |
которое |
|
T TpoV |
ставит в соответствие |
|||||||||||||||||
тензор |
Alt (T ) |
= |
|
|
1 |
|
∑ signσ σ (T ), |
|
называется |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p!σ S p |
|
|
|
|
|||||||||
альтернированием. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В координатном представлении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
(AltT )i ,i |
|
= |
|
|
|
1 |
|
∑ sign σ Tiσ(1),iσ(2),...,iσ( p) . |
|
||||||||||||
|
|
,...,i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
p |
|
|
|
|
|
|
p!σ S p |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор альтернирования обладает свойствами:
1.оператор Alt линейный.
2.Alt o Alt = Alt
3.f • o Alt = Alt o f • .
Множество Alt (TpoV ) – называется множеством
кососимметричных (антисимметрических) тензоров или р – форм.
Множество Alt (TpoV ) является образом линейного отображения и,
135
следовательно, образует подпространство в TpoV , его обозначение -
Alt(TpoV ) ≡ΛpV .
Пусть ωp ΛpV , |
hq ΛqV . Отображение |
|
|
||||||||||
ΛpV × ΛqV → Λp+qV , |
|
|
|
|
|||||||||
ωp hq : = |
( p + q)! |
Alt (ω h) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
p!q! |
|
|
|
|
|
|||||
называется внешним произведением форм. |
|
|
|
||||||||||
Свойства внешнего произведения: |
|
|
|
|
|||||||||
1. ассоциативность (ωp hq ) f r =ωp (hq f r ) ; |
|
||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дистрибутивность |
|||
ωp (hq + f q ) =ωp hq +ωp f q ; |
|
|
|||||||||||
3. косая коммутативность ωp hq = (−1)pq hq ωp . |
|
||||||||||||
Из свойства |
3, |
в частности, |
следует |
ω1 ω1 = 0 . Пусть |
|||||||||
dimV = n . |
Можно |
доказать, |
что |
dim ΛpV = Cnp , |
где |
||||||||
Cnp = |
|
n! |
|
|
, и |
базисом |
линейного пространства ΛpV |
||||||
p!(n − p)! |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
uuuuuuuuuuuuuuuuuur |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
является |
набор |
внешних произведений |
{ei1 ei2 |
.... eip} |
|||||||||
1≤ i1 < i2 <... < ip ≤ n |
базисных |
форм |
сопряженного |
||||||||||
пространства V . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть |
f :U a Rm , точка а U Rn . |
Функция |
f |
называется дифференцируемой в точке а, если существует линейное отображение
L |
f |
:T Rn →T |
f (a) |
Rm |
||
|
|
a |
|
|
||
такое, что f (a + h) − f (a) = Lf |
h + o(h) , где o(h) → 0 |
|||||
при h → 0 . Обозначение: |
|
′ |
|
= dfa = Df (a) . В |
||
Lf = f (a) |
||||||
136 |
|
|
|
|
|
|
случае f :U a R Df (a) на векторе v
Df (a)(v) = ∂i f (a)vi = ∂i f (a)ei (v) = ∂i f (a)dxi (v) . Здесь
принимается ei : = dxi ( dxi – линейная форма!).
Следовательно, Df (a) = ∂i f (a)dxi – линейная форма в точке а.
Выражение
Df (x) = ∂i f (x)dxi , x U
называется дифференциальной 1 – формой на U . Отображение, ставящее в соответствие õ U кососимметричную р – форму
ωp (x) , называется дифференциальной р – формой ωp .
11.Многообразия
11.1.Дифференцируемое многообразие
Пусть М – |
топологическое пространство, U – открытое |
множество в М, |
V – открытое множество в Rn , ϕ :U →V – |
гомеоморфизм (непрерывное взаимно однозначное отображение, имеющее непрерывное обратное отображение).
Топологическое пространство М называется многообразием, еслиx M , U M , x U и гомеоморфизм ϕ :U →V . Пара
(U ,ϕ)
(Uα ,ϕα ) – атласом, если M = Uα . Если точка х принадлежит
областям |
определения |
двух карт(Uα ,ϕα ) и (Uβ ,ϕ β ) , то |
||
Uαβ ≡Uα ∩Uβ ≠ Ø и координаты |
xi (x), xi′(x) |
точки х в |
||
картах |
(Uα ,ϕα ) , |
(Uβ ,ϕ β ) |
соответственно |
связаны |
преобразованием координат
ϕβα :ϕα (Uαβ ) →ϕβ (Uαβ ), |
xi′ =ϕβα (xi ) , |
||||
где ϕ |
βα |
=ϕ |
β |
oϕ−1 . |
|
|
|
|
α |
137
Многообразие М называется дифференцируемым, если все преобразования координат ϕβα – дифференцируемые функции.
Пример. Пусть S – сфера в R3. Топология на S индуцируется топологией R3 . Атлас можно ввести с помощью проектирований точек сферы на координатные плоскости в R3. Все преобразования координат
– дифференцируемые функции из R2 в R2, поэтому S –
дифференцируемое многообразие размерности dim S = 2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Пусть |
|
М, |
|
Н |
– |
|
|
два |
дифференцируемых |
|
многообразия, |
||||||||||||||
dim M = n dim H = n , |
(Uα ,ϕα ) , |
(Vβ ,ψ β ) – локальные карты |
||||||||||||||||||||||||
на |
|
М, |
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
соответственно. |
|
|
|
Отображение |
||||||||||
f : M → H , |
x a y = f (x) |
называется дифференцируемым, |
||||||||||||||||||||||||
если дифференцируемы локальные |
записи |
fβα : y j |
= fβαj (xi ) |
в |
||||||||||||||||||||||
картах (Uα ,ϕα ) , |
(Vβ ,ψ β ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
здесь f |
βα |
(xi ) =ψ |
β |
o f oϕ−1(xi ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
11.2. Касательное пространство |
|
|
|
||||||||||||||||||
Пусть М – дифференцируемое многообразие, I – интервал в R, |
||||||||||||||||||||||||||
γ : I → Ì |
|
– |
параметризованная |
кривая |
на |
М, |
γα : I → Rn |
– |
||||||||||||||||||
локальная |
|
запись |
|
γ , |
|
γ |
α |
(t) =ϕ |
oγ(t) =γ i (t)e |
в |
карте |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
(Uα ,ϕα ) . |
|
Дифференцируя |
равенство |
γβ (t) =ϕβα oγα (t), |
||||||||||||||||||||||
|
|
τ |
|
= dϕ |
|
|
τ |
|
|
|
|
|
τ |
|
= |
dxi′ |
|
τ |
|
= |
dxi |
e |
|
|||
получим |
β |
βα |
α |
, |
|
|
где |
β |
|
e ′, |
α |
dt |
и |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
i |
|
|
i |
|
||||||||
dϕβα (x) ≡ |
Aβα = |
|
|
i′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dγ |
i |
||||||||
|
∂xi |
. |
Так |
|
как |
набор |
|
чисел |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
преобразуется при замене координат, как набор компонентов вектора,
то τβ ,τα |
можно рассматривать |
записи касательного |
вектора |
τ = dγ |
в различных картах. |
Отметим, что из |
свойств |
dt |
|
|
|
138 |
|
|
|
преобразований |
координат |
следуют |
равенства |
||
A = A A , A = A−1 . |
|
|
|||
λα |
λβ |
βα αβ |
βα |
|
|
|
Множество всех касательных векторов в |
точке x M |
|||
называется |
касательным пространством Tx M , |
а объединение |
T (M ) = Tx M – касательным расслоением над М. Касательный
вектор в точке x M к j |
– той координатной линии обозначается |
|
символом ∂j x . Система |
векторов {∂j x} |
образует базис |
касательного пространства |
Tx M , замена базиса |
выполняется по |
формулам ∂j′x = Ajj′∂j x .
Пространство всех линейных форм на Tx M называется
кокасательным пространством и является сопряженным к Tx M ,
обозначение – Tx M . Дифференциалы dxi образуют базис пространства Tx M , причем dxi (∂j x) =δij (взаимные базисы).
Пусть (Uα ,ϕα ) – карта окрестности точки x M , Tx M
– касательное пространство. Тогда можно ввести взаимно однозначное отображение
|
ϕ |
:T M → Rn ,τ aτ |
α |
. |
Если f : M → H |
α x |
x |
|
|
– |
дифференцируемое |
отображение и |
||
fβα : y j = fβαj (xi ) |
– его локальная запись в картах (Uα ,ϕα ) , |
(Vβ ,ψ β ) , то можно определить дифференциал Df (x) равенством
Df (x) :Tx M →Tf ( x) H , v a w = Df (x)(v) ,
где Df (x)(v) =ψβ−1y odfβα oϕαx (v) , и матрица дифференциала dfβα является матрицей Якоби ∂i fβαj .
139
Атлас |
(Uα ,ϕα ) на М |
называется ориентированным, если |
|
α, β |
|
i′ |
> 0 . Многообразие М называется |
det Aβα = det |
∂xi |
||
|
|
∂x |
|
ориентированным, если на нем существует ориентированный атлас.
11.3. Тензорная алгебра на дифференцируемом многообразии
Конструкция тензорного произведения может быть применена к |
|||||
линейным пространствам T M и T M . Например, тензор Т типа |
|||||
|
|
|
|
x |
x |
(1,1) |
в точке |
x M является элементом тензорного произведения |
|||
T M T M и его разложение по базису можно записать в виде |
|||||
x |
x |
|
|
|
|
T (x) =T i |
(x) ∂ |
x dx j |
. Считая точку х переменной, приходим к |
||
|
• j |
|
i |
|
|
тензорному полю типа (1,1) на многообразии М. |
|||||
|
Многообразие М называется римановым, на нем задано гладкое |
||||
метрическое |
|
тензорное поле |
g(x) = gij (x) dxi dx j , матрица |
которого gij (x) симметрична и положительно определена. Задание
метрического поля (метрики) означает, что на каждом касательном пространстве вводится скалярное произведение
v, w Tx M , (v, w) = gij (x)vi w j ,
что превращает Tx M в евклидово пространство. Поля внешних форм |
||||||
на М вводятся с помощью сопряженных пространств T M . Пусть |
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
ωp (õ) Λp (T |
M ) , |
|
|
тогда |
||
|
|
x |
|
|
|
|
ω |
p |
(õ) =ω |
i |
i |
ip |
, |
|
(õ) dx 1 |
Λdx 2 Λ → Λdx |
|
|||
|
|
i i →i |
p |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
где стрелка обозначает суммирование по строго упорядоченной последовательности индексов 1≤ i1 < i2 <... < ip ≤ n .
140
11.4.Ковариантное дифференцирование
Обычное дифференцирование тензорных полей приводит к объектам, не являющимся в общем случае тензорами. Ковариантное дифференцирование не выводит из множества тензорных полей. Пусть Т – тензорное поле типа (p, q) на М. Тогда
T (x) =Tji1ij2 ......ijp |
(x)∂i |
x ∂i x...∂i |
x dx j1 dx j2 ... dx jq , |
|
1 2 |
q |
1 |
2 |
p |
здесь знаки тензорного произведения в базисном элементе опущены для сокращения записи. Ковариантная производная
тензорного поля T (градиент Т) находится по формуле
T (x) = kTji1ij2 ......ijp |
(x)∂i |
x∂i x...∂i |
xdx j1 dx j2 ...dx jq dxk , |
||||||||
|
|
1 2 |
q |
|
1 |
2 |
|
p |
|
|
|
где компоненты kTji1ij2 ......ijp |
тензорного поля T имеют вид |
|
|||||||||
|
|
1 |
2 |
q |
|
|
|
|
|
|
|
i1i2 ...ip |
= ∂k |
|
i1i2 ...ip |
i |
ii2 ...ip |
ip i i |
...i |
|
|||
kTj j ... j |
q |
Tj j |
... j |
+Γik1 |
Tj j ... j |
+... +ΓikTj1j2 |
... |
j |
|||
1 2 |
|
|
1 2 |
q |
|
1 2 |
q |
1 2 |
|
q |
|
|
|
−Γjj |
kTjji1i2......jip |
−... −Γjj |
kTji1ij2 ......ijp . |
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
q |
|
q |
|
1 2 |
|
|
Тип нового тензорного поля T – (p, q+1).
:
1.(T + H ) = T + H .
2.(T H ) = T H +T H .
3.(ST ) = S ( T ) , где S – свертка по паре индексов.Свойства операции
Набор функций { Γijk } называется аффинной связностью на М. Эти функции обеспечивают тензорный характер ковариантного
дифференцирования, сам |
же набор { Γk |
} |
тензором |
не |
является. |
|||
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
Действительно, для |
векторного |
поля V =V i∂i x |
из |
последней |
||||
формулы |
следует |
V i |
= ∂ V i + Γi V j . |
|
Используя |
|||
|
|
|
k |
k |
|
jk |
|
|
обозначение |
Ak′ = |
∂xk′ |
, можно записать: |
|
|
|
|
|
|
k |
∂xk |
|
|
|
|
|
|
kV i = Akk′∂k′ (Aii′V i′ ) + Ajj′ΓikjV j′ = Akk′ Aii′∂k′V + Akk′∂k′ Aii′V i′ + Ajj′ΓikjV j′
.
141
С другой стороны,
V i = Ak′ Ai′ |
′V i′ = Ak′ Ai′(∂ |
′V i′ + Γi′′ ′V j′) . |
|
k |
k i k |
k i k |
k j |
Сравнивая эти два выражения и учитывая то, что равенство должно выполняться для любого поля V , получим
Ak′ Ai′Γi′′ ′ = Ak′∂ |
′ Ai′ |
+ A j′Γi |
. Тогда закон преобразования Γk |
: |
||||
k i k j |
k |
k |
i |
j kj |
|
|
ij |
|
|
Γi |
= A j′ Ak′ Ai′Γi′′ ′ −A j′ Ak′∂ |
′ Ai′ . |
|
||||
|
kj |
|
j |
k i |
k j |
j k k |
i |
|
Задание аффинной связности на многообразии М в общем случае не связано с заданием метрики на М.
Тензором кручения аффинной связности { Γijk } называется
объект Ωi |
= Γi |
|
−Γi |
. Проверка тензорных свойств проводится с |
||||||||||||||||||||
|
|
jk |
|
|
jk |
|
kj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
помощью |
закона |
преобразования Γk . Связность Γk |
называется |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
симметричной, если тензор кручения равен нулю. |
{ Γk |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Симметричная |
аффинная |
|
связность |
} |
называется |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
согласованной |
с |
|
метрикой g |
(или |
римановой |
связностью), если |
||||||||||||||||||
g = 0 . Из равенства k gij |
= 0 можно получить выражения для |
|||||||||||||||||||||||
римановой связности { Γk |
}, единственной связности, согласованной с |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метрикой g: |
|
|
|
|
|
|
|
∂gsj |
|
|
∂gij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
à |
k |
= |
1 |
g |
ks ∂g |
is |
+ |
− |
, где |
g |
|
g |
kj |
=δ |
|
j |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
∂xi |
|
∂xs |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ij |
|
|
∂x j |
|
|
|
|
ik |
|
|
|
i |
|
|
11.5.Параллельный перенос и геодезические
Ковариантная производная позволяет ввести производную тензорного поля по направлению. Пусть v = v p∂p x – векторное поле на М. Тогда производная тензорного поля по направлению v
142
T = |
k |
T i1i2 ...ip |
(x)∂ |
i |
x...dx jq dxk (v p∂ |
p |
x) = |
||||||||
v |
j |
j ... |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
q |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= kTji1ij2 ......ijp |
(x)∂i x...dx jq v pdxk (∂p x) = |
|
|||||||||||||
1 2 |
|
q |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i1i2 ...ip |
(x)∂i |
x...dx |
jq |
v |
p k |
|
|
||||||
= kTj |
j |
... j |
q |
|
|
δp . |
|
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
И окончательно T = vk |
T i1i2 ...ip |
(x)∂ |
i |
x...dx jq . |
|
|
|||||||||
v |
|
|
|
|
k |
j |
j ... j |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
q |
|
1 |
|
|
|
|
|
Если Т – тензор типа (p, q), то и его производная по направлениюvT – тензор того же типа.
Пусть γ : I → Ì – гладкая параметризованная кривая на М,
τ = ddtγ – её касательный вектор, Т – тензорное поле типа (p, q),
тогда определена производная по направлению τT .
Гладкое векторное поле Т называется параллельным вдоль кривой γ ,
если τT = 0. В локальных координатах
dxk ∂T i |
+T p dxk |
Γi |
= dT i |
+T pΓi |
dxk |
= 0. |
||
dt ∂xk |
|
dt |
pk |
|
dt |
pk |
dt |
|
Система уравнений |
dT i +T pΓi |
dxk |
= 0 называется системой |
|||||
|
|
dt |
|
pk |
dt |
|
|
|
уравнений параллельного переноса вдоль кривой γ . Пусть V,W – два параллельных векторных поля вдоль кривой γ , тогда скалярное
произведение (V,W) |
= const вдоль кривой γ . Кривая |
γ : I → Ì |
|||||||
называется |
|
геодезической, |
если |
ττ = 0. |
Уравнения |
||||
d 2 xi |
+ Γ |
i |
dx p |
dxk |
= 0 называются уравнениями геодезических. |
||||
dt2 |
pk |
dt |
dt |
||||||
|
|
|
|
|
143
11.6. Тензор кривизны (тензор РиманаКристоффеля)
Известно, что для функции двух переменных x3 = f (x1, x2 ) ,
выполняется равенство |
|
|
|
|
∂2 f |
|
|
= |
|
|
∂2 f |
|
|
. В случае ковариантного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x ∂x |
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
V i ≠ |
|
V i . |
||||||||||||||||||||||||||
дифференцирования |
|
в |
|
|
общем |
|
|
случае |
|
|
k |
p |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
||||
Вычислим вторую ковариантную производную векторного поля V. Для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
этого |
|
|
|
|
|
|
введем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V i |
≡T i |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
T i |
= V i = |
∂V i |
+ Ãi |
|
V s |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
∂x p |
|
|
|
|
|
|
ps |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂T i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
V i = |
|
T i |
= |
|
|
|
|
|
p |
|
|
+ Ãi |
T s − Ãs |
T i |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
p |
|
|
|
|
k |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
ks p |
|
|
|
|
|
|
kp s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∂ |
|
|
|
∂Vi |
i |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
i |
∂Vs |
|
|
|
|
s |
|
l |
|
|
|
|
|
s |
∂Vi |
|
|
|
i |
l |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p +ÃpsV |
|
+ |
|
Ãks |
|
|
|
p +ÃplV |
|
|
|
−Ãkp |
|
|
|
s +ÃslV |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
k |
|
∂x |
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Ãips |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
∂2Vi |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
i ∂Vs |
|
|
i ∂Vs |
|
|
s ∂Vi |
|
|
i |
|
s |
|
|
l |
|
|
|||||||||||||||||||||
V |
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
V |
|
+ |
à |
|
|
|
|
+ |
à |
|
|
|
|
|
|
|
−Ã |
|
|
|
|
|
|
+Ã Ã V |
− |
|
||||||||||||||||||||||||
∂xk∂xp |
|
∂xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ks ∂xp |
|
|
ks ∂xp |
|
|
kp ∂xs |
|
|
ks pl |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
−Ãs |
|
Ãi V l . Аналогично получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
kp |
|
sl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Vi |
= |
|
|
∂2Vi |
+ |
∂Ãksi |
Vs +Ãi ∂Vs +Ãi ∂Vs |
− |
Ãs ∂Vi |
+ |
Ãi |
ÃsVl |
−Ãs Ãi |
Vl |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂xp∂xk |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. |
p k |
|
|
|
|
|
|
∂xp |
|
|
|
|
|
|
|
ks ∂xp |
|
|
ps ∂xk |
|
|
|
pk ∂xs |
|
|
|
|
ps kl |
|
|
|
|
|
pk sl |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
∂Ãips |
|
|
|
∂Ãi |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
i |
|
|
|
l |
|
s |
|||||||||
|
k |
V |
|
|
− |
p |
V |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
ks |
+ Ã |
kl |
à |
ps |
− |
à |
pl |
à |
|
V |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂x |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ks |
|
|||||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Ãips |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
• • |
l |
|
= |
|
− |
∂Ãi |
|
+ |
à |
i |
|
à |
l |
|
− |
à |
i |
|
à |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Тензор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ks |
|
|
|
|
|
|
|
называется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s k p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x p |
|
|
|
|
|
|
kl |
|
|
ps |
|
|
|
|
|
pl |
|
|
ks |
|
|
|
|
|
|
|
|
тензором кривизны (тензором Римана-Кристоффеля).
144
Равенство |
T • |
• |
i |
= 0 |
означает, что пространство |
допускает |
||
|
s |
k |
p |
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
n2 |
n2 |
||
|
|
|
|
|
|
−1 |
евклидову систему координат. Тензор кривизны имеет
12
независимых компонент (n – размерность многообразия М). В
частности при n = 2 (поверхность) тензор имеет одну компоненту – гауссову кривизну К.
Свойства:
1. |
T • • i |
= −T • • i . |
|
|
|
|
|||||
|
s |
k |
p |
|
s |
p |
k |
|
|
|
|
2. |
T • |
• |
i |
+T • |
• |
i |
+T • |
• |
i |
= 0 – тождество Риччи. |
|
|
s |
k |
p |
k |
p |
s |
p |
s |
k |
|
|
3. |
T • • i |
+ T • • |
i |
|
+ T • • i |
= 0 – тождество |
|||||
|
|
m s k p |
|
|
k s p m |
|
p s m p |
|
Бианки.
Свертка тензора кривизны по паре индексов приводит к симметричному тензору, который называется тензором Риччи.
11.7.Внешнее дифференцирование
|
|
Пусть задана форма ωp (õ) Λp (T M ), где |
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
ω |
p |
(õ) =ω |
|
i |
i |
Λ →Λdx |
ip |
(стрелка обозначает |
|
→i |
(õ)dx 1 |
Λdx 2 |
|
||||
|
|
i i |
p |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
суммирование по строго упорядоченной последовательности индексов
1≤ i1 < i2 <... < ip ≤ n ). |
Значение |
базисной формы на |
||||
последовательности |
векторов |
|
(x1, x2 ,..., xp ) |
из |
||
T x M ×Tx M ×...×Tx M |
вычисляется |
по |
формуле |
|||
144424443 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
dxi1 Λdxi2 Λ → Λdxip (x , x ,..., x |
p |
) = X i 1i2 ...ip . |
Здесь |
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
– ориентированный объем р – мерного параллелепипеда, построенного на проекциях векторов (x1, x2 ,..., xp ) на
координатную р – мерную плоскость базисных векторов
(∂i1 x,∂i2 x,...,∂ip x),
145
|
i |
i |
... |
x |
ip |
|
|
x 1 |
x 2 |
|
|
||
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
X i 1i2 ...ip = |
i |
i |
... |
|
ip |
|
x21 |
x22 |
x2 |
. |
|||
|
... ... ... ... |
|
||||
|
i |
i |
... |
|
ip |
|
|
xp1 |
xp2 |
xp |
|
На множестве дифференциальных форм вводится операция внешнего дифференцирования d.
Линейное отображение d : Λð (Tx M ) → Λð+1(Tx M ) называется
внешним дифференциалом, если:
1. d( f ) = df , т.е. внешний дифференциал от обычной функции f совпадает с её обычным дифференциалом (по определению
Λ0 (T M ) – множество обычных функций и f Λ0 |
(T M ) ). |
||
|
x |
|
x |
2. |
d(ωΛψ ) = dω Λψ + (−1)degωωΛdψ , где |
degω – |
|
степень формы ω. |
|
|
|
3. |
d(dω) = 0. |
|
|
Пусть ωp (õ) =ωi1i2 →i p (õ)dxi1 Λdxi2 Λ → Λdxip ,
тогда
dωp (õ) = dωi1i2 →i p (õ)Λdxi1 Λdxi2 Λ → Λdxip = ∂jωi1i2 →i p (õ)dx j Λdxi1 Λdxi2 Λ → Λdxip .
Операция внешнего дифференцирования является обобщением
операций градиента, ротора и дивергенции в векторном исчислении в
R3.
Пример. Пусть f – гладкая функция, тогда
d( f ) = df = ∂ f dx1 + ∂ |
2 |
f dx2 + ∂ |
3 |
f dx3 = grad f . |
|
1 |
|
|
|
||
Используя предыдущие обозначения, можно записать: |
|||||
f Λ0 (R 3 ), df Λ1(R 3 ) . Полагая по определению |
|||||
ω0f := f , ωv1 := v1dx1 + v2dx2 + v3dx3 , получим |
|||||
dω0f =ω1grad f (vi ≡∂i |
f ) . Аналогично можно записать другие |
||||
146 |
|
|
|
|
|
формулы векторного анализа dωw1 =ωrot2 w , dωw2 =ωdiv3 w , где
ωw2 = w1dx2Λdx3 + w2dx3Λ dx1 + w3dx1Λ dx2 Λ2 (R 3 ) и ω3f = f dx1Λ dx2Λ dx3 Λ3 (R 3 ) .
11.8. Перенос и интегрирование дифференциальных форм. Формула Стокса
Если l : Rm → Rn – линейное отображение и ωk : Rn → R – внешняя к – форма, то возникает «сквозное» отображение
ωk ol : Rm → R , |
которое является внешней к – |
формой и |
||||
обозначается l ωk ≡ωk ol . |
|
|
|
|||
Для |
v = l(w ) |
l ωk (w ,K, w ) =ωk (lw ,K,lw ) . |
||||
|
i |
i |
1 |
k |
1 |
k |
Отображение |
l : Λk (R n ) → Λk (R m ) |
|
называется |
переносом |
формы (с Rn на Rm). Перенос форм – линейная операция, обладающая свойствами: (h o f ) = f oh , f * (ωk Λωt ) = f ωk Λ f ωt
и f d = df . |
|
Пусть многообразие |
М |
– поверхность |
в Rn |
||||
( dim M = m ), |
|
M P Rn , и |
в |
области |
P |
задана |
|||
дифференциальная |
к |
|
– |
|
форма |
||||
ωk (x) =ω |
→i |
(x) dxi1 Λ → Λ dxik , x M , определенная на |
|||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
векторах касательного пространства T Rn . |
Так как T M T Rn , |
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
x |
то можно ввести дифференциальную к – форму ωk |
|
P |
как сужение |
||||||
|
|||||||||
ωk (x) , действующую на векторы из |
|
|
|
|
|
||||
касательного |
пространства |
||||||||
Tx M . Если (U ,h) – локальная параметризация, |
|
|
|||||||
h :U Rm →V M , t a x = h(t) , |
|
||||||||
можно |
|
|
ввести |
перенос |
|
формы |
h ωk (t) =ω(h(t))(h′w1 ,K,h′wk ) ,
147
или в координатной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
h ωk (t) =ω |
→i |
(x(t)) Ai1→ik dt j1 Λ → Λdt jk , где |
|
|
||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
j |
→ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
k |
|
|
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xi1 |
K |
|
∂xi1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
∂t |
j |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Aij1→→ikj |
= det |
|
1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
K |
K |
|
K . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
∂xi k |
|
|
∂xik |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
j1 |
|
∂t |
jk |
|
|
|
|
||
Частный случай. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть m = n = k , |
|
n |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ΛKΛ dt |
. Считая, что |
||||||||
тогда h |
(dx ΛKΛ dx |
|
) = det h (t)dt |
|
||||||||||||||||
V = h(U ), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
ΛKΛdx |
n |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
1 |
n |
||||
∫ f dx = ∫ fdx |
|
= ∫ f (h(t))det h (t)dt ΛKΛdt |
|
|||||||||||||||||
V |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Обозначим ω = fdx , тогда окончательно |
∫ ω = ∫h ω . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(U ) |
|
|
U |
|
|
|
||
Многообразие М называется многообразием с краем, если в любой |
||||||||||||||||||||
локальной |
системе координат |
xi (x) |
выполняется: |
|
xn (x) ≥ 0 . |
Точка x M , в которой xn (x) > 0 , называется внутренней точкой
М, если же xn (x) = 0 , то граничной. Множество граничных точек М
называется границей М и обозначается символом ∂M . Если dim M = n , то dim∂M = n −1. Ориентация М позволяет ввести
ориентацию ∂M , |
приняв в |
качестве атласа пересечения |
(Uα ∩∂M , ϕα ) |
и полагая локальные координаты ( y1,K, yn−1) |
|
на ∂M равными (x1,K, xn−1) . |
Пусть ω – дифференциальная |
форма степени n-1. Тогда справедлива формула Стокса
(−1)n ∫dω = ∫ ω .
M ∂M
Формула Стокса обобщает известные из векторного анализа классические формулы Грина, Стокса и Остроградского – Гаусса.
148
12. Библиографический список
Модуль 1.
1.Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры./ Д.В. Беклемишев – М.: Наука, 1984.
2.Шевцов, Г.С. Линейная алгебра./ Г.С. Шевцов – М.: Гардарики, 1999.
3.Проскуряков, И.В. Сборник задач по линейной алгебре / И.В. Проскуряков – М.: Юнимедиастайл, 2002.
Модуль 2.
4.Александров, П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры/ П.С. Александров – М.: Наука, Главная редакция физикоматематической литературы, 1979.
5.Постников, М.М. Аналитическая геометрия./ М.М. Постников – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1973.
6.Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии / А.А. Бурдун, Е.А.Мурашко, М.М.Толкачев, и др.- Минск: Университетское, 1989.
7.Моденов, П.С. Сборник задач по аналитической геометрии /
П.С. Моденов, А.С. Пархоменко – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.
Модуль 3.
8.Мищенко, А.С. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии./ А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004.
9.Позняк, Э.Г. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство / Э.Г. Позняк, Е.В Шикин – М.: Изд-во МГУ, 1990.
10.Абрамов, А.А. Введение в тензорный анализ и риманову геометрию: учеб. пособие для вузов/ А.А. Абрамов – 2-е изд. – М.: Изд-во физ. – мат. лит., 2004.
11.Новиков, С.П. Элементы дифференциальной геометрии и топологии / С.П. Новиков, А.Т. Фоменко – М.: Наука, 1987.
12.Дифференциальная геометрия: учеб. пособие для мат. спец. вузов. / под ред. А.С. Феденко. – Минск: Изд-во БГУ, 1982.
13.Постников, М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия: учебное пособие для вузов / – М.: Наука, 1987.
14.Фоменко, А.Т. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире. / А.Т. Фоменко – М.: Изд-во Моск. унта, 1992.
15.Трофимов, В.В. Введение в геометрию многообразий с симметриями / В.В. Трофимов – М.: Изд-во МГУ, 1989.
149
16.Зуланке, Р. Дифференциальная геометрия и расслоения. / Р. Зуланке, П. Винтген – М.: Мир, 1975.
17.Торп, Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии./ Дж.
Торп – М.: Мир, 1982.
18.Кострикин, А.И. Линейная алгебра и геометрия: учеб. пособие для вузов./ А.И. Кострикин, Ю.И. Манин – 2-е изд., перераб. – М.:
Наука, 1986.
19.Стернберг, С. Лекции по дифференциальной геометрии./ С. Стернберг – М.: Мир, 1970.
20.Неструев, Дж. Гладкие многообразия и наблюдаемые./ Дж. Неструев – М.: МЦНМО, 2000.
21.Трофимов, В.В. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений./ В.В Трофимов, А.Т. Фоменко – М.: Факториал, 1995.
150
Учебное издание
Белашевский Геннадий Егорович Калугин Николай Александрович Чостковская Ольга Петровна Старинова Ольга Леонардовна
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие
Технический редактор Э. И. К о л о м и е ц Редакторская обработка Т. К. К р е т и н и н а Корректорская обработка А. А. Н е ч и т а й л о Доверстка Е. А. Л а р и о н о в а
Подписано в печать 10.10.07. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 10,0
Тираж 120 экз. Заказ |
. ИП25/2007. |
Самарский государственный аэрокосмический университет.
443086 Самара, Московское шоссе, 34.
Изд-во Самарского государственного аэрокосмического университета.
443086 Самара, Московское шоссе, 34.
151 |
152 |