_-МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра Информационных систем

практическая РАБОТА

по дисциплине «Теория принятия решений»

Тема: Применение методов линейного и динамического программирования для решения практических задач (по вариантам)

Вариант: 190 (448)

Студент гр. 0375		Яблоков В.А.
Преподаватель		Пономарев А.В.

Санкт-Петербург

2023

содержание

Y

введение 3

1. Задача об оптимизации отопления 4

1.1. Условие задачи 4

1.2. Формализация задачи 6

1.3. Решение задачи 7

2.1. Анализ чувствительности 10

заключение 12

список использованных источников 13

Введение

Целью работы является получение оптимального решения для задачи динамического программирования и проведение анализа его чувствительности к изменению параметров задачи. Для ее достижения был использован язык программирования Python, решение было получено программно с использованием рекурсии.

1. Задача об оптимизации отопления

1.1. Условие задачи

Вам предлагается разработать компонент планирования в системе отопления «умного» дома. Задачей системы отопления является поддержание комфортной температуры с учетом рационального расходования электроэнергии.

Система отопления имеет шесть режимов работы (0-5), каждый из которых характеризуется определенной теплоотдачей и стоимостью в час (табл. 1). Режим может изменяться раз в час. Изменение температуры в помещении за час определяется с помощью следующего уравнения:

где — это энергия, выделенная за час системой отопления (МДж), а — потери энергии во внешнюю среду (МДж). Потери энергии (в МДж) определяются по следующей формуле:

где — температура в помещении, а — температура на улице (в градусах Цельсия).

Дискомфорт пользователя пропорционален квадрату отклонения температуры в помещении от желаемой (18 градусов по Цельсию). Температура в помещении в начальный момент — 18 градусов. Известны ожидаемое время пребывания пользователя в помещении и прогноз погоды на ближайшие 12 часов (табл. 2).

Требуется:

1. Составить целевую функцию, учитывающую как экономию энергии, так и дискомфорт пользователя от температуры, не соответствующей предпочтениям.

2. Сформировать оптимальный план включения обогревателей на указанный горизонт планирования.

3. Проанализировать чувствительность найденного плана к параметрам целевой функции (устанавливающим относительную важность двух критериев).

Таблица 1 – Режимы работы системы отопления

Режим	0	1	2	3	4	5
Выделяемая энергия за час, МДж	0	2	4	6	8	10
Стоимость в час, руб	0	12	25	43	62	83

Таблица 2 – Прогноз

Час	Присутствие пользователя	Наружная температура
0	0	-14
1	0	-13
2	0	-13
3	0	-12
4	0	-12
5	0	-11
6	0	-11
7	1	-10
8	1	-10
9	1	-9
10	1	-9
11	1	-8

1.2. Формализация задачи

Составим целевую функцию, учитывающую экономию энергии и дискомфорт пользователя:

,

где – это квадрат разности текущей температуры в доме от желаемой, – параметр, регулирующий важность двух составляющих целевой функции, – затраты в деньгах на электроэнергию, – обозначает присутствие пользователя в доме, .

Шаг 1. Выберем способ описания процесса:

1) Этапы: часы с 0 до 11.

2) Выигрыш: значение на текущем шаге. представляет собой функцию, определенную в 6-ти точках , .

3) Управление: выделяемая энергия для выбранного режима работы обогревателя. Имеем 6 режимов работы на 12 этапах задачи, поэтому .

4) Состояние: температура в доме на текущем шаге.

Дополнительно еще обозначим за наружную температуру на каждом этапе.

Шаг 2. Уравнение выигрыша на i-ом шаге в зависимости от состоянии системы и управления:

Шаг 3. Функция, выражающая изменение состояния системы под влиянием управления:

Шаг 4. Основное функциональное уравнение:

Шаг 5. Условный оптимальный выигрыш для последнего этапа:

Это задача динамического программирования так как имеются разные этапы принятия решений, связанные друг с другом состоянием и возможные варианты управления.