- •Ступенчатое воздействие. Функция Хевисайда. Переходная характеристика эц, ее связь с операторной передаточной функцией. Интеграл Дюамеля.
- •Интеграл Дюамеля
- •Импульсное воздействие. Единичная импульсная функция (функция Дирака). Импульсная характеристика эц, ее связь с операторной передаточной функцией. Интеграл наложения.
- •Импульсная характеристика эц
- •Интеграл наложения
Ступенчатое воздействие. Функция Хевисайда. Переходная характеристика эц, ее связь с операторной передаточной функцией. Интеграл Дюамеля.
Единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда) 1(t) определяется следующим образом:
1(t) = (1)
График функции 1(t) показан на рис. 1.
1(t)
1(t-)
Рис. 1. Рис. 2.
Функция 1(t) равна нулю при всех отрицательных значениях аргумента и единице при t . Введем в рассмотрение также смещенную единичную ступенчатую функцию
1(t-) =
Такое воздействие включается в момент времени t = .
Напряжение в виде единичной ступенчатой функции на входе цепи будет при подключении источника постоянного напряжения U0 =1 В при t = 0 с помощью идеального ключа (рис. 8.3).
Рис. 3.
Переходной характеристикой h(t) называется реакция цепи на воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1(t). Переходная характеристика определяется при нулевых начальных условиях.
Переходная функция характеризует цепь в переходном режиме, так как она является реакцией на скачкообразные, т.е. довольно тяжелые для любой системы воздействия. Кроме того, как будет показано ниже, с помощью переходной характеристики может быть определена реакция цепи на произвольное воздействие.
Связь переходной характеристики h(t) с операторной передаточной функцией Н(р).
По определению, операторная передаточная функция
(2)
где - изображение воздействия цепи ( или );
- изображение реакции цепи ( или ).
Из (2) следует, что
. (3)
Если в качестве воздействия на цепь подать единичную ступенчатую функцию , то ее изображение будет . При этом реакцией цепи будет переходная характеристика цепи . Изображение реакции цепи можно найти, воспользовавшись выражением (3):
(4)
Формула (4) выражает связь между переходной характеристикой цепи и операторной передаточной функцией а также позволяет определять переходную характеристику цепи по известной операторной передаточной функции .
Пример. Определить переходную характеристику последовательной RC-цепи (рис. 4).
Воздействием является входное напряжение u1(t)=, а реакцией - напряжение на емкости u2(t)=.
Рис. 4. Рис. 5.
Найдем , для этого рассмотрим операторную схему замещения RC-контура при нулевых начальных условиях (рис. 5).
Определим , воспользовавшись (4)
Перейдем от изображения переходной характеристики к , воспользовавшись справочной таблицей, которая содержит пары оригинал изображение для различных функций времени
График переходной характеристики показан на рис.8.6:
Рис. 6