8.4. Рекурсия
Рекурсивным называется объект, который частично определяется через самого себя. Рассмотрим функцию n!
n!:= 1 * 2 * 3 *..* n;
Такое произведение можно вычислить с помощью интерактивных циклических конструкций.
f:=l;
for i:=l to n do f := f * i;
Однако существует другое определение факториала, в котором используется рекуррентная формула. Тогда, факториал определяется следующим образом:
0! = 1;
для любого n > 0 n! = n* (n-1)!;
Организация вычисления по рекуррентным формулам можно и без использования рекурсий. Однако при этом встаёт вопрос о качестве программы и доказательстве её эквивалентности формы.
Использование рекурсии позволяет почти дословно запрограммировать вычисление по рекуррентным формулам.
Так, прямая формула чисел Фибоначчи:
F(1)=l;
F(2)=l;
для любого n > 0 F(n) = F(n-l) + F(n-2);
8.4.1. Вычисление факториала
Для написания рекурсивных алгоритмов необходимо и достаточно наличие понятия процедуры и функции.
Рекурсия - это такой способ организации вычислительного процесса, при котором подпрограмма в ходе выполнения составляющих её операторов обращается сама к себе.
Рассмотрим классический пример — вычисление факториала. Программа вводит с клавиатуры целое число N и выводит на экран значение n!, которое вычисляется с помощью рекурсивной функции Fасt. Для выхода из программы необходимо либо ввести достаточно большое целое число, чтобы вызвать переполнение при умножении чисел с плавающей запятой, либо нажать Ctrl-Z и Enter.
При выполнении правильно организованной рекурсивной подпрограммы осуществляется многократный переход от некоторого текущего уровня организации алгоритма к нижнему уровню последовательно до тех пор, пока, наконец, не будет получено тривиальное решение поставленной задачи. В ниже приведённом примере решение при n=0 тривиально и используется для остановки рекурсии.
Пример 8.3.
Листинг программы
Program Factorial;
{$S+} {Включаем контроль переполнения стека}
var n : integer;
function Fасt (n : integer) :real;
{Рекурсивная функция, вычисляющая n!}
begin
if n < 0 then writeln ('Ошибка в задании N')
else
if n = 0 then Fact := 1
else Fact := n * Fact (n-1);
end;
begin
repeat
readln (n);
writeln ('n! = ', Fact (n));
until EOF;
end.
Рекурсивная форма организации алгоритма обычно выглядит изящнее итерационной и даёт более компактный текст программы, но при выполнении, как правило, медленнее и может вызвать переполнение стека (при каждом входе в программу её локальные переменные размещаются в особым образом организованной области памяти, называемой программным стеком). Переполнение стека особенно ощутимо сказывается при работе с сопроцессором: если программа использует арифметический сопроцессор, результат любой вещественной функции возвращается через аппаратный стек сопроцессора, рассчитанный всего на 8 уровней. Если, например, попытаться заменить тип real функции Fасt на Extended, программа перестанет работать уже при n = 8. Чтобы избежать переполнения стека сопроцессора, следует размещать промежуточные результаты во вспомогательной переменной. Правильный пример для работы с типом Extended:
Пример 8.4.
Листинг программы
Program Factorial; {$S+, $N+, $E+}
{Включаем контроль переполнения стека и работу сопроцессора}
var n : integer;
function Fact (n : integer) :real;
var F : extended;
{Рекурсивная функция, вычисляющая n!}
begin
if n < 0 then writeln ('Ошибка в задании N')
else
if n = 0 then Fact := 1
else
begin
F:= Fact (n-1);
Fact := F * n;
end;
end;
begin
repeat
readln (n);
writeln ('n! = ', Fact (n));
until EOF;
end.
Напишем процедуру, которая будет бесконечно печатать некоторую фразу. Обратим внимание, если операторы переставить.
Например,
Uses crt;
Procedure pop;
Begin
Writeln ('\У попа была собака...');
Pop;
End;
Begin
Pop;
End.
Но, если в теле процедуры изменить последовательность операторов:
Например,
Uses crt;
Procedure pop;
Begin
Pop;
Writeln ('У попа была собака...');
End;
Begin
Pop;
End.
Такое качество алгоритма вытекает из того, что рекурсивная процедура указывает, что нужно делать.
В нашем примере вызов копии процедуры происходит раньше, чем вызов процедуры.