korobov

41

Если равенство. (2.1.17) может выполняться, кроме аj= 0 (j=1, 2, ..., k), еще при других значениях коэффициентов аj, не все из которых равны нулю, то векторы A1, A2, ....

Ak считаются линейно зависимыми.

Если k векторов линейно зависимы, то по крайней мере один из них может быть представлен как линейная комбинация остальных k-1 векторов. Действительно, если векторы A1, ..., Ak линейно зависимы, то в соотношении (2.1.17) найдется по крайней мере один из коэффициентов ai≠0. Изменяя, если это нужно, нумерацию, можно считать ak≠0. Тогда из равенства (2.1.17) получаем

Если векторы линейно независимы, то этого сделать нельзя. Поэтому можно дать другое определение линейной независимости векторов. Векторы A1, A2, .... Ak называются

линейно независимыми, если никакой из них не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.

Например, если три трехмерных вектора не лежат в одной плоскости, то никакой из них не может быть выражен в виде линейной комбинации остальных, так как любая линейная комбинация пары векторов лежит в плоскости этой пары. Поэтому любые три трехмерных вектора, не лежащих в одной плоскости, линейно независимы. Наоборот, всякие три трехмерных вектора, лежащих в одной плоскости, всегда линейно зависимы, так как любой из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.

Если вектор представляется в виде линейной комбинации некоторой системы векторов, то говорят, что он разлагается или линейно выражается через эти векторы.

Пример 1. Три вектора А1=[2,1,3]; A2=[-2,1,0]; A3=[-2,3,3] линейно зависимы потому, что А3=А1+2А2.

предоставляется проверить, что единичные векторы из любого пространства линейно независимы.

42

В дальнейшем изложении слово «линейно» мы будем пропускать и говорить просто о зависимости или независимости векторов.

2.1.4. Ранг и базис системы векторов

Под рангом r системы т-мерных векторов A1, A2, … Ak понимают максимальное число линейно независимых векторов из этой системы.

В подробных курсах линейной алгебры доказано, что более чем m m-мерных векторов всегда линейно зависимы. Следовательно, если система содержит более чем m векторов (k>m), то ранг ее не может быть больше, чем m. Если система состоит из m m- мерных векторов, то ранг ее может оказаться любым числом от 1 до m. Если в системе содержится k<m векторов, то ранг ее может оказаться любым целым числом от 1 до k.

Таким образом, для любой системы k m-мерных векторов выполняется J≤ r ≤ min{k, m}.

При этом предполагается, что нулевые векторы в систему не входят.

В этой главе мы видели, что всякая матрица размеров mxn может быть разложена на п m-мерных векторов-столбцов A1, A2, .... An. Ранг этой системы векторов называют рангом матрицы.

различных сочетаний векторов по r векторов в каждом сочетании. Может оказаться, что в каждом сочетании (группе) векторы независимы, тогда число различных базисов системы будет равно N. Но может оказаться, что некоторые сочетания (группы) из r векторов зависимы, тогда они не являются базисами системы. Таким образом, система векторов может иметь несколько различных базисов, но не больше чем N, и каждый базис состоит из одного и того же количества векторов, равного рангу системы.

Если из базиса изъять хотя бы один вектор, то оставшиеся векторы будут также независимы, но базиса образовывать не будут. Так что базис - это не всякая группа независимых векторов, а такая группа независимых векторов, в которой число векторов равно рангу системы. Векторы, составляющие базис, называются базисными векторами.

Справедливо следующее утверждение, которое мы докажем.

Теорема о базисах. Группа независимых векторов A1, A2, .... As будет базисом системы векторов A1, A2, .... As, As+1, ..., Ak в том и только в том случае, если каждый

вектор системы представляется в виде линейной комбинации векторов A1, A2, .... As.

Доказательство. а) Достаточность условия. Допустим, что каждый из векторов Aj системы представляется в виде линейной комбинации независимых векторов A1, A2, .... As. Тогда уже каждые s+1 векторов зависимы и поэтому ранг r системы не может быть больше числа s. С другой стороны, по условию, s векторов A1, A2, .... As независимы. Следовательно, ранг системы r=s и векторы A1, A2, .... As образуют ее базис.

б) Необходимость условия. Пусть векторы A1, A2, .... As — базис системы. Каждый вектор этого базиса, например вектор Ai, может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов следующим образом:

Аi=0А1+0 А2+. . .+0 Ai-1,+1 Ai+0 Ai+0Ai+1+…+0Аs.

43

Теперь рассмотрим подсистему векторов

A1, A2, .... As, Ae,

состоящую из базисных векторов и произвольного небазисного вектора Al.

Составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору

Так как векторы, входящие в эту комбинацию, зависимы, то равенство (2.1.19) должно выполняться, хотя бы при некоторых отличных от нуля коэффициентах. При этом коэффициент al; должен быть отличным от нуля. Действительно, если al =0, то и все остальные коэффициенты равны нулю, поскольку базисные векторы независимы. Это противоречит тому, что не все коэффициенты в соотношении (2.1.19) равны нулю. При al ≠0 равенство (2.1.19) можно разрешить относительно вектора Al

Итак, каждый вектор системы может быть выражен в виде линейной комбинации базисных векторов, или, как говорят, разложен по базисным векторам.

Докажем, что разложение вектора системы по базисным векторам является единственным, т. е. существует единственный набор коэффициентов λ1, λ2, …,λs с которыми разлагается вектор по базисным векторам.

Предположим, что вектор Al может быть разложен по базисным векторам двумя способами, т. е. с различными коэффициентами λ j и λ 'j:

Al=λ1A1+λ2A2+…+λsAs, Al=λ1' A1+λ '2 A2+…+λ 's As.

Вычитая почленно из второго равенства первое равенство, получим:

Отсюда и следует единственность разложения любого вектора по векторам базиса.

2.1.5. Единичный базис. Таблица векторов по отношению к единичному базису

Любой m-мерный вектор A=[a1, a2, …, am] может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов е1, е2, ..., eт, при этом коэффициентами этой линейной комбинации являются соответствующие компоненты ai, вектора A, т. е.

Формула (2.1.20) является основной формулой линейной алгебры. Справедливость равенства (2.1.20) можно усмотреть непосредственно, если записать его в более подробном виде

44

Векторное равенство (2.1.20) или (2.1.21) равносильно числовым равенствам

a1=a1; a2=a2;…; am=am,

которые являются арифметическими тождествами, что указывает на справедливость выражения (2.1.20).

Если система векторов содержит в себе полный набор единичных векторов e1, e2,

..., eт, то этот набор является одним из базисов системы — единичным базисом. Действительно, единичные векторы независимы, и каждый вектор в системе линейно выражается через единичные векторы по формуле (2.1.20). Тогда на основании теоремы о базисах, доказанной в предыдущем параграфе, полный набор единичных векторов является базисом и разложение (2.1.20) является единственным.

Таблицей векторов A1, А2, ..., An no отношению к единичному базису e1, e2, ..., eт

называется матрица, столбцы которой состоят из компонент векторов Аj (j=1, 2, ..., п).

Иначе говоря, это есть матрица, вектор-столбцы которой являются заданными векторами:

A1=[a11, a21,…,am1];

A2=[a12, a22,…,am2];

……………………

An=[a1n, a2n,…,amn].

Таблица векторов по отношению к единичному базису оформляется следующим образом:

Учитывая формулу (2.1.20), можно сказать, что таблица векторов Aj по отношению к единичному базису—это таблица коэффициентов в разложении этих векторов по единичным векторам. Таблица векторов (2.1.22) является матрицей размеров mхn, где m— размерность векторов Aj, п—количество векторов Аj, в системе. Наоборот, всякую матрицу с размерами тхп можно рассматривать как таблицу ее п m-мерных векторовстолбцов по отношению к единичному базису.

Если векторы А заданы, то всегда можно конкретно составить таблицу этих векторов по отношению к единичному базису.

Пример. Даны четырехмерные векторы: A1= (2,8,0.2); A2=(2,-2,8,4); A3= (1, -1,5, -4);

45

A4= (0,4, 2, 4); A5=(-2,0, 4, 0).

Таблица этих векторов по отношению к единичному базису e1, е2, е3, e4, имеет следующий конкретный вид:

2.1.6. Операция одноразового замещения

Было показано, что в системе векторов содержится не один базис. Каждому базису соответствует своя таблица векторов, которая определяется как таблица коэффициентов

в разложении этих векторов по векторам базиса.

Конкретную таблицу векторов A1, А2, ..., An мы можем составить непосредственно, без каких-либо вычислений, только по отношению к единичному базису. Таблицу векторов по отношению к какому-либо другому базису (не единичному) мы можем получить конкретно лишь путем вычислений, исходя из известной таблицы векторов по отношению к единичному базису. Вычислительный процесс получения таблицы векторов системы из известной таблицы, когда один из базисных векторов исключается и заменяется некоторым другим вектором из системы, называется операцией одноразового замещения. Осуществляя последовательно операции одноразового замещения, мы можем, исходя из таблицы векторов по отношению к единичному базису, получить таблицу векторов по отношению к любому базису системы векторов. Рассмотрим, как это делается.

Во-первых, надо выяснить, в каком случае замена одного единичного вектора еs в базисе некоторым небазисным вектором Ak приведет к новому базису, т. е. при каком условии, например, новая группа векторов

будет независимой.

Оказывается, т векторов (2.1.23) будут независимы только в том случае, если элемент ask в таблице векторов (2.1.22) отличен от нуля. Докажем это.

Если векторы (2.1.23) независимы, то из равенства λ1e1+λ2e2+…+λs-1es-1+λsAk+λs+1es+1+…+λmem=0 (2.1.24)

должно вытекать равенство нулю всех коэффициентов, т. е. должно быть λv для всех v от 1 до т. Заменим в равенстве (2.1.24) вектор Ak разложением его по единичным векторам ei согласно формуле (2.1.20), получим:

λ1e1+λ2e2+…+λs-1es-1+λs(a1ke1+ a2ke2+…+ amkem)+λs+1es+1+…+λmem=0

или после приведения подобных членов

46

(λ1+λsa1s)e1+(λ2+λsa2s)e2+…+(λs-1+λsas-1,k)es-1+λsaskes+(λs+1+λsas+1,k)es+1+…+

+(λm +λsamk)em=0.

Так как единичные векторы независимы, то должно быть: λ1+λsa1k=0; λ2+λsa2k=0; …; λs-1+λsas-1,k=0; λsask=0; λs+1+λsas+1,k=0;…; λm +λsamk=0.

По условию аsk≠0, следовательно λs=0, но тогда все остальные коэффициенты равны нулю. Следовательно, при аsk≠0 в таблице векторов (2.1.22) замена единичного вектора es в базисе вектором Ak дает новый базис (2.1.23).

Таблица векторов по отношению к этому новому базису должна состоять из новых чисел bij (коэффициентов в разложении векторов Аj, по новому базису), при этом в столбце Ak на месте элемента аsk должна стоять единица, а остальные элементы этого столбца должны быть нулями. Последнее следует из того, что вектор Ak становится базисным вектором и разложение его по векторам нового базиса (2.1.23) может быть только следующим:

Ak=0 e1+ . . . +0 es-1+1 Ak+0 es+1+…+0 em.

Таким образом, новая таблица векторов по отношению к новому базису (2.1.23)

Теперь покажем, как можно рассчитать матрицу (2.1.25), зная матрицу (2.1.22). Напишем разложение вектора Аk по векторам единичного базиса:

Ak=a1ke1+ a2ke2+…+ askes+…+ amkem.

Так как аsk≠0, то последнее векторное равенство можно разрешить относительно

Далее напишем разложение произвольного вектора Aj, по векторам единичного базиса:

Аj=а1e1+ . . . + аs-1,jes-1+ аsjes+ as+1,jes+1+…+amjem

и подставим в правую часть этого равенства вместо es выражение (2.1.26). После приведения подобных членов с одинаковыми единичными векторами получим:

47

Так как разложение вектора Aj по векторам одного и того же базиса должно быть одинаковым, то из сравнения равенств (2.1.27) и (2.1.28) получаем:

Таким образом, мы получили формулы для расчета элементов матрицы (2.1.25) по элементам матрицы (2.1.22). Из этих формул видно, что при j=k bik=0, если i≠s и bsk= 1, это и отражено в матрице (2.1.25), в которой k-и столбец состоит из нулей и одной единицы.

На основании формул (2.1.29) и (2.1.30) можно сформулировать вычислительные правила перехода от одной таблицы векторов к другой при замене одного вектора в базисе некоторым другим вектором из системы. Эти вычислительные правила называются

правилами замещения.

s-я строка исходной таблицы векторов (2.1.22), соответствующая вектору es, исключаемому из базиса, называется ключевой строкой.

k-u. столбец этой же таблицы векторов (2.1.22), соответствующий вектору Ak, вводимому в базис, называется ключевым столбцом.

Элемент ask, расположенный на пересечении ключевой строки и ключевого столбца, называется ключевым элементом.

Ключевой элемент обводится кружком или заключается в квадратную рамку.

Ключевая строка и ключевой столбец иногда также выделяются (обводятся рамкой), в таком случае ключевой элемент оказывается заключенным в квадрат, образованный пересечением рамок, как показано в таблице векторов (2.1.22).

Строку и столбец в таблице векторов (2.1.25), соответствующие ключевой строке и ключевому столбцу в таблице векторов (2.1.22) будем условно называть главной строкой

и главным столбцом.

Формула (2.1.30) относится к случаю i=s, т. е. к преобразованию ключевой строки. Из этой формулы получается правило:

Главная строка получается делением элементов ключевой строки на ключевой элемент. Это единственное правило преобразования ключевой строки, и никаких других правил не существует. Что касается правила преобразования других строк (не ключевых), то это правило может быть сформулировано в различных вариантах.

48

1-й вариант. Все строки исходной таблицы, исключая ключевую, преобразовываются по формуле (2.1.29). В этой формуле имеется отношение элементов аik

только от номера строки i и поэтому может быть заранее рассчитано для каждой строки.

Но asj (j=1, 2, ..., п)—элементы ключевой строки, аij—элементы i-й преобразуемой строки, bij —элементы i-й новой строки, отсюда на основании формулы (2.1.31) можно сформулировать правило преобразования всех строк исходной таблицы, за исключением ключевой строки.

Каждая новая строка получается вычитанием из соответствующей старой строки ключевой строки, умноженной на постоянное для строки число ai.

2-й вариант. Учитывая равенство (2.1.30), формулу (2.1.29) можно записать в

В равенстве (2.1.32) aij —элементы i-й преобразуемой строки, bsj—элементы главной строки, аik—элемент, расположенный на пересечении преобразуемой строки и ключевого столбца. Поэтому на основании равенства (2.1.32) можно сформулировать правило преобразования строк исходной таблицы (исключая ключевую строку).

Каждая новая строка получается вычитанием из соответствующей старой строки главной строки, умноженной на элемент, расположенный на пересечении преобразуемой строки и ключевого столбца.

3-й вариант. Наконец, формулу (2.1.29) можно представить в виде:

49

таблице так, как показано в нижеприведенной схеме (рис. 2.1.1).

Мы видим, что элементы, входящие в формулу (2.1.33), расположены по вершинам прямоугольника и произведения их берутся по элементам противоположных вершин, как показано на схеме стрелками; при этом произведение преобразуемого элемента на ключевой элемент берется со знаком плюс, а произведение других двух элементов — со знаком минус. Знаки произведений показаны на схеме рядом со стрелками. Теперь на основании схемы и формулы (2.1.33) можно сформулировать следующее правило преобразования элементов исходной таблицы векторов.

Для получения нового элемента (исключая элементы ключевой строки и ключевого столбца), соответствующего старому элементу, нужно взять сумму произведений

элементов, находящихся в противоположных вершинах прямоугольника, построенного на ключевой строке и ключевом столбце, и разделить эту сумму на ключевой элемент; при этом произведение преобразуемого элемента на ключевой элемент надо брать со знаком плюс, а второе произведение — со знаком минус.

Указанное правило принято называть правилом прямоугольника.

Итак, преобразование строк таблицы векторов при переходе к новому базису может производиться по любому из трех вышеуказанных правил. В каждом конкретном случае надо смотреть, какое из этих правил удобнее применять. Конечно, в любом случае должен получаться один и тот же результат.

Суммируя равенство (2.1.31) по индексу j от 1 до п, получим

Равенство (2.1.34) показывает, что сумма элементов строк (кроме ключевой строки) преобразуется в сумму элементов строк новой таблицы по правилу преобразования отдельных элементов. Этим можно воспользоваться для контроля вычислений, так как ошибка в вычислении отдельного слагаемого вызовет ошибку в сумме. Получение же одинаковой ошибки суммы при расчете ее различными способами маловероятно. Для контроля вычислений следует дополнить исходную таблицу столбцом сумм элементов строк и преобразовывать эти суммы по правилам замещения. При правильных расчетах суммы элементов новых строк должны совпадать с преобразованными суммами по правилам замещения. При обнаружении расхождения в указанных суммах в какой-либо строке следует искать ошибку в вычислении элементов этой строки.

Получив таблицу векторов по отношению к новому базису, мы точно таким же образом можем перейти от этой таблицы к следующей таблице векторов по отношению к еще какому-либо базису системы векторов и т. д.

Пример. Дана система из десяти четырехмерных векторов:

Очевидным базисом этой системы является единичный базис, состоящий из единичных векторов е1, е2, е3, e4 четырехмерного пространства. Составляем таблицу векторов Aj, j=1, 2, ..., 6 по отношению к этому базису. Столбцами этой таблицы будут сами векторы Aj, j=1, ..., 6, так как коэффициентами в разложении векторов Aj являются компоненты этих векторов.

50

Таблица дополнена контрольным столбцом, который является суммой векторов Аj j=1,..., 6. Каждая компонента этого суммарного вектора, по определению сложения векторов, является суммой строк таблицы векторов Аj, по отношению к единичному базису.

Например, группа векторов e1, е2, А2, е4 является базисом данной системы векторов, состоящей из векторов Aj, j=1, ..., 6 и единичных векторов еi, i=1,. ..., 4, так как ключевой элемент таблицы a32=2 отличен от нуля. Составим таблицу векторов Aj, j=1, .... 6 по отношению к этому базису. Ключевую строку и ключевой столбец выделяем в таблице рамками.

Делением ключевой строки на ключевой элемент a32=2. Получаем новую (третью)

Преобразование простых строк (неключевых) будем производить по правилу первого варианта. Числа ai; соответственно для 1, 2 и 4-й строк имеют значения

1

a1 = − 2 ; a2 = 0; a4 = −1

из первой строки, получаем новую первую строку

Так как a2=0, то умножение ключевой строки на нуль даст нулевую строку, вычитание которой из второй строки ее не изменит. Значит, вторая строка перейдет в новую таблицу без изменений. Такой случай происходит всегда, когда элемент, расположенный на пересечении преобразуемой строки и ключевого столбца, равен нулю.

Умножая ключевую строку на a4= -1 и вычитая результат -3 -2 0 -2 0 -3 -10

из четвертой строки, получаем новую четвертую строку