9. Однородные системы

Система однородных уравнений всегда совместна. Если ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных, то система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение.

Если ранг матрицы однородной системы наединицу меньше числа неизвестных, то система имеет одну степень свободы, и ее решение можно записать через миноры матрицы коэффициентов матрицы . Для этого в матриценеобходимо оставитьлинейно независимых строк, а затем вычислить миноры, поочередно вычеркивая столбцы и изменяя знак при каждом переходе.

Так для системы двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными

решение имеет вид

, где , если хотя бы один из определителей второго порядка не равен нулю.

►Пример 13. Решить систему

Решение.

Матрица коэффициентов . Определитель

Минор Следовательно, ранг матрицы коэффициентов равен двум и на единицу меньше числа неизвестных. Оставив две линейно независимых строки в матрице, получаем

.

Ответ запишем в виде вектора . ◄

Упражнения.

Решить системы:

1)2)3)

Ответы: 1); 2); 3);.

10. Собственные значения и собственные векторы матрицы

Комплексное число называетсясобственным числом квадратной матрицы , если существует ненулевой вектор (матрица-столбец), такой, что выполнено равенство

. (13)

Вектор называется в этом случаесобственным вектором матрицы , соответствующим числу.

Такой собственный вектор – не единственный, т.к., если удовлетворяет уравнению (13), то и вектор- тоже удовлетворяет, гдеt – любое число, не равное нулю. Следовательно, собственный вектор определяется с точностью до множителя.

Матричное уравнение (13) эквивалентно однородной системе

(14)

Для того чтобы система (14) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

(15)

Уравнение (15) называется характеристическим для матрицы и представляет собой алгебраическое уравнение- ой степени относительно. Его корни и являются собственными числами матрицы.

Если матрица- диагональная, т.е.

, (16)

с разными числами по диагонали (), то собственные числа совпадают с диагональными элементами матрицы.

Как известно из курса алгебры , уравнение (15) имеет, по крайней мере, один корень, а пример с матрицей (16) показывает, что у матрицы размерамаксимумсобственных чисел. Чтобы найти собственные числа, надо решить уравнение (15). Для нахождения собственных векторов решается система (14) при найденных значениях.

►Пример 14. Найти собственные числа матрицы .

Решение.

Составим характеристическое уравнение

.

Вычисляем определитель:

Уравнение имеет три действительных корня:, которые и являются собственными числами. ◄

Для того чтобы найти собственный вектор, соответствующий собственному числу , надо решить систему (14), подставив в нее значение числа.

►Пример 15. Найти собственные векторы для матрицы примера 14.

Решение.

Найдем собственный вектор для числа . Для этого решим однородную систему

Ранг матрицы этой системы равен двум, на единицу меньше числа неизвестных. Решение найдем через миноры матрицы :

Итак, собственный вектор имеет вид , гделюбое число, не равное нулю. Ответ можно писать приt=1, помня замечание, приведенное выше.

Аналогично находятся два других вектора. Советуем студентам найти их самостоятельно. ◄

Упражнения.

Найти собственные числа, и для действительных собственных чисел найти собственные векторы матриц:

1), 2), 3), 4), 5), 6), 7).

Ответы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .