Белашевский Г.Е Алгебра и геометрия

Заключение

Модуль ни в коей мере не претендует на то, чтобы заменить фундаментальные труды по аналитической и проективной геометрии.

Автор сочтет свою задачу выполненной, если читатель получит ясное представление об основах проективной геометрии и научится решать задачи, аналогичные рассмотренным в пособии.

Автор также надеется, что пособие вызовет у читателя интерес к проективной геометрии, послужит базой для ее дальнейшего изучения и окажет помощь в решении практических задач.

95

IIIДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

Дифференциальная геометрия и тензорный анализ являются естественным математическим языком для описания и исследования различных задач физики, аналитической механики, механики жидкости и газа, механики деформируемых сред. Такая широта охвата обусловлена универсальностью понятий тензора и многообразия. На многообразии достаточно просто строится дифференциальное и интегральное исчисление тензорных полей. Это позволяет создавать математические модели различных физических процессов и проводить эффективный аналитический и числовой анализ моделей.

В пособии излагаются основы дифференциальной геометрии и тензорного анализа. Теоретическую часть пособия поддерживают задачи. Их цель – закрепление теоретических положений и применение для постановки и решения прикладных задач. Необходимым условием успешного усвоения дифференциальной геометрии и основ тензорного анализа является самостоятельная работа студентов.

Особенностью пособия является отсутствие рисунков и нумерации приводимых формул. Отсутствие нумерации связано с желанием «иметь всё перед глазами» и избавить читателя от необходимости перелистывать страницы в поисках нужного.

Дополнение содержания графиками, диаграммами и рисунками рассматривается как «неявно заданный» сборник задач, яркие примеры решений которых приведены в книгах А.Т. Фоменко «Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире» и А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко «Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии».

96

8.Геометрия кривых

8.1.Определения

Линия на плоскости обычно понимается как подмножество точек плоскости, выделяемое с помощью какого-либо условия. Аналитическое задание линии можно выполнить, если ее

рассматривать как график функции f : I → R , где I – некоторый интервал R. Однако для задания, например, всей окружности нужно уже использовать соотношение F(x, y) = 0. Вместе с тем согласно

теореме Уитни для любого замкнутого подмножества С аффинного пространства (в частности, плоскости) существует бесконечно

дифференцируемая функция F(x, y) , такая,

что(x, y) C F(x, y) = 0 и множество С может оказаться совершенно непохожим на линию. В этом случае обычно вводятся дополнительные условия на функцию F(x, y) , которые

обеспечивают существование линии как графика неявно заданной функции.

8.2. Параметризованная кривая

Пусть A – аффинное пространство, V – ассоциированное линейное пространство, I – некоторый интервал R. Непрерывное отображение

γ : I → A: t →γ (t) называется параметризованной кривой (t –

кривой), множество γ(I ) – носителем t – кривой γ . Носитель t –

кривой может выглядеть достаточно сложно (кривая Пеано проходит через все точки квадрата). В аналитической механике t – кривой соответствует траектория (носитель) движения точки по заданному закону. Параметризованная кривая называется простой, если

отображение γ : I → A инъективно и взаимно непрерывно. Носитель простой t – кривой называется простой кривой. Пусть

координатные функции xi =γ i (t), i =1,n класса Cr . Выберем в

97

называется регулярной в точке to I , если r′(to ) ≠ o , и регулярной

на I, если она регулярна во всех точках I.

Пусть α : I → A: t →α(t) и β : J → A:τ → β(τ) .

Параметризованные кривые α, β называются эквивалентными, если

ассоциированное евклидово пространство, dimV = 3. Параметр s

натуральный параметр.

Теорема. Каждой регулярной t – кривой можно поставить в соответствие эквивалентную s – кривую.

> Пусть ρ : I →V : ρ(t) = ei yi (t) регулярная t – кривая.

h : I → R : t → s = h(t) формулой

h(t) = ∫t ρ′(τ) dτ , t, to I .

to

98

параметр.< Натуральная параметризация единственна с точностью до выбора

начальной точки и направления отсчета длины.

8.4. Кривая

Подмножество Γ À называется кривой, если a Γ существуют окрестность W точки а, W Γ, a W и регулярная t –

параметризацией кривой Г в окрестности точки а. Кривая Г называется простой, если существует глобальная параметризация кривой Г.

Семейство параметризаций {γ p : I p → A}, (р – индекс)

называется ориентацией кривой Г, если:

А1. Объединение носителей параметризаций покрывает кривую Г, А2. На каждом пересечении пары носителей соответствующие параметризации положительно эквивалентны.

Кривая Г называется ориентированной, если на ней задана ориентация. Пусть кривая Г ориентирована. Локальная параметризация

γ : I →W Ã называется согласованной с ориентацией Г, если на пересечениях γ(I ) ∩γ p (I p ) параметризации положительно эквивалентны.

99

8.5. Кривизна

Пусть W Γ дуга кривой Г, r(t) = ei xi (t) – её локальная параметризация, t I = (α, β) . Длина l(W ) дуги W вычисляется

по формуле

β

l(W ) = ∫r′(t) dt .

α

Теорема. Длина дуги кривой не зависит от выбора локальной параметризации.

кривизна вычисляется по формуле

100

3.Выразить из полученного соотношения κ2 и, используя

тождество Лагранжа для векторов a, b, c, d, получить требуемую формулу.<

Задача. Пусть ρ : I →V : ρ(t) = ei yi (t) регулярная t –

кривая. Доказать, если кривизна во всех точках кривой равна нулю, то носитель кривой лежит на прямой.

>Перейти к эквивалентной s – кривой. <

8.6.Репер Френе

главной нормали и вектором бинормали соответственно. Для t – параметризации

101

τ′(t) = ρ′(t) k(t)n(t) , b′(t) = −ρ′(t)χ(t)n(t) , получим n′(t) = ρ′(t) (−k(t)τ(t) + χ(t)b(t)) .

Вычислим b′(s) .

Имеем

b′(s)=(k(1s)r′(s)×r′′(s))′=(k(1s))′r′(s)×r′′(s)+k(1s)r′(s)×r′′′(s).

Свойства эволюты:

•касательная к эволюте совпадает с нормалью к эвольвенте,

•длина дуги эволюты равна разности радиусов кривизны эвольвенты в начале и конце дуги.

8.10.Локальное строение кривой

Пусть γ : J → A, r(s) = ei xi (s) – s – кривая, τ(s), n(s), b(s) – репер Френе. Принимая пары векторов репера

Френе в качестве направляющих векторов плоскости, получим три плоскости:

•соприкасающаяся плоскость с направляющими векторами

τ(s), n(s) ;

• спрямляющая плоскость с направляющими векторами

τ(s), b(s) ;