Пример 7.3

Расширением РС-кода (3,2) с g(x)=x+α и D =2 является РС-код (4,2) с D =3, порождающий многочлен которого равен g(x)(x+1)(x+α)=x²+α²x+α, а порождающая матрица имеет вид

.

7.1.2. Укороченные рс-коды

РС-коды, как и всякие групповые коды, можно укорачивать за счет сокращения числа информационных элементов. Очевидно, что при этом кодовое расстояние укороченного кода остается в точности тем же, что у исходного кода D=N–K+1. В общем случае укороченный РС-код в отличие от исходного не является циклическим.

Существует также способ построения циклического РС-кода над полем GF(q) с длиной кодовой комбинацииN<q–1. Рассмотрим, как определяется порождающий многочлен для такого РС-кода. Если α–примитивный элементGF(q), то его порядокl=q–1 и каждый ненулевой элементGF(q) может быть найден, как некоторая степеньα. Порядокl_sкаждого элемента α^sGF(q) является делителемq–1, так как для каждого α^sGF(q) справедливо равенство:

(α^s)^q–1=1.

Пусть в поле GF(q) существует элемент α^s, порядок которого 1<l_s<q–1. Тогда совокупность элементов 1, α^s, α^2s, …,образует подгруппу, которая состоит из всех степеней одного из ее элементов, т.е. является циклической и совместно с нулевым элементом образует подполе поляGF(q), т.е. является корнями многочлена.

Значит справедливо

.>

Таким образом, если в GF(q) существует элемент α^s, порядок которого 1<l_s<-1, то возможно построение циклического РС-кода надGF(q) с длиной кодовой комбинацииN=l_sи порождающим многочленом

.

Пример 7.4

В поле GF(2⁸) существует элементα¹⁵, порядок которого равенl₁₅=17, следовательно, возможен РС-код надGF(2⁸) сN=17.

Другой способ получения укороченных РС-кодов состоит в следующем. В выражении

произведем подстановку xx^m. Тогда получим

.

Можно доказать, что многочлен x^m–α^isпринадлежит показателюml_s, из чего вытекает, что с помощью порождающего многочлена

может быть построен РС-код с N=ml_s, состоящий изmчередующихся кодовых комбинаций РС-кодов длиныl_s.

7.1.3. Отображение рс-кодов над gf(2m) на двоичные коды

Элементы GF(q) приq=p^m, как это было рассмотрено выше, могут быть представлены последовательностями длиныmс элементами изGF(p). В этом случае (N,K)-код РС с расстояниемDнадGF(q) становится (n=mN,k=mK)-кодом надGF(p) с расстояниемdD.

Если q=2^m, то двоичные коды, получаемые таким путем, часто имеют большое минимальное расстояние.

Пусть ξ₁, …, ξ_m–базис элементов поляGF(2^m) надGF(2). Тогда, если– произвольный элементGF(2^m), гдеb_i=GF(2), то β отображается в последовательность длиныm:b₁,b₂, …,b_m.

Это отображение переводит линейные коды в линейные. При этом циклические коды не обязательно переходят в циклические.

Пример 7.5

Используя базис 1, α для элементов GF(4) надGF(2), получаем отображение 000, 110, α01, α²11. Тогда РС-код (3,2) сD=2 над полемGF(4) примера 5.13 становится двоичным (6,4)-кодом сd=2, приведенным ниже:

0. 000000 4. 000110 8. 001101 12. 001011

1. 011000 5. 011110 9. 010101 13. 010011

2. 110100 6. 110010 10. 111001 14. 111111

3. 101100 7. 101010 11. 100001 15. 100111

Легко проверить, что данный код не является циклическим.

Пример 7.6

Рассмотрим (7,5) – РС-код над GF(2³) сD= 3 [3]. ПолеGF(2³), построенное по модулю П(α)=α+α³+1, содержит следующие элементы:

0 0 0 =0, 1 0 0= 1, 0 1 0 =α, 0 0 1 =α²,

1 1 0 =α³, 0 1 1 =α⁴, 1 1 1 =α ⁵, 1 0 1 =α⁶.

В качестве базиса для элементов GF(2³) надGF(2) возьмем 1,α ,α⁶,

т.е. β =b₁(100)+b₂(010)+b₃(101).

Тогда получим отображение 0000, 1100, α010, α²101, α³110,α⁴111,α⁵011 ,

α⁶001.

Сформируем порождающий многочлен в виде

g(x)=(x+α⁵)(x+α⁶)=α⁴+αx+x².

При таком построении РС-код (7,5) с=D=3 переходит в двоичный циклический код (21,15) с порождающим многочленом g(x)=1+x+x²+x⁴+x⁶ и минимальным расстоянием d=3. Это единственный известный нетривиальный пример РС-кода, отображаемого в двоичный циклический код.